2019版高考物理一輪復(fù)習(xí) 培優(yōu)計(jì)劃 高考必考題突破講座（9）帶電粒子在有界磁場中的臨界、極值問題學(xué)案

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1、 高考必考題突破講座(九) 帶電粒子在有界磁場中的臨界、極值問題 題型特點(diǎn) 考情分析 命題趨勢 帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動問題是歷年高考的熱點(diǎn)，特別是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界、極值問題，考查以綜合計(jì)算為主，也有選擇題出現(xiàn)，對此類問題的分析要把握好帶電粒子的基本運(yùn)動形式和重要的解題技巧、規(guī)律、方法 2017·全國卷Ⅱ，18 2015·山東卷，24 2015·四川卷，17 帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動，一般涉及臨界和邊界問題，臨界值、邊界值常與極值問題相關(guān)聯(lián).2019年高考命題主要會從臨界狀態(tài)、邊界狀態(tài)的確定以及所需滿足的條件等設(shè)計(jì)考題材料 1．帶電粒子在磁場中

2、偏轉(zhuǎn)的臨界、極值問題 流程圖 ―→―→ 2．涉及問題 (1)畫軌跡：畫出帶電粒子在磁場中運(yùn)動軌跡，并確定圓心，求半徑． (2)找聯(lián)系：軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動速度相聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角與圓心角、運(yùn)動時(shí)間相聯(lián)系；在磁場中運(yùn)動的時(shí)間與周期相聯(lián)系． (3)用規(guī)律：牛頓運(yùn)動規(guī)律和圓周運(yùn)動規(guī)律，特別是周期公式、半徑公式． ?解題方法 1．動態(tài)放縮法 當(dāng)粒子的入射方向不變而速度大小可變時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動的軌跡圓的圓心一定在入射點(diǎn)所受洛倫茲力所表示的射線上，但位置(半徑R)不確定，用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”，如圖甲臨界情景為②和④． 　　 2．定

3、圓旋轉(zhuǎn)法 當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時(shí)，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動態(tài)旋轉(zhuǎn)(作圖)中，也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”． 另外，要重視分析時(shí)的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準(zhǔn)確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的物理問題更形象、直觀，如圖乙． 3．?dāng)?shù)學(xué)解析法 寫出軌跡圓和邊界的解析方程，應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)知識求解． [例1](2017·江蘇蘇州一模)如圖所示，在屏蔽裝置底部中心位置O點(diǎn)放一醫(yī)用放射源，可通過細(xì)縫沿扇形區(qū)域向外輻射速率為v＝3.2×106 m/s的α粒子．已知屏蔽裝置寬AB＝9 cm，縫長AD＝18 cm，α粒子的質(zhì)量m＝6.64×10－27

4、kg，電荷量q＝3.2×10－19 C．若在屏蔽裝置右側(cè)條形區(qū)域內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場來隔離輻射，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.332 T，方向垂直于紙面向里，整個(gè)裝置放于真空環(huán)境中． (1)若所有的α粒子均不能從條形磁場隔離區(qū)的右側(cè)穿出，則磁場的寬度d至少是多少？ (2)若條形磁場的寬度d＝20 cm，則射出屏蔽裝置的α粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間和最短時(shí)間各是多少？(結(jié)果可帶根號) 解析　(1)由題意AB＝9 cm，AD＝18 cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°，所有α粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，設(shè)為R，根據(jù)牛頓第二定律有Bqv＝，解得R＝0.2 m＝20 cm． 由題意及幾何關(guān)系可知：

5、若條形磁場區(qū)域的右邊界與沿OD方向進(jìn)入磁場的α粒子的圓周軌跡相切，則所有α粒子均不能從條形磁場隔離區(qū)右側(cè)穿出，此時(shí)磁場的寬度最小，如圖甲所示． 設(shè)此時(shí)磁場寬度d＝d0，由幾何關(guān)系得d0＝R＋Rcos 45°＝(20＋10)cm． 則磁場的寬度至少為(20＋10)×10－2 m． (2)設(shè)α粒子在磁場內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，則T＝＝×10－6 s． 設(shè)速度方向垂直于AD進(jìn)入磁場區(qū)域的α粒子的入射點(diǎn)為E，如圖乙所示． 因磁場寬度d＝20 cm

6、邊界，沿OE方向進(jìn)入磁場區(qū)域的α粒子運(yùn)動軌跡與磁場右邊界相切，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長，設(shè)在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為tmax，則tmax＝＝×10－6 s． 若α粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動對應(yīng)的圓弧軌跡的弦長最短，則α粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最短．最短的弦長為磁場寬度d.設(shè)在磁場中運(yùn)動的最短時(shí)間為tmin，軌跡如圖乙所示，因R＝d，則圓弧對應(yīng)的圓心角為60°，故tmin＝＝×10－6 s． 答案　(1)(20＋10)×10－2 m　(2)tmax＝×10－6 s　tmin＝×10－6 s 角度1　速度方向一定，大小不同 帶電粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中，這些帶電

7、粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑隨速度的變化而變化． 若粒子從定點(diǎn)P以速度v0射入磁場，則軌跡圓心一定在PP′直線上(PP′⊥v0)，將半徑放縮作軌跡，從而得到臨界條件． 角度2　速度方向一定，方向不同 帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動半徑R＝.改變初速度v0的方向，粒子運(yùn)動的軌跡也隨之改變，但所有帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圓的圓心，均在以入射點(diǎn)為圓心，半徑R＝的圓上． [例1]如圖所示，在無限長的豎直邊界NS和MT間充滿勻強(qiáng)電場，同時(shí)該區(qū)域上、下部分分別充滿方向垂直于NSTM平面向外和向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分

8、別為B和2B，KL為上下磁場的水平分界線，在NS和MT邊界上，距KL高h(yuǎn)處分別有P、Q兩點(diǎn)，NS和MT間距為1.8 h．質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子從P點(diǎn)垂直于NS邊界射入該區(qū)域，在兩邊界之間做圓周運(yùn)動，重力加速度為g． (1)求電場強(qiáng)度的大小和方向； (2)要使粒子不從NS邊界飛出，求粒子入射速度的最小值； (3)若離子能經(jīng)過Q點(diǎn)從MT邊界飛出，求粒子入射速度的所有可能值． 解析　本題考查帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動． (1)設(shè)電場強(qiáng)度大小為E． 由題意有mg＝qE， 得E＝，方向豎直向上． (2)如圖甲所示，設(shè)粒子不從NS邊飛出的入射速度最小值為vmin，對應(yīng)的粒子在上

9、、下區(qū)域的運(yùn)動半徑分別為r1和r2，圓心的連線與NS的夾角為φ． 由r＝，有r1＝，r2＝r1． 由(r1＋r2) sin φ＝r2， r1＋r1 cos φ＝h． vmin＝(9－6)． (3)如圖乙所示，設(shè)粒子入射速度為v，粒子在上、下方區(qū)域的運(yùn)動半徑分別為r1和r2，粒子第一次通過KL時(shí)距離K點(diǎn)為x． 由題意有3nx＝1.8h.(n＝1,2,3…) x≥，x＝， 得r1＝(1＋)，n<3.5，即n＝1時(shí)，v＝； n＝2時(shí)，v＝；n＝3時(shí)，v＝． 答案　 (1)E＝，方向豎直向上　(2) (9－6)　(3)見解析 1如圖所示圓形區(qū)域內(nèi)，有垂直于紙面方向的勻

10、強(qiáng)磁場．一束質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子，以不同的速率，沿著相同的方向，對準(zhǔn)圓心O射入勻強(qiáng)磁場，又都從該磁場中射出．這些粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間有的較長，有的較短．若帶電粒子在磁場中只受磁場力的作用，則在磁場中運(yùn)動的帶電粒子(　D　) A．速率越大的運(yùn)動時(shí)間越長 B．運(yùn)動時(shí)間越長的周期越大 C．速率越小的速度方向變化的角度越小 D．運(yùn)動時(shí)間越長的半徑越小 2．如圖所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，一電荷量為q、質(zhì)量為m的負(fù)離子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為.已知離子射出磁場與射入磁場時(shí)運(yùn)動方向

11、間的夾角為60°，則離子的速率為(不計(jì)重力)(　D　) A． B． C． D． 解析　設(shè)帶負(fù)電離子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動軌跡的半徑為r，速率為v.根據(jù)題述，帶負(fù)電離子射出磁場與射入磁場時(shí)速度方向之間的夾角為60°，可知帶電離子運(yùn)動軌跡所對的圓心角為60°，rsin 30°＝R.如圖所示．由qvB＝m，解得v＝，選項(xiàng)D正確． 3．如圖所示，邊界OA與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，邊界OA上有一粒子源S.某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向以某一速率發(fā)射出大量比荷為的同種正電粒子，經(jīng)過一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場，已知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠AOC＝60°，O、S

12、兩點(diǎn)間的距離為L，從OC邊界射出的粒子在磁場中運(yùn)動的最短時(shí)間t＝，忽略重力的影響和粒子間的相互作用，則粒子的速率為(　A　) A． B． C． D． 解析　由于粒子速率一定，帶電粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最短時(shí)，軌跡所對應(yīng)弦長最短，即弦長d＝Lsin60°＝L，由最短時(shí)間t＝知粒子運(yùn)動軌跡所對應(yīng)圓心角為120°，由幾何關(guān)系知Rsin60°＝d，由洛倫茲力提供向心力，得qvB＝m，解得v＝，選項(xiàng)A正確． 4．空間有一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，O為圓心，磁場方向垂直于紙面向外．一帶正電的粒子從A點(diǎn)沿圖示箭頭方向以速率v射入磁場，θ＝30°，粒子在紙面內(nèi)運(yùn)動，經(jīng)過時(shí)間t離開磁場時(shí)速度方向與半徑

13、OA垂直．不計(jì)粒子重力．若粒子速率變?yōu)?，其他條件不變，粒子在圓柱形磁場中運(yùn)動的時(shí)間為(　C　) A． B．t C． D．2t 解析　 粒子以速度v進(jìn)入磁場時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，四邊形AOBO′為菱形，O、O′分別在兩圓的圓周上，如圖所示．粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角為∠AO′B＝；粒子以速度進(jìn)入磁場時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角為π，兩次粒子做圓周運(yùn)動的周期相同，運(yùn)動時(shí)間之比就等于圓心角之比，所以第二次粒子在磁場運(yùn)動時(shí)間為t.故選項(xiàng)C正確． 5．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，空間某區(qū)域存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場方向豎直向上(與紙面平行)，磁場方向垂且于紙面向里．三

14、個(gè)帶正電的微粒a、b、c電荷量相等，質(zhì)量分別為ma、mb、mc.已知在該區(qū)域內(nèi)，a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，b在紙面內(nèi)向右做勻速直線運(yùn)動，c在紙面內(nèi)向左做勻速直線運(yùn)動．下列選項(xiàng)正確的是(　B　) A．ma>mb>mc B．mb>ma>mc C．mc>ma>mb D．mc>mb>ma 解析　該空間區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場和重力場的疊加場，a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，可知其重力與所受到的電場力平衡，洛倫茲力提供其做勻速圓周運(yùn)動的向心力，有mag＝qE，解得ma＝.b在紙面內(nèi)向右做勻速直線運(yùn)動，由左手定則可判斷出其所受洛倫茲力方向豎直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝＋.c在紙面

15、內(nèi)向左做勻速直線運(yùn)動，由左手定則可判斷出其所受洛倫茲力方向豎直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝－.綜上所述，可知mb>ma>mc，選項(xiàng)B正確． 6．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，P為磁場邊界上的一點(diǎn)．大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場．若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上．不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用．則v2：v1為(　C　) A．∶2 B．∶1 C．∶1 D．3∶ 解析　由于是相同的粒子，粒子

16、進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小相同，由qvB＝m可知，R＝，即粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑相同．若粒子運(yùn)動的速度大小為v1，如圖所示，通過旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子的磁場出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則AP＝2R1；同樣，若粒子運(yùn)動的速度大小為v2，粒子的磁場出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則BP＝2R2，由幾何關(guān)系可知，R1＝，R2＝Rcos 30°＝R，則＝＝，故選項(xiàng)C正確． 7．如圖所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內(nèi)有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源．在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～

17、90°范圍內(nèi)．已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一．求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)： (1)速度的大??； (2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦值. 解析　設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB＝m． 解得R＝，當(dāng)