數列極限和函數極限

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1、數列極限和函數極限 極限概念是數學分析中最重要的概念，如連續(xù)、導數、積分等都要用極限來定義，而且由極限出發(fā)產生的極限方法，是數學分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應用極限方法是繼續(xù)學習數學分析的關鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質、判別方法等問題. 1.極限定義 1．1 數列極限定義 設有數列與常數，如果對于任意給定的正數（不論它有多么小），總存在正整數，使得當時，不等式 都成立，那么就稱常數是數列的極限，或者稱數列收斂于，記作. 讀作“當趨于無窮大時，的極限等于或趨于”.數列極限存在，稱數列 為收斂數列，否則稱為發(fā)散數列. 關于數列極限的定義，著重注

2、意以下幾點： （1）的任意性: 定義中正數的作用在于衡量數列通項與定數的接近程度越小，表示接近的越好.而正數可以任意的小,說明與可以接近到任何程度，然而，盡管有其任意性，但一經給出，就暫時的被確定下來，以便依靠它來求出. （2）的相應性: 一般說，隨的變小而變大，由此常把寫作，來強調是依賴與的，但這并不意味著是由所唯一決定的，重要的是的存在性，而不在于它值得大小.另外,定義中的也可以改寫成. （3）幾何意義:對于任何一個以為中心，為半徑的開區(qū)間，總可以在數列中找到某一項，使得其后的所有項都位于這個開區(qū)間內，而在該區(qū)間之外，最多只有的有限項（項）. 數列是定義在自然數集上的函數,當自變

3、量從小到大依次取自然數時,便得到相應的一系列函數值,其解析表達式為;我們把數列中的用來替換后就得到了一個函數,數列和函數的區(qū)別在于數列中的點是離散的,而函數是連續(xù)的,那么類似的我們也有函數極限的定義. 1．2　函數極限定義 時函數的極限：設函數為上的函數，為定數，若對任給的，總存在著正數，使得當時有，則稱函數當趨于時以為極限，記作. 即有有. 對應的,我們也有的相應的語言成立. 對于函數極限的定義著重注意以下幾點: （1）在定義中正數的作用與數列極限定義中的類似,表明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實數,而不僅僅是正整數. （2）當時,函數以為極限意味著: 的任意小鄰

4、域內必含有在的某鄰域內的全部函數值. （3）幾何意義是:對任給的,在坐標平面上,平行于軸的兩條直線與,圍成以直線為中心線,寬為的帶形區(qū)域；定義中的“當時,有”表示:在直線的右方,曲線全部落在這個帶形區(qū)域之內. 時函數的極限：設函數 在點的某一去心鄰域內有定義，為定數，如果對于任意給定的正數（無論它多么?。偞嬖谡龜担沟卯敃r，有，則常數為函數在時的極限，記作. 即有. 對應的,我們也有的相應的語言成立. 對于函數極限的定義著重注意以下幾點: （1）定義中的正數,相當于數列極限定義中的,它依賴于,但也不是由所唯一確定的,一般來說, 愈小, 也相應地要小一些,而且把取得更小

5、些也無妨. （2）定義中只要求函數在的某一空心鄰域內有定義,而一般不考慮在點處的函數值是否有意義,這是因為,對于函數極限我們所研究的是當趨于過程中函數值的變化趨勢. （3）定義中的不等式等價于，而不等式等價于.于是，定義又可寫成： 任給,存在,使得一切有.或更簡單的表為: 任給,存在,使得. （4）幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為 對任給的,在坐標平面上畫一條以直線為中心線,寬為的橫帶,則必存在以直線為中心線、寬為的數帶，使函數的圖像在該數帶中的部分全部落在橫帶內，但點可能例外（或無意義）. 　 2.極限性質 2．1 數列極限的性質 收斂數列有如下性

6、質： （1）極限唯一性:若數列收斂,則它只有一個極限. （2）若數列收斂，則為有界數列. （3）若數列有極限，則其任一子列也有極限. （4）保號性，即若，則對任何,存在正整數，時,. （5）保不等式性:即若與均為收斂數列, 若存在正整數，使得當時有，則.　　 （6）數列極限的基本公式（四則運算） 設存在,則 2．2函數極限性質 （1）極限唯一性；若極限存在，則此極限是唯一的. （2）局部有界性 若存在，則在的某空心鄰域內是有界的，當趨于無窮大時，亦成立. （3）局部保號性 若，則對任何正數,存在使得對一切有，當趨于無窮大時，亦成立. （4）保不等式性 若，，

7、且在某鄰域內有，則 . （5）函數極限的基本公式（四則運算） 設存在,則 通過以上對數列極限與函數極限的介紹,可以知道數列極限與函數極限的本質相同,性質一致. 3.極限的判別法 　　　 3.1 數列極限的判別法 （1）單調有界定理：單調有界數列必有極限. 證明:不妨設為有上界的遞增數列.由確界原理,數列有上確界,記.下面證明就是的極限.事實上,任給,按上確界的定義,存在數列中某一項,使得.又由的遞增性，當時有 。 另一方面，由于是的一個上界，故對一切都有 所以當時有 這樣就證得, . 同理可證有下界的遞減數列必有極限，且極限即為它的下確界. (2) 數列收斂的柯西準則: 數列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數，存在著這樣的正整數，使得當時，有. (3) 數列極限的夾逼準則 如果收斂數列，都以為極限，數列滿足下列條件： 存在正數，當時有 　 則數列收斂,且 . 3.2 函數極限的判別法： （1）函數極限的夾逼準則: 設且在某內有 則. （2）函數收斂的柯西準則： 存在的充要條件是:任給, ，存在正數,使得對任何，有 .