2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)案 北師大版必修5

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1、 2.2　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.會(huì)解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題.3.理解an與Sn的關(guān)系，能根據(jù)Sn求an. 知識(shí)點(diǎn)一　數(shù)列中an與Sn的關(guān)系 思考　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，怎樣求a1，an?　 梳理　對(duì)任意數(shù)列{an}，Sn與an的關(guān)系可以表示為 an＝ 知識(shí)點(diǎn)二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 思考　我們已經(jīng)知道，當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝n2＋(a1－)n，類(lèi)比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？ 梳理　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值與{Sn}

2、的單調(diào)性有關(guān)． (1)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最大值． (2)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值． (3)若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值． 類(lèi)型一　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求an 引申探究 例1中前n項(xiàng)和改為Sn＝n2＋n＋1，求通項(xiàng)公式． 例1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分

3、別是什么？　 反思與感悟　已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n＝1時(shí)，a1＝S1求得a1，再由n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示． 跟蹤訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n，求an. 類(lèi)型二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 例2　已知等差數(shù)列5,4，3，…的前n項(xiàng)和為Sn，求當(dāng)Sn取得最大值時(shí)n的值． 反思與感悟　在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項(xiàng)，使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正(負(fù))值或零，而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)(正)值，則從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大(小)．由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖像

4、或性質(zhì)求解． 跟蹤訓(xùn)練2　在等差數(shù)列{an}中，an＝2n－14，試用兩種方法求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最小值． 類(lèi)型三　求等差數(shù)列前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和 例3　若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.　 反思與感悟　求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，根據(jù)絕對(duì)值的意義，應(yīng)首先分清這個(gè)數(shù)列的哪些項(xiàng)是負(fù)的，哪些項(xiàng)是非負(fù)的，然后再分段求出前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和． 跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}中，Sn＝－n2＋10n，數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都有bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式． 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋

5、n，則an等于(　　) A．4n－2 B．n2 C．2n＋1 D．2n 2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 3．首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝S8，當(dāng)n＝________時(shí)，Sn取到最大值． 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.　 1．因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1只有n≥2時(shí)才有意義，所以由Sn求通項(xiàng)公式an＝f(n)時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示． 2．求等差

6、數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法： (1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意n∈N＋，結(jié)合二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性來(lái)確定n的值，更加直觀． (2)通項(xiàng)法：當(dāng)a1>0，d<0，時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，時(shí)，Sn取得最小值． 3．求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　a1＝S1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1時(shí)也適合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋. 梳理　S1　Sn－Sn－1 知識(shí)點(diǎn)二 思考　由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得

7、出：當(dāng)a1＜0，d>0時(shí)，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值． 題型探究 例1　解　根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)， 當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，① 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋×1＝，也滿足①式． ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－. 故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． 引申探究 解　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－

8、1)＋1] ＝2n－. ① 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式． ∴an＝ 跟蹤訓(xùn)練1　解　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1. 當(dāng)n＝1時(shí)，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3. ∴an＝ 例2　解　方法一　由題意知，等差數(shù)列5,4，3，…的公差為－， 所以Sn＝5n＋(－) ＝－(n－)2＋. 于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取得最大值． 方法二　an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)× ＝－n＋. 令an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0. 故前n項(xiàng)和

9、是從第9項(xiàng)開(kāi)始減小，而第8項(xiàng)為0， 所以前7項(xiàng)或前8項(xiàng)的和最大． 跟蹤訓(xùn)練2　解　方法一　∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2. ∴a1

10、n＋×(－4) ＝15n－2n2； 當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ＝2×－(15n－2n2) ＝56＋2n2－15n. ∴Tn＝ 跟蹤訓(xùn)練3　解　由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋)． 驗(yàn)證a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N＋. ∴當(dāng)n≤5時(shí)，an>0，此時(shí)Tn＝Sn＝－n2＋10n； 當(dāng)n>5時(shí)，an<0，此時(shí)Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50. 即Tn＝ 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　2.B　3.5或6 4．a(chǎn)n＝ 5