2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5

《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 警示易錯(cuò)提醒1數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)注用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟第一步稱(chēng)“歸納奠基”，是遞推鏈的起點(diǎn)；第二步稱(chēng)為“歸納遞推”，是遞推鏈具有傳遞性的保證兩步缺一不可，否則不能保證結(jié)論成立(2)關(guān)注適用范圍，數(shù)學(xué)歸納法適用于某些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題，這里n是任意的正整數(shù)，它可取無(wú)限多個(gè)值，但是，并不能說(shuō)所有與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)在數(shù)學(xué)歸納法中，沒(méi)有應(yīng)用歸納假設(shè)(2)歸納推理不到位專(zhuān)題一數(shù)學(xué)歸納法在使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，第一步，驗(yàn)證比較簡(jiǎn)明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟

2、的證明方法是十分重要的，其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問(wèn)題，歸納假設(shè)“P(k)”是問(wèn)題的條件，而命題P(k1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵 例設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有1an.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，a11，a11a，命題成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，命題成立即1ak，當(dāng)nk1時(shí)，由遞推公式，知ak1a(1a)a1.同時(shí)，ak1a1a，故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，即1ak1，綜合(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1an.歸納升華用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的題型多種多樣，所以不等式的證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由nk成立，推

3、導(dǎo)nk1也成立時(shí)，其他證明不等式的方法在此都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考慮與原不等式等價(jià)的命題變式訓(xùn)練證明不等式1(n2，nN*)證明：先證明1(n2)，(*)對(duì)(*)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，(*)顯然成立(2)設(shè)nk時(shí)，不等式(*)成立，則1.當(dāng)nk1時(shí)，1111.故當(dāng)nk1時(shí)，不等式(*)成立根據(jù)(1)和(2)知，對(duì)nN*且n2，不等式(*)成立，故原不等式成立.專(zhuān)題二歸納、猜想、證明思想的應(yīng)用歸納、猜想、證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，因此務(wù)必要保持猜

4、想的正確性，同時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書(shū)寫(xiě)例2數(shù)列an滿足Sn2nan.(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想(1)解：當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，所以a11.當(dāng)n2時(shí)，a1a2S222a2，所以a2.當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S323a3，所以a3.當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，所以a4.由此猜想an(nN*)(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN)時(shí)，結(jié)論成立，即ak.當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1 ，即ak12akak1，所以ak1，這表明當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由知猜想的通項(xiàng)公

5、式an成立歸納升華歸納猜想證明的三步曲(1)計(jì)算：根據(jù)條件，計(jì)算若干項(xiàng)(2)歸納猜想：通過(guò)觀察、分析、綜合、聯(lián)想、猜想出一般結(jié)論(3)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 變式訓(xùn)練“設(shè)f(n)1(nN)，有f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，”試問(wèn)：f(2n1)與大小關(guān)系如何？試猜想并加以證明解：數(shù)列1，3，7，15，通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列，1，2，通項(xiàng)公式為an，所以猜想：f(2n1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(211)f(1)1，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)不等式成立，即f(2k1).當(dāng)nk1時(shí)，f(2k11)f(2k1)f(2k1),2k個(gè)f(2k1).所

6、以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)(1)(2)知對(duì)任何nN原不等式均成立專(zhuān)題三轉(zhuǎn)化和化歸思想把所要證的平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的思想一般將待解決的平面幾何問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之化為我們熟悉的或容易解決的問(wèn)題例3設(shè)平面內(nèi)有n條直線，這n條直線把平面分成互不垂疊的區(qū)域個(gè)數(shù)的最大值為f(n)，求f(n)的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：設(shè)平面內(nèi)k(k1)條直線把平面分成區(qū)域個(gè)數(shù)的最大值為f(k)，則第k1條直線與前k條直線最多有k個(gè)交點(diǎn)，因此第k1條直線最多可以被分成k1段，每一段可把所在的區(qū)域分為兩部分，所以比原來(lái)的區(qū)域增加k1個(gè)，即有f(k1)f(k)k1，所以f(k1)f(

7、k)k1.于是f(2)f(1)2，f(3)f(2)3，f(n)f(n1)n.把以上n1個(gè)等式相加得f(n)f(1)23n.因?yàn)閒(1)2，所以f(n)f(1)(23n)(n2n2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)n1時(shí)，一條直線可以把平面分成2個(gè)，即f(1)2，而(n2n2)(112)2，所以命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)，f(k)(k2k2)成立，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)(k1)(k2k2)(k1)(k22k1k3)(k1)2(k1)2，所以命題仍成立由(1)(2)知，當(dāng)nN*時(shí)，f(n)(n2n2)成立歸納升華有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、公式等與自然數(shù)n有關(guān)的命題，主要是抓住遞推關(guān)系，明確要證明的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明變式訓(xùn)練用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，整式anbn都能被ab整除證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，anbnab能被ab整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，akbk能被ab整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因?yàn)?ab)和akbk都能被ab整除，所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除這也就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，ak1bk1能被ab整除根據(jù)(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n，anbn都能被ab整除5