2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第41講 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)學(xué)案

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1、第41講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.2017江蘇卷，152016全國卷，142016四川卷，18與直線、平面平行有關(guān)的命題判斷；線線平行的證明；線面平行的證明；面面平行的證明；由線面平行或面面平行探求動(dòng)點(diǎn)的位置.分值：46分1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與_此平面內(nèi)_的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)_la_，_a_，_l_l性質(zhì)定理一條直

2、線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的_交線_與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)_l_，_l_，_b_lb2平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條_相交直線_與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)_a_，_b_，_abP_，_a，_b_性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面_相交_，那么它們的_交線_平行_，_a_，_b_ab1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行()(2)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面()(3)

3、若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.()(4)平行于同一平面的兩條直線平行()(5)若，且直線a，則直線a.()解析 (1)錯(cuò)誤當(dāng)這兩條直線為相交直線時(shí)，才能保證這兩個(gè)平面平行(2)正確如果兩個(gè)平面平行，則在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn)，則它們平行或異面(3)錯(cuò)誤若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a或a.(4)錯(cuò)誤兩條直線平行或相交或異面(5)錯(cuò)誤直線a或直線a.2下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是(D)A一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面B一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面解析 由面面平行的定義可

4、知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個(gè)平面時(shí)，兩平面才能平行，故D正確3(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為(A)ABCD解析 如圖，延長(zhǎng)B1A1至A2，使A2A1B1A1，延長(zhǎng)D1A1至A3，使A3A1D1A1，連接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D易證AA2A1BD1C，AA3A1DB1C平面AA2A3平面CB1D1，即平面AA2A3為平面.于是mA2A3，直線AA2即為直線n.顯然有AA2AA3A2A3，于是m，n所成的角為60，其正弦值為.選A4已知直線a，b，平面，則以下三個(gè)命

5、題：若ab，b，則a；若ab，a，則b；若a，b，則ab.其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)A0B1C2D3解析 對(duì)于命題，若ab，b，則應(yīng)有a或a，所以不正確；對(duì)于命題，若ab，a，則應(yīng)有b或b，因此也不正確；對(duì)于命題，若a，b，則應(yīng)有ab或a與b相交或a與b異面，因此也不正確5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_平行_.解析 如圖連接AC，BD交于O點(diǎn)，連接OE，因?yàn)镺EBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.一直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))(2)利用線面平行的判

6、定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa)【例1】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC解析 (1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ADB平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD因?yàn)锳D平面ADB，所以BCAD又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC

7、平面ABC，所以AD平面ABC又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC二平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定面面平行的四種方法(1)利用定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)【例2】 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明 (1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，G

8、HB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，EFBCEF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGBA1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.三空間平行關(guān)系的探索性問題解決探究性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在而對(duì)于探求點(diǎn)的問題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)等分點(diǎn)，然后給出符合要求的

9、證明【例3】 如圖所示，四邊形ABCD為矩形，DA平面ABE, AEEBBC2，BF平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在線段CE上(1)求證：AEBE；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN平面ADE.解析 (1)證明：由DA平面ABE及ADBC，得BC平面ABE，又AE平面ABE，所以AEBC，因?yàn)锽F平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE，又BCBFB，BC，BF平面BCE，所以AE平面BCE.因?yàn)锽E平面BCE，故AEBE.(2)在ABE中，過點(diǎn)M作MGAE交BE于點(diǎn)G，在BEC中，過點(diǎn)G作GNBC交CE于點(diǎn)N，連接MN，則由，得CNCE.因?yàn)镸GAE，A

10、E平面ADE，MG平面ADE，所以MG平面ADE，又GNBC，BCAD，AD平面ADE，GN平面ADE，所以GN平面ADE，又MGGNG，所以平面MGN平面ADE，因?yàn)镸N平面MGN，所以MN平面ADE.故當(dāng)點(diǎn)N為線段CE上靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，MN平面ADE.1有下列命題：若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)A1B2C3D4解析 命題，l可以在平面內(nèi)，不正確；命題，直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確；命題，a可以在平面內(nèi)，不正確；命題正確2已知m，n是兩條直線，是兩個(gè)平

11、面，給出下列命題：若n，n，則；若平面上有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；若m，n為異面直線，n，n，m，m，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(B)A3B2C1D0解析 若n，n，則n為平面與的公垂線，則，故正確；若平面上有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，三點(diǎn)可能在平面的異側(cè)，此時(shí)與相交，故錯(cuò)誤；若n，m為異面直線n，n，m，m，根據(jù)面面平行的判定定理，可得正確故選B3如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點(diǎn)(1)求證：AMCM；(2)若N是PC的中點(diǎn)，求證：DN平面AMC證明 (1)在直角梯形ABCD中，ADDCAB1，

12、AC，BC，AB2，則AC2BC2AB2，BCAC，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC在RtPAB中，M為PB的中點(diǎn)，則AMPB，在RtPBC中，M為PB的中點(diǎn)，則CMPB，AMCM.(2)如圖，連接DB交AC于點(diǎn)F，DCAB，DFFB取PM的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)M，則DGFM，又DG平面AMC，F(xiàn)M平面AMC，DG平面AMC連接GN，則GNMC，GN平面AMC，MC平面AMCGN平面AMC，又GNDGG，平面DNG平面AMC，又DN平面DNG，DN平面AMC4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的

13、中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面PAO?解析 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO.證明如下：Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，QBPAP，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B，QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.易錯(cuò)點(diǎn)忽視判定定理和性質(zhì)定理的使用條件錯(cuò)因分析：如下面的例子中，已知，a，b，那么a與b不一定平行，還可能異面【例1】 已知三個(gè)平面，滿足，直線a與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)A，B，C，直線b與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)E

14、，F(xiàn)，G，求證：.證明 (1)當(dāng)a，b共面時(shí)，設(shè)a，b共面，連接AE，BF，CG.，AE，BF，CG，AEBFCG.據(jù)平行線分線段成比例可知；(2)當(dāng)a，b異面時(shí)，如圖(1)，連接AG交于點(diǎn)O，連接OB，OF.，面ACGOB，面ACGCG，OBCG，同理可得OFAE，.【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016四川卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD解析 (1)取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)理由如下：連接CM.因?yàn)锳DBC，BCAD，所以BCA

15、M，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB(2)證明：連接BM，由已知得，PAAB，PACD，因?yàn)锳DBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD從而PABD，因?yàn)锳DBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD所以四邊形BCDM是平行四邊形所以BMCDBC，BCDM是菱形，BDMC，又MCAB，所以BDAB又ABAPA，所以BD平面PAB又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD課時(shí)達(dá)標(biāo)第41講解密考綱對(duì)直線、平面平行的判定與性質(zhì)定理的初步考查一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；綜合應(yīng)用直線、平面平行的判

16、定與性質(zhì)，常以解答題為主，難度中等一、選擇題1(2018廣東揭陽模擬)設(shè)兩個(gè)不同的平面，兩條不同的直線 a，b，且a，b，則“a，b”是“”的(B)A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析 因?yàn)椤癮，b”，若ab，則與不一定平行，反之若“”，則一定“a，b”，故選B2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(B)ABD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析

17、由AEEBAFFD14知EFBD，所以EF平面BCD又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGBD，所以EFHG且EFHG，所以四邊形EFGH是梯形3設(shè)a，b表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是(D)A若a且ab，則bB若且，則C若a且a，則D若且，則解析 對(duì)于A項(xiàng)，若a且ab，則b或b，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，若且，則或與相交，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，若a且a，則或與相交，故C項(xiàng)不正確排除A，B，C項(xiàng)，故選D4下面四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB 平面MNP的圖形是(A)ABCD解析 由線面平行的判定定理知圖可得出AB平面M

18、NP.5已知a，b表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題正確的是(C)A若a，b，則 abB若ab，a，b，則C若ab，a，則b或bD若直線a與b異面，a，b，則解析 對(duì)于A項(xiàng)，a與b還可能相交或異面，此時(shí)a與b不平行，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，與可能相交，此時(shí)設(shè)m，則am，bm，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于D項(xiàng)，與可能相交，如圖所示，故D項(xiàng)不正確，故選C6已知m，n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：n；mn；mn.其中所有正確命題的序號(hào)是(B)ABCD解析 不正確，n可能在內(nèi)正確，垂直于同一平面的兩直線平行正確，垂直于同一直線的兩平面平行不正確，m，n可能為異面直線故選B二、填空題7

19、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于_.解析 因?yàn)橹本€EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又E是DA的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)，由中位線定理可得EFAC，又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.8(2018北京模擬)設(shè)，是三個(gè)不同平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確的題號(hào)填上)解析 可以，由a得a與沒有公共點(diǎn)，由b，a，b知，

20、a，b在面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，故平行a，b不可以舉出反例如下：使，b，a，則此時(shí)能有a，b，但不一定ab.這些條件無法確定兩直線的位置關(guān)系可以，由b，a知，a，b無公共點(diǎn)，再由a，b，可得兩直線平行9在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PC上，PMtPC，PA平面MQB，則實(shí)數(shù)t_.解析 連接AC交BQ于N，交BD于O，連接MN，如圖，則O為BD的中點(diǎn)又BQ為ABD邊AD上中線，N為正ABD的中心令菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則ACa，ANa.PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMNPAMN，PMPCANAC，即PMPC，t.三、解答題10

21、如圖，P是ABC所在平面外一點(diǎn)，A，B，C分別是PBC，PCA，PAB的重心求證：平面 A B C平面 ABC證明 連接PA，PC并延長(zhǎng)，分別交BC，AB于M，N.A，C分別是PBC，PAB的重心，M，N分別是BC，AB的中點(diǎn)連接MN，由知ACMN，MN平面ABC，AC平面ABC同理，AB平面ABC，而AC和AB是平面ABC內(nèi)的相交直線，平面ABC平面ABC11如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論解析 當(dāng)點(diǎn)F為棱C1D1中點(diǎn)時(shí)，可使B1F平面A1BE，證明如下：分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接E

22、G，BG，CD1，F(xiàn)G，因?yàn)锳1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，因此D1CA1B，又E，G分別為D1D，CD的中點(diǎn)，所以EGD1C，從而EGA1B，這說明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE.因?yàn)樗倪呅蜟1CDD1與B1BCC1都為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.12在正方體ABCDA1B1C1D1中，Q是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F平面D1AQ，求A1F與平面BC

23、C1B1所成角的正切值的取值范圍解析 設(shè)平面AD1Q與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG，QG，則G為BC的中點(diǎn)分別取B1B，B1C1的中點(diǎn)M，N，連接A1M，MN，A1N，如圖所示A1MD1Q，A1M平面D1AQ，D1Q平面D1AQ，A1M平面D1AQ.同理可得MN平面D1AQ.A1M，MN是平面A1MN內(nèi)的兩條相交直線，平面A1MN平面D1AQ.由此結(jié)合A1F平面D1AQ，可得直線A1F平面A1MN，即點(diǎn)F是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成角為，移動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察，可得當(dāng)點(diǎn)F與M(或N)重合時(shí)，A1F與平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此時(shí)所成角達(dá)到最小值，滿足tan 2；當(dāng)點(diǎn)F與MN的中點(diǎn)重合時(shí)，A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值，滿足tan 2.A1F與平面BCC1B1所成角的正切值的取值范圍為2,214