2020屆高考數(shù)學大二輪復習 下篇 指導一 數(shù)學思想 融會貫通教學案

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1、指導一 數(shù)學思想融會貫通第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想通過建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題得到解決的思想構建方程或方程組，通過解方程或方程組或運用方程的性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決的思想函數(shù)思想與方程思想密切相關方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進行研究，方程f(x)a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關系函數(shù)與方程思想在函數(shù)、不等式中的應

2、用例1(2019煙臺三模)已知f(x)log2x，x2,16，對于函數(shù)f(x)值域內的任意實數(shù)m，使x2mx42m4x恒成立的實數(shù)x的取值范圍為()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)解析D因為x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立，即為m(x2)(x2)20恒成立設g(m)(x2)m(x2)2，則此函數(shù)在區(qū)間1,4上恒大于0，所以即解得x2或x2.函數(shù)與方程思想在不等式中的應用函數(shù)與不等式的相互轉化，把不等式轉化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質可解決相關的問題常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題一般利用函數(shù)思想構造新函數(shù)，建立函數(shù)關系求解活

3、學活用1(2019貴陽三模)設0a1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a，ae，ea1的大小關系為()Aea1aaeBaeaea1Caeea1a Daea1ae解析：B設f(x)exx1，x0，則f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0a1)在R上是減函數(shù)，得aae，從而ea1aae.函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用例2(2020蘭州模擬)設an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值_解析an為等差數(shù)列，則S44a16d4a16，S22a11，S1a1.又SS1S4知，(2a11)2a1(

4、4a16)，a1.答案1應用方程的思想求等差(或等比)數(shù)列中的通項時，根據(jù)題中的條件，列出關于首項和公差(或公比)的方程組，通過解方程組求出數(shù)列的首項和公差(或公比)，再根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項公式寫出an.2根據(jù)題目條件構造函數(shù)關系，把不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題是常用的解題思路活學活用2已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_解析：ananan1an1an2a2a1a12(n1)2(n2)2332(12n1)33(n1)n33，故n1.注意到對勾函數(shù)的單調性，易得n5或n6時，最小，而，故最小值為.答案：二數(shù)形結合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借

5、助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的利用數(shù)形結合思想研究函數(shù)的零點例1已知函數(shù)f(x)恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.解析D函數(shù)f(x)恰有3個零點，則3a在x2時有且只有一個實數(shù)根，且ex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根由3a在x2時有且只有一個實數(shù)根，得23a1，即a；ex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根，可轉化為axex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根，令g(x)xex，則g(x)ex(x1)，當x(2，1)時，g(x)0，當x(1,0)時，g(x

6、)0，所以函數(shù)g(x)在(2，1)上單調遞減，在(1,0)上單調遞增，當2x0時，函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示，所以當g(1)ag(2)，即a時，axex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根綜上，當a時，函數(shù)f(x)恰有3個零點，故選D.利用數(shù)形結合探究方程解的問題應注意兩點：(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)一般可構造兩個函數(shù)，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關鍵，數(shù)形結合應以快和準為原則，不要刻意去用數(shù)形結合活學活用1已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)是周期為2的偶函數(shù)且當x0,1時，

7、g(x)2x1，則函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)是()A5 B6C7 D8解析：B在同一坐標系中作出yf(x)和yg(x)的圖象如圖所示，由圖象可知當x0時，有4個零點，當x0時，有2個零點，所以一共有6個零點應用數(shù)形結合求解不等式、參數(shù)問題例2設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)0的解集是_解析設F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù)又當x0時，F(xiàn)(x)f(x)g(x)f

8、(x)g(x)0，所以x0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，所以x0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由圖象可知F(x)0的解集是(，3)(0,3)答案(，3)(0,3)求參數(shù)范圍或解不等式問題經常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化為數(shù)量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答活學活用2當x(1,2)時，(x1)2logax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意可知a1，在同一坐標系內作出y(x1)2，x(1,2)及ylogax的圖象，若ylogax過點

9、(2,1)，得loga21，所以a2.根據(jù)題意，函數(shù)ylogax，x(1,2)的圖象恒在y(x1)2，x(1,2)的上方，所以1a2.答案：(1,2利用數(shù)形結合求最值問題例3(1)(2019泉州三模)記實數(shù)x1，x2，xn中最小數(shù)為minx1，x2，xn，則定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)f(x)minx21，x3,13x的最大值為()A5 B6C8 D10解析C在同一坐標系中作出三個函數(shù)yx21，yx3，y13x的圖象如圖：由圖可知，在實數(shù)集R上，minx21，x3,13x為yx3上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC，與直線y13x點C下方的部分的組合圖顯然，在區(qū)間0，)上，在C點時，y

10、minx21，x3,13x取得最大值解方程組得點C(5,8)所以f(x)max8.(2)已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m,0)，B(m,0)(m0)若圓C上存在點P，使得APB90，則m的最大值為()A7 B6C5 D4解析B根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因為APB90，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離因為|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.運用數(shù)形結合思想求解最值問題(1)對于幾何圖形中的動態(tài)問題，應分析各個變量的變化過程，找出其中的相互關系求解(2

11、)應用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數(shù)形式，主要有：比值可考慮直線的斜率；二元一次式可考慮直線的截距；根式分式可考慮點到直線的距離；根式可考慮兩點間的距離活學活用3(2019南昌三模)若x，y滿足約束條件則的最大值為_解析：畫出可行域，如圖所示，z表示可行域內的點和定點F(6,6)連線的斜率，顯然直線AF的斜率最大，kAF3，即的最大值是3.答案：3第2講分類討論思想、轉化與化歸思想一分類討論思想分類討論的思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略，對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增

12、設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度由概念、性質、運算引起的分類討論例1(1)(2020山師附中模擬)已知函數(shù)f(x)若f(2a)1，則f(a)等于()A2B1C1 D2解析A當2a2，即a0時，22a211，解得a1，則f(a)f(1)log23(1)2；當2a2即a0時，log23(2a)1，解得a，舍去所以f(a)2.故選A.(2)(2020阜陽模擬)等比數(shù)列an中，a1a4a72，a3a6a918，則an的前9項和S9_.解析由題意得q29，q3，當q3時，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261826；當q3時，a2a5a83(a1

13、a4a7)6，S9261814，所以S914或26.答案14或26數(shù)學概念運算公式中常見的分類(1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義，直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論；(2)由除法運算中除數(shù)不為零，不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數(shù)(或式)時的不等號等引起分類討論；(3)由數(shù)學公式、定理、性質成立的條件等引起分類討論活學活用1已知函數(shù)f(x)axb(a0，a1)的定義域和值域都是1,0，則ab_.解析：當a1時，函數(shù)f(x)axb在1,0上為增函數(shù)，由題意得無解當0a1時，函數(shù)f(x)axb在1,0上為減函數(shù)，由題意得解得所以ab.答案：由圖形位置或形狀引起的分類討論例2(20

14、19泉州三模)若雙曲線1的漸近線方程為yx，則m的值為()A1 B.C. D1或解析B根據(jù)題意可分以下兩種情況討論：當焦點在x軸上時，則有解得m1，此時漸近線方程為y x，由題意，解得m.當焦點在y軸上時，則有解得m3，此時漸近線方程為y x，由題意，解得：m；與m3矛盾(舍去)結合以上可知m.故選B.圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論；相關計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論活學活用2設ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，ABC的面積為，則

15、a的值為_解析：由三角形面積公式，得31sin A，故sin A.因為sin2Acos2A1，所以cos A .當cos A時，由余弦定理，得a2b2c22bccos A32122138，所以a2.當cos A時，由余弦定理，得a2b2c22bccos A321221312，所以a2.綜上所述，a2或2.答案：2或2由變量或參數(shù)引起的分類討論例3(2019濰坊三模節(jié)選)設函數(shù)f(x)x3axb，xR，其中a，bR.求f(x)的單調區(qū)間解析由f(x)x3axb，可得f(x)3x2a.下面分兩種情況：當a0時，f(x)3x2a0恒成立所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)當a0時，令f(x)0，解得x

16、或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如表：xf(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.幾種常見的由參數(shù)變化引起的分類與整合1含有參數(shù)的不等式的求解2含有參數(shù)的方程的求解3對于解析式系數(shù)含參數(shù)的函數(shù)，求最值或單調性問題4二元二次方程表示曲線類型的判定等5直線與圓錐曲線位置關系的分類活學活用3函數(shù)f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當a0時，f(x)4x3在x0,2上為單調遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當a0時，函數(shù)f(x)ax24x3a23，其對稱軸為x.當a0時，f(x)ax24x3在x0,2上為單

17、調遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當a0時，只有當2，即1a0時，f(x)ax24x3在x0,2上為單調遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意綜上，當a1時，函數(shù)f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)答案：1，)二轉化與化歸思想轉化與化歸思想，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題特殊與一般的轉化例1(2019長沙三模)(1)過拋物線yax2(a0)的焦點F，作一直線交拋物線于P，Q兩點若線段PF與FQ的長

18、度分別為p，q，則等于()A2a B.C4a D.解析C拋物線yax2(a0)的標準方程為x2y(a0)，焦點F.過焦點F作直線垂直于y軸，則|PF|QF|，4a.(2)(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析由題意，不妨設b(2,0)，a(cos ，sin )，則ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )令y|ab|ab|，令y，則y210216,20由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案42(1)一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單特殊問題一

19、般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果(2)對于某些選擇題、填空題，如果結論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案活學活用1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則_.解析：顯然ABC為等邊三角形時符合題設條件，所以.答案：正與反的轉化例2(2019吉林三模)若對于任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x

20、)0在(t,3)上恒成立(正反轉化)由得3x2(m4)x20，即m43x，當x(t,3)時恒成立，m43t恒成立，則m41，即m5；由得3x2(m4)x20，即m43x，當x(t,3)時恒成立，則m49，即m.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調函數(shù)的m的取值范圍為答案(1)本題是正與反的轉化，由于不為單調函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則(2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中活學活用2由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，得m的取值范圍是(，a)，則實數(shù)a的取值

21、是()A(，1) B(，2)C1 D2解析：C命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m0”是真命題，可得m的取值范圍是(，1)，而(，a)與(，1)為同一區(qū)間，故a1.主與次的相互轉化例3(2019西安三模)已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導函數(shù)對滿足1a1的一切a的值，都有g(x)0，則實數(shù)x的取值范圍為_解析由題意，知g(x)3x2ax3a5，對(a)(3x)a3x25，1a1.對1a1，恒有g(x)0，即(a)0，即解得x1.故當x時，對滿足1a1的一切a的值，都有g(x)0.答案(1)本題是把關于x的函數(shù)轉化為在1,1內關于a的一次函數(shù)小于0恒成立的問題(2)在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是常量，從而達到減少變元簡化運算的目的活學活用3對于滿足0p4的所有實數(shù)p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_解析：設f(p)(x1)px24x3，則當x1時，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒為正，等價于即解得x3或x1.答案：(，1)(3，)- 13 -