2019-2020學年高中數(shù)學 第1章 統(tǒng)計案例章末復習課學案 新人教B版選修1-2

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1、第1章 統(tǒng)計案例回歸分析問題建立回歸模型的步驟：(1)確定研究對象，明確變量x，y.(2)畫出變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等)(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，則選用回歸直線方程bxa)(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)(5)得出回歸方程另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時間性樣本的取值范圍一般不能超過回歸直線方程的適用范圍，否則沒有實用價值【例1】假設(shè)一個人從出生到死亡，在每個生日那天都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回歸

2、來分析下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm90.897.6104.2110.9115.7122.0128.5年齡/周歲10111213141516身高/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.6173.0(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程；(3)對于這個例子，你如何解釋回歸系數(shù)的含義？(4)解釋一下回歸系數(shù)與每年平均增長的身高之間的聯(lián)系思路探究(1)作出散點圖，確定兩個變量是否線性相關(guān)；(2)求出，寫出線性回歸方程；(3)回歸系數(shù)即的值，是一個單位變化量；(4)根據(jù)線性回歸方程可找出其規(guī)律解(1)數(shù)據(jù)的散點圖如下：

3、(2)用y表示身高，x表示年齡，因為(34516)9.5，(90.897.6173.0)132，6.316，b71.998，所以數(shù)據(jù)的線性回歸方程為y6.316x71.998.(3)在該例中，回歸系數(shù)6.316表示該人在一年中增加的高度(4)回歸系數(shù)與每年平均增長的身高之間近似相等1假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預(yù)報有效穗解(1)散點圖如下(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，

4、有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系設(shè)回歸方程為bxa，30.36，43.5，5 101.56，9 511.43. 1 320.66，21 892.25，2921.729 6，iyi6 746.76.由0.29，43.50.2930.3634.70.故所求的線性回歸方程為34.700.29x.當x56.7時，34.700.2956.751.143.估計成熟期有效穗約為51.143.獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下，我們構(gòu)造的隨機變量2應(yīng)該很

5、小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機變量2的含義，可以通過P(26.635)0.01來評價假設(shè)不合理的程度，由實際計算出26.635說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度為99%.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表(2)根據(jù)公式2計算2的值(3)比較2與臨界值的大小關(guān)系并作統(tǒng)計推斷【例2】在某校高三年級一次全年級的大型考試中數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？物理化學總分數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀

6、14315699注：該年級此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人思路探究分別列出數(shù)學與物理，數(shù)學與化學，數(shù)學與總分優(yōu)秀的22列聯(lián)表，求k的值由觀測值分析，得出結(jié)論解(1)列出數(shù)學與物理優(yōu)秀的22列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀228132360數(shù)學非優(yōu)秀143737880合計3718691 240n11228，n12132，n21143，n22737，n1360，n2880，n1371，n2869，n1 240.代入公式2得21270.114 3.(2)列出數(shù)學與化學優(yōu)秀的22列聯(lián)表如下：化學優(yōu)秀化學非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀225135360數(shù)學非優(yōu)秀156724880合計

7、3818591 240n11225，n12135，n21156，n22724，n1360，n2880，n1381，n2859，n1 240.代入公式，得22240.611 2.(3)列出數(shù)學與總分優(yōu)秀的22列聯(lián)表如下：總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀26793360數(shù)學非優(yōu)秀99781880合計3668741 240n11267，n1293，n2199，n22781，n1360，n2880，n1366，n2874，n1 240.代入公式，得23486.122 5.由上面計算可知數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，由計算分別得到2的統(tǒng)計量都大于臨界值6.635，由此說明有99%的把握認為數(shù)

8、學優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與物理次之2某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病請用所學知識分析該藥品對預(yù)防A疾病是否有效解將問題中的數(shù)據(jù)寫成如下22列聯(lián)表：患A疾病不患A疾病合計服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式2中，計算可得20.041 4，因為0.041 43.841，故沒有充分理由認為該保健藥品對預(yù)防A疾病有效.轉(zhuǎn)化與化歸思想在回歸分析中的應(yīng)用回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關(guān)關(guān)

9、系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化如果兩個變量非線性相關(guān)，我們可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題【例3】某商店各個時期的商品流通率y(%)的商品零售額x(萬元)資料如下：x9.511.513.515.517.5y64.643.22.8x19.521.523.525.527.5y2.52.42.32.22.1散點圖顯示出x與y的變動關(guān)系為一條遞減的曲線經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：ya.試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元的商品流通率解設(shè)u，則yabu，得下表數(shù)據(jù)：u0.105 30

10、.087 00.074 10.064 50.057 1y64.643.22.8u0.051 30.046 50.042 60.039 20.036 4y2.52.42.32.22.1由表中數(shù)據(jù)可得y與u之間的回歸直線方程為0.187 556.25 u.所以所求的回歸方程為0.187 5.當x30時，y1.687 5，即商品零售額為30萬元時，商品流通率為1.687 5%.3在某化學實驗中，測得如下表所示的6對數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學反應(yīng)進行的時間，y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量x/min123456y/mg39.832.225.420.316.213.3(1)設(shè)y與x之間具有

11、關(guān)系ycdx，試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計c和d的值(精確到0.001)；(2)估計化學反應(yīng)進行到10 min時未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到0.1)解(1)在ycdx兩邊取自然對數(shù)，令ln yz，ln ca，ln b，則zabx.由已知數(shù)據(jù)，得x123456y39.832.225.420.316.213.3z3.6843.4723.2353.0112.7852.588由公式得3.905 5，0.221 9，則線性回歸方程為3.905 50.221 9x.而ln c3.905 5，ln d0.221 9，故c49.675，d0.801，所以c，d的估計值分別為49.675,0.801.(2)當x10時，由(1

12、)所得公式可得y5.4(mg)所以化學反應(yīng)進行到10 min時未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為5.4 mg.1為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程bxa，其中0.76，.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A11.4萬元B11.8萬元C12.0萬元 D12.2萬元解析由題意知，10，8，80.76100.4，當x15時，0.76150.411.8(萬元)答案B2根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52

13、.03.0得到的回歸方程為bxa，則()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0解析作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線bxa的斜率b0，當x0時，a0.故a0，b0.答案B3下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，17)建立模型：30.413.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：9917.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投

14、資額的預(yù)測值；(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由解(1)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為30.413.519226.1(億元)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為9917.59256.5(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：()從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y30.413.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線

15、的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠()從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠(以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)4某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分

16、成兩組，每組20人第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：2.解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中

17、，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱

18、分布又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高(以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m80.列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于2106.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異5如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.

19、01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量附注：參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程abt中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，0.55， (ti)(yi)tiyiyi40.1749.322.89，r0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系(2)由1.331及(1)得0.103.1.3310.10340.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為0.920.10t.將2016年對應(yīng)的t9代入回歸方程得0.920.1091.82. 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸- 11 -