2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題一 函數(shù)與導數(shù) 第1講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學案

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1、 第1講　函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情考向·高考導航] 1．高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎知識為主，難度中等偏下． 2．對圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結合的思想解決問題． 3．對函數(shù)性質(zhì)的考查，主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合在一起考查，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù)．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，且常與新定義問題相結合，難度較大． [真題體驗] 1．(2018·全國Ⅲ卷)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是(　　) A．y＝ln(1－x)　　　　　　 B．y＝ln(2－x) C．y＝

2、ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) 解析：B　[y＝ln x過點(1,0)，(1,0)關于x＝1的對稱點是(1,0)，而只有B選項過此點，故選B.] 2．(2019·全國Ⅱ卷)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x<0時，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 解析：D　[當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1， 又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝e－x－1， 即f(x)＝－e－x＋1.] 3．(2018·全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為(　　) 解析：B　[∵f(－x)＝

3、＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)，排除選項A；又∵f(1)＝e－>1，排除選項C、D，故選B.] 4．(2018·全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 解析： D　[畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖，①當2x＜0，x＋1≥0時f(x＋1)＜f(2x)成立，∴－1≤x＜0.②當2x≤0，x＋1≤0時，要使f(x＋1)＜f(2x)成立，只需x＋1＞2x，∴x≤－1.由①②知滿足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范圍是(－∞，0)．] [主干整合] 1．函數(shù)的

4、圖象 對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖． 作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 2．函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性 對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)某一區(qū)間D上的任意x1，x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)?y＝f(x)在D上是增(減)函數(shù)； 對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)某一區(qū)間D上的任意x1，x2，＞0(＜0)?y＝f(x)在D上是增(減)函數(shù)． (2)奇偶性 對于定義域(關于原點對稱)內(nèi)的任意x，f(x)＋f(－x)＝0?y＝f(x)是奇函數(shù)； 對于定義域(關于原點對稱)內(nèi)的任意x，f(x)－f

5、(－x)＝0?y＝f(x)是偶函數(shù)． (3)周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期是T＝2a(a≠0)； ②若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期是T＝2a(a≠0)； ③若滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期是T＝2a(a≠0)； ④若函數(shù)滿足f(x＋a)＝－，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期是T＝2a(a≠0)． (4)對稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．提醒：函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(

6、a－x)的圖象對稱軸為x＝0，并非直線x＝a. ②若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱． ③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則該函數(shù)圖象關于點(a，b)成中心對稱． 熱點一　函數(shù)及其表示 [題組突破] 1．(2020·蘇州模擬)函數(shù)f(x)的定義域是[0,3]，則函數(shù)y＝的定義域是____________________． 解析：因為函數(shù)f(x)的定義域是[0,3]，所以由得即≤x＜2且x≠1， 即函數(shù)的定義域為. 答案： 2．(2018·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－

7、2,2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． 解析：因為f(x＋4)＝f(x)，函數(shù)的周期為4，所以y＝sin(2x＋4)，f(15)＝f(－1)，f(－1)＝＝， ∴f(f(15))＝f＝cos＝. 答案： 3．(2017·課標全國Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是________． 解析：由題意：g(x)＝f(x)＋f＝，函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0]，，三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增，且：g＝1,20＋0＋＞1，(＋1)×20－1＞1，據(jù)此x的取值范圍是：. 答案： 4．(多選題)在下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是(　　)

8、 A．f(x)＝x－1，g(x)＝ B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0 D．f(x)＝，g(x)＝ 解析：BD　[本題考查判斷兩個函數(shù)是否相同．對于A，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≠－1}，f(x)與g(x)的定義域不相同，則不是同一函數(shù)；對于B，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為R，f(x)與g(x)的定義域相同，f(x)＝|x＋1|＝對應關系相同，則f(x)與g(x)是同一函數(shù)；對于C，函數(shù)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≠－1}，f(x)與g(x)的定義域不相同，則不是同一函數(shù)；對于D

9、，函數(shù)f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)的定義域與對應法則均相同，是同一函數(shù)．故選BD.] 　 函數(shù)及其表示問題的注意點 1．求函數(shù)的定義域時，要全面地列出不等式組，不可遺漏，并且要注意所列不等式中是否包含等號． 2．對于分段函數(shù)解方程或不等式的問題，要注意在所應用函數(shù)解析式對應的自變量的范圍這個大前提，要在這個前提條件下解決問題． 熱點二　函數(shù)的圖象及其應用 [例1]　(1)(2019·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝在[－π，π]的圖象大致為(　　) [解析]　D　[∵f(－x)＝＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)，排除A. 當x＝π時，f(π)＝＞0，排除B

10、，C.故選D.] (2) 如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} [解析]　 C　[令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖． 由得 ∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}．] 識圖、用圖的方法技巧 (1)識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關系．如例1(1) (2)用圖：在研究函數(shù)性質(zhì)特別是

11、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系，結合圖象研究．如例1(2) (1)(2019·南昌三模)函數(shù)f(x)＝的部分圖象大致是(　　) 解析：B　[因為函數(shù)f(x)的定義域為∪∪，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)， 所以f(x)的圖象關于y軸對稱，故排除A， 令f(x)＝0，即＝0，解得x＝0， 所以函數(shù)f(x)只有一個零點，故排除D， 當x＝1時，f(1)＝＜0，故排除C， 綜上所述，只有B符合．] (2)(2019·德州三模)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．設f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大

12、值為________． 解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的圖象如圖中實線所示．令x＋2＝10－x，得x＝4.故當x＝4時，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值為6. 答案：6 熱點三　函數(shù)的性質(zhì)及其應用 數(shù)學 抽象 素養(yǎng) 數(shù)學抽象——抽象函數(shù)與函數(shù)的“三性” 函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性. 　　　　確定函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等 [例2]　(1)(2019·唐山

13、調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A．f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B．f(x)在(0,2)單調(diào)遞減 C．y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D．y＝f(x)的圖象關于點(1,0)對稱 [解析]　C　[由題意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，C正確，D錯誤；又f′(x)＝－＝(0＜x＜2)，在(0,1)上單調(diào)遞增，在[1,2)上單調(diào)遞減，A、B錯誤．故選C.] (2)(2019·大同三模)設函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A.　　

14、　　　 B.∪(1，＋∞) C. D.∪ [解析]　A　[f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)＞f(2x－1)?f(|x|)＞f(|2x－1|)?|x|＞|2x－1|?＜x＜1.] 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 [例3]　(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50　　　　　　　　 B．0 C．2 D．50 [解析]　C　[f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱， 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)關于x＝1對稱，

15、故知f(x)是周期函數(shù)，周期T＝4. 又∵f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(－2)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.] (2)(2019·武漢三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當x∈[－1,1]時，f(x)＝x，則(　　) A．f(－3)＜f(2)＜f B．f＜f(－3)＜f(2) C．f(2)＜f(－3)＜f D．f(2)＜f＜f(－3) [解析]　D　[因為f

16、(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，即函數(shù)的周期是2， 當x∈[－1,1]時，f(x)＝x＝x·，則f(－x)＝－x·＝－x·＝x·＝f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)， 當0≤x＜1時，函數(shù)y＝x為增函數(shù)，y＝1－也為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x＝x·在0≤x＜1為增函數(shù)，則f＝f＝f，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(1)，f(2)＝f(0)，則f(0)＜f＜f(1)，即f(2)＜f＜f(－3)．] 函數(shù)三個性質(zhì)的應用 (1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上．

17、尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)． (2)單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性． (3)周期性：利用周期性可以轉化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解． (1)(2019·貴陽調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)， ∴f(919)＝f(153×6＋

18、1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 答案：6 (2)(2019·青島三模)已知偶函數(shù)y＝f(x)(x∈R)在區(qū)間[－1,0]上單調(diào)遞增，且滿足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，給出下列判斷： ①f(5)＝0；②f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；③函數(shù)y＝f(x)沒有最小值；④函數(shù)f(x)在x＝0處取得最大值；⑤f(x)的圖象關于直線x＝1對稱． 其中正確的序號是________． 解析：因為f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)(x∈R)關于點(1,0)對稱，且周期為4，畫出滿足條件的圖象，結合圖象可知①②

19、④正確． 答案：①②④ 限時40分鐘　滿分80分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2020·湖北部分重點中學起點考試)已知函數(shù)f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，則f(－a)＝(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．－1 C．3 D．－3 解析：D　[解法一　由題意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)ln－1＋(ea＋e－a)ln－1＝(ea＋e－a)－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故選D. 解法二　令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln，則g(－x)＝(e－x＋ex)ln＝－(ex＋e－x

20、)ln＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故選D.] 2．(2020·唐山摸底)設函數(shù)f(x)＝x(ex＋e－x)，則f(x)(　　) A．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) 解析：A　[通解　由已知可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，當x＞0時，ex＞e－x，所以x(ex－e－x

21、)＞0，又ex＋e－x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選A. 優(yōu)解　根據(jù)題意知f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．又f(1)＜f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選A.] 3．(2019·合肥調(diào)研)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則g(f(－7))＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：D　[函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝ 設x＜0，則－x＞0，則f(－x)＝log2(－x＋1)， 因為f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，

22、所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)， 所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3， 所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.] 4．(2020·大連模擬)若函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”： (1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0； (2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0. ①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)． 以上四個函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　[由條件(1)，得f(x)是奇函數(shù)，由條件(2)，

23、得f(x)是R上的減函數(shù)． 對于①，f(x)＝sin x在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于④，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，故不是“優(yōu)美函數(shù)”．故選B.] 5．(2020·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝(－x＋a＋1)log2(x＋2)＋x＋m，其中a，m是常數(shù)，且a＞0.若f(0)＋f(a)＝1，則f(m－3)＝(　　) A．1 B．－1 C．6 D．－6 解析：C　[由題意知f(0)＝a＋1＋m＝

24、0，所以a＋m＝－1，又f(a)＝log2(a＋2)＋a＋m，f(0)＋f(a)＝1，所以log2(a＋2)＝2，解得a＝2，所以m＝－3.于是，當x≥0時，f(x)＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故選C.] 6．(組合型選擇題)函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的圖象分別如圖(1)(2)所示： 給出下列四個命題： ①方程f(g(x))＝0有且僅有6個根； ②方程g(f(x))＝0有且僅有3個根； ③方程f(f(x))＝0有且僅有5個根； ④方程g(f(g))＝0有且僅有4個根； 其中正

25、確命題的個數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：B　[由圖象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2. 對于①，觀察f(x)的圖象，可知滿足方程f(g(x))＝0的g(x)有三個不同的值，一個值在－2或－1之間，一個值為0，一個值在1與2之間． 再觀察g(x)的圖象，由圖象知，g(x)的值在－2與－1之間時對應了2個x值， g(x)＝0時對應了2個x值，g(x)的值在1與2之間時對應了2個x值，故方程f(g(x))＝0有且僅有6個根，故①正確． 對于②，觀察g(x)的圖象，可知滿足g(f(x))＝0的f(x)有兩個不同的值，一個值處于－2與－1之間，另一個值處

26、于0與1之間．觀察f(x)的圖象，知f(x)的值在－2與－1之間時對應了1個x值，f(x)的值在0與1之間時對應了3個x值，所以方程g(f(x))＝0有且僅有4個根，故②不正確． 對于③，觀察f(x)的圖象，可知滿足方程f(f(x))＝0的f(x)有3個不同的值，一個值在－2與－1之間，一個值為0，一個值在1與2之間． 再觀察f(x)的圖象，由圖象知f(x)的值在－2與－1之間時對應了1個x值，f(x)＝0時對應了3個x值，f(x)的值在1與2之間時對應了1個x值，故方程f(f(x))＝0有且僅有5個根，故③正確． 對于④，觀察g(x)的圖象，可知滿足方程g(g(x))＝0的g(x)有2

27、個不同的值，一個值在－2與－1之間，一個值在0與1之間．再觀察g(x)的圖象，由圖象可知g(x)的值在－2與－1之間時對應了2個x值，g(x)的值在0與1之間時對應了2個x值，故方程g(g(x))＝0有且僅有4個根，故④正確． 綜上所述，正確命題的個數(shù)是3.故選B.] 7．(2019·廣州二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關于直線x＝－1對稱，則f(2 022)的值為(　　) A．2 018 B．－2 018 C．0 D．4 解析：C　[依題意得，函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝0對稱，因此函

28、數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)y＝f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.] 8．(2019·蘇州調(diào)研)函數(shù)y＝的部分圖象大致為(　　) 解析：C　[令f(x)＝， ∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0， ∴排除選項A，D. 由1－cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z)， 故函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱． 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，∴排除選項B.故選C.] 9．已知函

29、數(shù)f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)．當x＝a時，f(x)取得最小值b，則函數(shù)g(x)＝|x＋b|的圖象為(　　) 解析：B　[因為x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，當且僅當x＝2時取等號，且f(x)的最小值為1，所以a＝2，b＝1，所以g(x)＝|x＋1|，其圖象關于直線x＝－1對稱，又g(x)＝|x＋1|≤0＝1，所以B.] 10．(2020·河北衡水中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋sin x，其中f′(x)為函數(shù)f(x)的導數(shù)，則f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)－f′(－2 019)等于(　　) A．2

30、B．2 019 C．2 018 D．0 解析：A　[由題意得f(x)＋f(－x)＝2， ∴f(2 018)＋f(－2 018)＝2， 由f(x)＋f(－x)＝2可得f(x)－1＋f(－x)－1＝0， ∴y＝f(x)－1為奇函數(shù)， ∴y＝f(x)－1的導函數(shù)為偶函數(shù)， 即y＝f′(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱， ∴f′(2 019)－f′(－2 019)＝0， ∴f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)－f′(－2 019)＝2.故選A.] 11．(2019·定州二模)已知a＞0，設函數(shù)f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M＋N＝

31、(　　) A．2 017 B．2 019 C．4 040 D．4 036 解析：D　[由題意得f(x)＝＝2 019－. 因為y＝2 019x＋1在[－a，a]上是單調(diào)遞增的， 所以f(x)＝2 019－在[－a，a]上是單調(diào)遞增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)， 所以M＋N＝f(a)＋f(－a) ＝4 038－－＝4 036.] 12．(2019·貴陽監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)＝，則下列結論正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,2)中心對稱 B．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù) C．函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點A、B，使得直線AB∥x軸 D

32、．函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 解析：A　[因為f(x)＝＝＝＋2，所以該函數(shù)圖象可以由y＝的圖象向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度得到，所以函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,2)中心對稱，A正確，D錯誤；易知函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，故B錯誤；易知函數(shù)f(x)的圖象是由y＝的圖象平移得到的，所以不存在不同的兩點A、B，使得直線AB∥x軸，C錯誤．故選A.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(2020·安徽江淮十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝log(x2＋2)＋，若f(2x＋1)≥f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是____________． 解析：

33、易知f(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴|2x＋1|≤|x|，解得－1≤x≤－，∴x∈. 答案： 14．(2019·北京卷)設函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝____________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是____________． 解析：若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)恒成立，即(a＋1)(ex＋e－x)＝0恒成立，欲(a＋1)(ex＋e－x)＝0對任意的x恒成立．需a＋1＝0，即a＝－1時，所以a＝－1. 若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x是R上的增

34、函數(shù)，則f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0. 即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]． 答案：－1　(－∞，0] 15．(2020·湖北省八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝若f(e2)＝f(1)，f(e)＝f(0)，則函數(shù)f(x)的值域為________________． 解析：由題意可得解得∴當x＞0時，f(x)＝(ln x)2－2ln x＋3＝(ln x－1)2＋2≥2；當x≤0時，＜ex＋≤e0＋＝，則函數(shù)f(x)的值域為∪[2，＋∞)． 答案：∪[2，＋∞) 16．(2020·遼寧五校聯(lián)考)如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1≠x2，都有x1f(x1)＋

35、x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，則稱f(x)為“H函數(shù)”，給出下列函數(shù)： ①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x) ③y＝1－ex；④f(x)＝；⑤y＝. 其中是“H函數(shù)”的是________．(寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號) 解析：因為x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，所以f(x1)(x1－x2)－f(x2)(x1－x2)≥0，即[f(x1)－f(x2)](x1－x2)≥0，分析可得，若函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)或常函數(shù)．對于①，y＝－x3＋x＋1，則y′＝－3x2＋1，所以y＝－x3＋x＋1既不是R上的增函數(shù)也不是常函數(shù)，故其不是“H函數(shù)”；對于②，y＝3x－2(sin x－cos x)，則y′＝3－2(cos x＋sin x)＝3－2sin＞0，所以y＝3x－2(sin x－cos x)是R上的增函數(shù)，故其是“H函數(shù)”；對于③，y＝1－ex是R上的減函數(shù)，故其不是“H函數(shù)”；對于④，f(x)＝當x＜1時，是常函數(shù)，當x≥1時，是增函數(shù)，且當x＝1時，ln x＝0，故其是“H函數(shù)”；對于⑤，y＝，當x≠0時，y＝，不是R上的增函數(shù)也不是常函數(shù)，故其不是“H函數(shù)”．所以滿足條件的函數(shù)的序號是②④. 答案：②④ - 15 -