2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓（第1課時）橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓（第1課時）橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓（第1課時）橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)橢圓考綱傳真1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應(yīng)用1橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.當(dāng)2a|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya

2、對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1) a，b，c的關(guān)系c2a2b2常用結(jié)論1點P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)1.(2)點P(x0，y0)在橢圓上1.(3)點P(x0，y0)在橢圓外1.2焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的PF1F2叫做焦點三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F(xiàn)1PF2，PF1F2的面積為S，則在橢圓1(ab0)中：(1)當(dāng)r1r2時，即點P的位置為短軸端點時，最大；(2)Sb2

3、tan c|y0|，當(dāng)|y0|b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.(3)ac|PF1|ac.3橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊長，a2b2c2.4已知過焦點F1的弦AB，則ABF2的周長為4a.5橢圓中點弦的斜率公式若M(x0，y0)是橢圓1(ab0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kABkOM，即kAB.6弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長|AB|x1x2|y1y2|(k為直線斜率)基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓()(2)橢

4、圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)關(guān)于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓()答案(1)(2)(3)(4)2橢圓1的焦點坐標(biāo)為()A(3,0)B(0，3)C(9,0) D(0，9)B由題意可知a225，b216，c225169，c3，又焦點在y軸上，故焦點坐標(biāo)為(0，3)3已知動點M到兩個定點A(2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動點M的軌跡方程為()A.y21 B.1C.x21 D.1D由題意有6224，故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，則2a

5、6，c2，故a29，所以b2a2c25，故橢圓的方程為1，故選D.4若一個橢圓長軸的長、短軸的長和焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.C由題意有b2ac.又b2a2c2，則a2c2ac，即12，則e2e10，解得e.因為0e1，所以e.故選C.5(教材改編)橢圓C：1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點，則F1AB的周長為_20由橢圓的定義可知，F(xiàn)1AB的周長為4a4520.第1課時橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】(1)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外

6、切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1B.1C.1 D.1(2)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且AF1F245，則AF1F2的面積為()A7 B.C. D.(1)D(2)C(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a16,2c8，則a8，c4，b248，故所求的軌跡方程為1.(2)由題意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.

7、|AF1|，SAF1F22.規(guī)律方法1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等.2.橢圓的定義式必須滿足2a|F1F2|.(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D圓(2)(2019徐州模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_.(1)A(2)3(1)由題意可知，CD是線段MF的垂直平分

8、線，|MP|PF|，|PF|PO|PM|PO|MO|(定值)又|MO|FO|，點P的軌跡是以F，O為焦點的橢圓，故選A.(2)設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓方程為_(3)過點(，)，且與橢圓1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)A(2)1(3)1(1)

9、由|AC|BC|188108知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)設(shè)其方程為1(ab0)，則a5，c4，從而b3.由A，B，C不共線知y0.故頂點C的軌跡方程是1(y0)(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.橢圓方程為1.(3)法一：橢圓1的焦點為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：所求橢圓與橢圓1的焦點相同，其焦點在y軸上，且c225916.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又點(，)在所求橢圓上，1，則1.由得b24，a220

10、，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法.(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (1)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若AF1B的周長為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1(2)橢圓E的焦點在x軸上，中心在原點，其短軸上的兩個頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.y21C.1 D.1(3)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：

11、x21(0b1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_(1)A(2)C(3)x2y21(1)AF1B的周長是4a4，所以a，e，所以c1，那么b2a2c22，所以方程是1.故選A. (2)由條件可知bc，a2，所以橢圓方程為1，故選C.(3)不妨設(shè)點A在第一象限，如圖所示AF2x軸，A(c，b2)(其中c21b2,0b1，c0)又|AF1|3|F1B|，由3得B，代入x21得1.又c21b2，b2.故橢圓E的方程為x2y21.橢圓的幾何性質(zhì)考法1求離心率或范圍【例3】(1)(2019深圳模擬)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分

12、別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為()A. B.C. D.(2)(2017全國卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)(1)D(2)A(1)法一：如圖，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan 30.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.法二：(特殊值法)在RtPF2F1中 ，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.故選D.(2)由題意知，當(dāng)M在短軸頂點時，AM

13、B最大如圖1，當(dāng)焦點在x軸，即m3時，a，b，tan tan 60，0m1.圖1圖2如圖2，當(dāng)焦點在y軸，即m3時，a，b，tan tan 60，m9.綜上，m(0,19，)，故選A.考法2與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的范圍問題【例4】(2019合肥質(zhì)檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則的最大值為_4由題意知a2，因為e，所以c1，b2a2c23.故橢圓方程為1.設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)所以2x02，y0.因為F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.則當(dāng)x02時，取得最大值4.規(guī)律

14、方法(1)求橢圓離心率的方法,直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.,列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路,求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式.(1)(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為()A1 B2C. D.1(2)若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最

15、大值為()A2 B3C6 D8(1)D(2)C(1)由題設(shè)知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.(2)由橢圓1可得F(1,0)，點O(0,0)，設(shè)P(x，y)(2x2)，則x2xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，當(dāng)且僅當(dāng)x2時，取得最大值6.1.(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()A.B.C. D.D由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|2c，PF1F2為等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，點P坐標(biāo)為(c2ccos 60，2csin 60)，即點P(2c，c)點P在過點A，且斜率為的直線上，解得，e，故選D.2(2016全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.B.C. D.B如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e.- 10 -