2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的方程性質及與弦有關的問題教學案

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1、 第2講　圓錐曲線的方程性質及與弦有關的問題 [考情考向·高考導航] 圓錐曲線是高考的重點和熱點，是高考中每年必考的內容．主要考查圓錐曲線的標準方程、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等內容．對圓錐曲線方程與性質的考查，以選擇題、填空題為主，對直線與圓錐曲線的位置關系的考查，常與其他知識交匯命題，多以解答題的形式出現(xiàn)． [真題體驗] 1．(2019·全國Ⅱ卷)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．8 解析：D　[由橢圓＋＝1，知半焦距c＝＝， ∴＝，∴p＝8.] 2．(2019·全國

2、Ⅱ卷)設F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：A　[以OF為直徑的圓為2＋y2＝，即x2＋y2－cx＝0， 與圓x2＋y2＝a2相減得直線PQ的方程為x＝， 由勾股定理得：＝＝， ∴|PQ|＝＝c， ∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4， 化簡得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即e＝.] 3．(2018·全國Ⅱ卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的

3、左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：D　[如圖直線AP的方程為y＝(x＋a)，?、? 直線PF2的方程為y＝(x－c)，② ①與②聯(lián)立解得：x＝，y＝(a＋c)， ∴P， ∴|PF2|＝ ＝(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c， ∴a＝4c，∴e＝＝.] 4．(2018·全國Ⅲ卷)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________. 解析：設直線AB的方

4、程為y＝k(x－1)，由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)， B(x2，y2)． 則x1＋x2＝，x1·x2＝1. ∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1 解·＝－1. 化簡得k2－4k＋4＝0，解得k＝2. 答案：2 [主干整合] 1．圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準線的距離)． 應用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導致錯誤． 2．圓錐曲線的標準方程 (1)橢圓

5、：＋＝1(a＞b＞0)(焦點在x軸上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦點在y軸上)； (2)雙曲線：－＝1(a＞0，b＞0)(焦點在x軸上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦點在y軸上)； (3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)． 3．圓錐曲線的重要性質 (1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系 ①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝ . ②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝ . (2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標 ①雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，焦點坐標F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． ②雙曲線－＝

6、1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，焦點坐標F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)． (3)拋物線的焦點坐標與準線方程 ①拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F，準線方程x＝－. ②拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點F，準線方程y＝－. 4．弦長問題 (1)直線與圓錐曲線相交的弦長 設而不求，利用根與系數(shù)的關系，進行整體代入．即當斜率為k，直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|＝ |x1－x2|＝ . (2)過拋物線焦點的弦長 拋物線y2＝2px(p＞0)過焦點F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB

7、|＝x1＋x2＋p. 熱點一　圓錐曲線的定義與標準方程 [例1]　(1)(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1，(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點．設A、B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　 　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析]　C　[設雙曲線的右焦點坐標為F(c,0)(c＞0)，則xA＝xB＝c， 由－＝1可得：y＝±， 不妨設：A，B， 雙曲線的一條漸近線方程為：bx－ay＝0， 據(jù)此可得：d1＝＝，d2＝＝， 則d1＋d2＝＝2b

8、＝6，則b＝3，b2＝9， 雙曲線的離心率：e＝＝ ＝ ＝2， 據(jù)此可得：a2＝3，則雙曲線的方程為－＝1.] (2)(2020·太原模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦點，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個交點，若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的準線方程為____________． [解析]　由題意得拋物線的焦點與雙曲線的右焦點(2a,0)重合．聯(lián)立消去y得3x2－8ax－3a2＝0，解得xP＝3a(負舍)．由點P在雙曲線上得|PF1|－|PF2|＝2a，又因為|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝6－a，又因為點P在拋物線上，所

9、以|PF2|＝3a＋2a＝5a＝6－a，解得a＝1，所以拋物線的準線方程為x＝－2a＝－2. [答案]　x＝－2 圓錐曲線定義及標準方程的關注點 1．圓錐曲線的定義是根本，“回歸定義”是一種重要的解題策略．對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等的轉化． 2．當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，雙曲線常設為mx2－ny2＝

10、1(mn＞0)． 3．注意數(shù)形結合，提倡畫出合理草圖． (1)(2019·全國Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a. 又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|， ∴|BF2|＝a，|AF2|＝|AF1|＝a， |BF1|＝a. 又|F1F2|＝2. ∴＝－ 解得a2＝3，∴b2＝2. ∴橢圓C的方

11、程為＋＝1.選B.] (2)(2020·龍巖質檢)已知以圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點，B點是拋物線C2：x2＝8y上任意一點，BM與直線y＝－2垂直，垂足為M，則|BM|－|AB|的最大值為(　　) A．1 B．2 C．－1 D．8 解析：A　[因為圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為C(1,0)， 所以可得以C(1,0)為焦點的拋物線方程為y2＝4x， 由解得A(1,2)． 拋物線C2：x2＝8y的焦點為F(0,2)， 準線方程為y＝－2， 即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1， 當且僅當A，B，F(xiàn)(

12、A在B，F(xiàn)之間)三點共線時，可得最大值1.] 熱點二　圓錐曲線的幾何性質 數(shù)學 運算 素養(yǎng) 數(shù)學運算——圓錐曲線的性質與不等式綜合中的核心素養(yǎng) 以學習過的圓錐曲線和不等式相關知識為基礎，通過將已知條件代數(shù)化，并進行一系列的數(shù)學運算，從而解決問題. [例2]　(1)(2019·長沙二模)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　D　[設P，線段F1P的中點Q的坐標為， y2＝，y2≥0. 但注意到b2－2c2≠0

13、，即2c2－b2＞0， 即3c2－a2＞0，即e2＞，故＜e＜1. 當不存在時，b2－2c2＝0，y＝0， 此時F2為中點，即－c＝2c，得e＝， 綜上，得≤e＜1， 即所求的橢圓離心率的取值范圍是.故選D.] (2)(2020·石家莊模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2c，直線l過點且與雙曲線C的一條漸近線垂直，以雙曲線C的右焦點為圓心，半焦距為半徑的圓與直線l交于M，N兩點，若|MN|＝c，則雙曲線C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x [解析]　B　[由題意可設漸近線方程為y＝x，則直線l的斜率kl＝－

14、，直線方程為y＝－， 整理可得ax＋by－a2＝0. 焦點(c,0)到直線的距離 d＝＝， 則弦長為2＝2 ＝c， 整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0， 即e4－9e2＋12e－4＝0， 分解因式得(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0. 又雙曲線的離心率e＞1，則e＝＝2， 又＝＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B.] (1)求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線中由于e2＝1＋2，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關． (2)圓錐曲線的幾何性質常涉及一些不等關系，例如對橢圓

15、＋＝1(a＞b＞0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求與圓錐曲線有關的一些量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時，經常用到這些不等關系． (1)(2018·全國Ⅲ卷)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：D　[∵e＝＝＝. ∴＝±1. ∴雙曲線C的漸近線方程為x±y＝0， ∴點(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 故答案選D.] (2)(2018·北京卷改編)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，雙曲線N：－＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的

16、兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________． 解析： 設橢圓的右焦點為F(c，0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內的交點為A， 由題意可知A， 由點A在橢圓M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，則4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2(舍)，e2＝4－2.由0＜e＜1，得e＝－1. 答案：－1 (3)(2019·臨沂三模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐

17、標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝________. 解析： 由e＝＝2，得c＝2a，b＝a，所以雙曲線的漸近線為y＝±x.又拋物線的準線方程為x＝－，聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得A，B， 在△AOB中，|AB|＝p，O到AB的距離為， 因為S△AOB＝，所以·p·＝，p＝2. 答案：2 熱點三　直線與圓錐曲線 [例3]　(2019·江蘇卷)如圖， 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于點A，與橢圓C交于點

18、D.連接AF1并延長交圓F2于點B，連接BF2交橢圓C于點E，連接DF1.已知DF1＝. (1)求橢圓C的標準方程； (2)求點E的坐標． [審題指導]　(1)直接根據(jù)條件運用橢圓的定義求解． (2)思路1：結合(1)中結論求出點A的坐標，寫出直線AF1的方程，并與圓的方程聯(lián)立得點B的坐標，從而寫出直線BF2的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立求得點E的坐標． 思路2：連接EF1，注意到∠A＝∠B＝∠BF1E，所以EF1∥F2A，可得EF1⊥x軸，從而可得點E的橫坐標為－1，將x＝－1與橢圓方程聯(lián)立可得點E的坐標． [解]　(1)設橢圓C的焦距為2c. 因為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)

19、，所以F1F2＝2，c＝1. 又因為DF1＝，AF2⊥x軸， 所以DF2＝ ＝ ＝. 因此2a＝DF1＋DF2＝4，從而a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝3. 因此橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)方法1：由(1)知，橢圓C：＋＝1，a＝2. 因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1. 將x＝1代入圓F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4. 因為點A在x軸上方，所以A(1,4)． 又F1(－1,0)，所以直線AF1：y＝2x＋2. 由得5x2＋6x－11＝0， 解得x＝1或x＝－. 將x＝－代入y＝2x＋2，解得y＝－. 因此B. 又F2(1,0)，所

20、以直線BF2：y＝(x－1)． 由得7x2－6x－13＝0， 解得x＝－1或x＝. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以x＝－1. 將x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－. 因此E. 方法2：由(1)知，橢圓C： ＋＝1. 如圖，連接EF1. 因為BF2＝2a， EF1＋EF2＝2a， 所以EF1＝EB， 從而∠BF1E＝∠B. 因為F2A＝F2B，所以∠A＝∠B. 所以∠A＝∠BF1E， 從而EF1∥F2A. 因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸． 因為F1(－1,0)，由得y＝±. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以y＝－. 因此E. 1

21、．在涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)關系與弦長公式|AB|＝|x2－x1|，設而不求計算弦長；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解，以簡化運算． 2．對于弦的中點問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關系時，要注意使用條件Δ＞0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交． (1)(2019·日照三模)中心為原點，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓方程為(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：C　[由已知知c＝5，設橢圓的方程為＋＝1，聯(lián)立得消去y得(10

22、a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，設直線y＝3x－2與橢圓的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數(shù)關系得x1＋x2＝，由題意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以該橢圓方程為＋＝1，故選C.] (2)(2018·全國Ⅰ卷)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[如圖焦點F(1,0)， 直線的方程為y＝(x＋2)， 將其代入y2＝4x得：x2－5x＋4＝0， 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，

23、則x1＋x2＝5，x1x2＝4， ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(x1＋2)·(x2＋2) ＝x1x2－(x1＋x2)＋ ＝×4－×5＋＝8.故選D.] 限時50分鐘　滿分76分 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2019·天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　　　 　　　　 B. C．2 D. 解析：

24、D　[雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝＝ . l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 故得A，B， 所以|AB|＝，＝4，b＝2a， 所以e＝＝＝.故選D.] 2．(2020·貴陽監(jiān)測)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A，B兩點，若△FAB是正三角形，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：C　[ 如圖，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化簡可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以＝，所以橢圓的離心率e＝＝ ＝

25、，故選C.] 3．(2020·福州模擬)過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點．若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由題設知，直線l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝.又圓與直線l有公共點，所以≤，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故選A.] 4．(2019·全國Ⅲ卷)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一條

26、漸近線上，O為坐標原點，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：A　[忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．由a＝2，b＝，c＝＝. ∵|PO|＝|PF|，∴xP＝， 又P在C的一條漸近線上，不妨設為在y＝x上， ∴S△PFO＝|OF|·|yP|＝××＝，故選A.] 5．(2019·煙臺三模)過拋物線E：x2＝2py(p＞0)的焦點，且與其對稱軸垂直的直線與E交于A，B兩點，若E在A，B兩點處的切線與E的對稱軸交于點C，則△ABC外接圓的半徑是(　　) A．(－

27、1)p B．p C.p D．2p 解析：B　[因為直線過拋物線E：x2＝2py(p＞0)的焦點，且與其對稱軸垂直，∴A，B，由y′＝可知E在A，B兩點處的切線斜率為k1＝1，k2＝－1， ∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC， 即△ABC為直角三角形，又|AB|＝2p，所以△ABC外接圓的半徑是p.] 6．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[設出拋物線和圓的方程，將點的坐標代入，聯(lián)立方程組求解． 設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0

28、)， 圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4.] 二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分) 7．(2020·深圳模擬)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p＞0)，C1與C2相交于A，B兩點，|AB|＝，則拋物線C2的方程為____________． 解析：由題意，知圓C1與拋物線C2的其中一個交點為原點，不妨記為B，設A(m，n)．∵|AB|＝， ∴∴即A.將A的坐

29、標代入拋物線方程得2＝2p×，∴p＝，∴拋物線C2的方程為y2＝x. 答案：y2＝x 8．(2019·全國Ⅰ卷)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為____________． 解析：設直線方程為y＝k(x＋c)， 由得A點坐標為A， 由得B點坐標為B ∵＝， ∴A為F1B的中點， ∴ 整理得b＝3ak.① ∵＝， ＝， ·＝0. ∴2－c2＋2＝0 整理得c2k2＝(b－ak)2② 由①②得＝2 ∴C的離心率e＝2. 答案：2 三、解答題(本大題共3小

30、題，每小題12分，共36分) 9．(2019·全國Ⅰ卷)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求||. 解： (1)設直線l的方程為y＝x＋b， A(x1，y1)，B(x2，y2) 由得x2＋(3b－3)x＋b2＝0. ∴x1＋x2＝＝， 又|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝＋＝4. 解得b＝－，∴直線l的方程為y＝x－. (2)設直線l的方程為y＝(x－a)，則P(a,0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去x，得y2－2y－3a＝0.

31、 ∵＝3，∴y1＝－3y2. 又，解得a＝1. ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－3， ∴|AB|＝ · ＝ ·＝. 10．(2019·天津卷)設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4，離心率為. (1)求橢圓的方程； (2)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上．若|ON|＝|OF|(O為原點)，且OP⊥MN，求直線PB的斜率． 解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)由題意，設P(xp，yp)(x

32、p≠0)，M(xM,0)．設直線PB的斜率為k(k≠0)，又B(0,2)，則直線PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xp＝－，代入y＝kx＋2得yp＝，進而直線OP的斜率＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由題意得N(0，－1)，所以直線MN的斜率為－.由OP⊥MN，得·＝－1，化簡得k2＝，從而k＝±. 所以，直線PB的斜率為或－. 11．(2018·北京卷)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B. (1)求橢圓M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值； (

33、3)設P(－2,0)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C、D和點Q共線，求k. 解：(1)由題意得2c＝2，∴c＝ 又∵e＝＝，∴a＝ ∴b2＝a2－c2＝1，∴橢圓標準方程為＋y2＝1 (2)設直線AB的方程為：y＝x＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2) 聯(lián)立，得：4x2＋6mx＋3m2－3＝0 又∵Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0， ∴m2＜4， |AB|＝|x1－x2|＝×＝ ∴m2＝0時，|AB|max＝ (3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) x＋3y＝3① x＋3y＝3② 又∵P(－2,0)，故設k1＝kPA＝， ∴直線PA的方程為：y＝k1(x＋2) 聯(lián)立，消y得(1＋3k1)x2＋12kx＋12k－3＝0 x1＋x3＝－，∴x3＝－－x1 又k1＝，代入①式得 ∴x3＝，∴y3＝ ∴C，同理可得D 易知：＝(x3＋，y3－)，＝(x4＋，y4－) ∵Q，C，D三點共線，∴(x3＋)(y4－)－(x4＋)(y3－)＝0 代入C，D坐標化簡得：＝1，∴k＝1 - 20 -