2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 北師大版

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1、 第2節(jié)　基本不等式及其應(yīng)用 最新考綱　1.了解基本不等式的證明過程；2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. 知 識(shí) 梳 理 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號. (3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù). 2.兩個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號. (2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值

2、是2(簡記：積定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大). [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.＋≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號. 2.ab≤≤. 3.≤≤≤(a>0，b>0). 4.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(　　) (2)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝sin x＋的最小值為4.(　　) (4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件.(　　) 解

3、析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R； 不等式≥成立的條件是a≥0，b≥0. (2)函數(shù)y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，沒有最小值. (3)函數(shù)f(x)＝sin x＋的最小值為－5. (4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要條件. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A.80 B.77 C.81 D.82 解析　xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)取等號. 答案　C 3.若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A.1＋ B.1

4、＋ C.3 D.4 解析　當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時(shí)取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a＝3. 答案　C 4.(2017·山東卷)若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，則2a＋b的最小值為________. 解析　由題設(shè)可得＋＝1，∵a>0，b>0， ∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8. 故2a＋b的最小值為8. 答案　8 5.(教材習(xí)題改編)一段長為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，則這個(gè)矩形的長為______m，寬為________m時(shí)菜園面積最

5、大. 解析　設(shè)矩形的長為x m，寬為y m.則x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝15，y＝時(shí)取等號. 答案　15　 考點(diǎn)一　配湊法求最值 【例1】 (1)若x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________； (2)函數(shù)y＝的最大值為________. 解析　(1)因?yàn)閤＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤ －2＋3＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號成立. 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (2)令t＝≥0，則x＝t2＋1， 所以y＝＝. 當(dāng)t＝0，即x＝1時(shí)，y＝0； 當(dāng)t＞

6、0，即x＞1時(shí)，y＝， 因?yàn)閠＋≥2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)取等號)， 所以y＝≤， 即y的最大值為(當(dāng)t＝2，即x＝5時(shí)y取得最大值). 答案　(1)1　(2) 規(guī)律方法　1.應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件. 2.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式. 【訓(xùn)練1】 (1)(2018·西安月考)若對任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. (2

7、)函數(shù)y＝(x>1)的最小值為________. 解析　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)的最小值為g(1)＝，因此對任意x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. (2)y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝＋1時(shí)，等號成立. 答案　(1)　(2)2＋2 考點(diǎn)二　常數(shù)代換或消元法求最值(易錯(cuò)警示) 【例2】 (1)(一題多解)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為________；

8、(2)(一題多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________. 解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋＝5(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝時(shí)，等號成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝， ∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ≥＋2＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝時(shí)等號成立，∴(3x＋4y)min＝5. (2)由已知得x＝. 法一　(消元法) 因?yàn)閤＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 所以x＋3y＝＋3y ＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6

9、， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3(y＋1)， 即y＝1，x＝3時(shí)，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0， 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)等號成立. 設(shè)x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6. 故當(dāng)x＝3，y＝1時(shí)，(x＋3y)min＝6. 答案　(1)5　(2)6 規(guī)律方法　條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使

10、用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解. 易錯(cuò)警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致. 【訓(xùn)練2】 (1)已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝，則x＋y的最小值為(　　) A.24 B.32 C.20 D.28 (2)(2018·石家莊質(zhì)檢)已知直線l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，則a＋b的最小值為________. 解析　(1)∵x，y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝， 則x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4 ＝6(x＋2＋y＋2)－4 ＝6－4 ≥6×－4＝20，

11、 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝10時(shí)取等號. ∴x＋y的最小值為20. 故選C. (2)因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，當(dāng)且僅當(dāng)a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋時(shí)等號成立. 答案　(1)C　(2)5＋2 考點(diǎn)三　基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【例3】 運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元. (1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的

12、總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值. 解　(1)設(shè)所用時(shí)間為t＝(h)， y＝×2×＋14×，x∈[50，100]. 所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]). (2)y＝＋x≥26， 當(dāng)且僅當(dāng)＝x， 即x＝18時(shí)等號成立. 故當(dāng)x＝18千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元. 規(guī)律方法　1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). 2.根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. 3.在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)求解.

13、 【訓(xùn)練3】 2016年11月3日20點(diǎn)43分我國長征五號運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認(rèn)為我國已從航天大國向航天強(qiáng)國邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長征五號運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料，甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10)，每小時(shí)可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克. (1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù). (2)要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？ 解　(1)由題意，得k＋9＝10，即k＝1，生產(chǎn)m

14、千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是， 所以y＝(kx2＋9)＝m，x∈[1，10]. (2)由(1)知，生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為y＝1 000≥1 000×2＝6 000， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝3時(shí)，等號成立，且3∈[1，10]. 故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，消耗的A材料最少，最少為6 000千克. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1.下列不等式一定成立的是(　　) A.lg>lg x(x>0) B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＜1(x∈R) 解析　當(dāng)x＞0時(shí)，x2＋≥2·x·＝x，所以lg

15、≥lg x(x＞0)，故選項(xiàng)A不正確；運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正”“二定”“三相等”，當(dāng)x≠kπ，k∈Z時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；顯然選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，有＝1，選項(xiàng)D不正確. 答案　C 2.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2] 解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，所以x＋y≤－2. 答案　D 3.(2018·平頂山一模)若對于任意的x>0，不等式≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析　由x>0，得＝≤＝，當(dāng)

16、且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立，則a≥. 答案　A 4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(　　) A.≤ B.＋≤1 C.≥2 D.a2＋b2≥8 解析　4＝a＋b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立)，即≤2，ab≤4，≥，選項(xiàng)A，C不成立；＋＝＝≥1，選項(xiàng)B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，選項(xiàng)D成立. 答案　D 5.若a，b都是正數(shù)，則·的最小值為(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　∵a，b都是正數(shù)，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a>0時(shí)取等號. 答案　C 6.若正數(shù)x，y滿足4x2

17、＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是(　　) A. B. C.2 D. 解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)等號成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值為2. 答案　C 7.已知x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，則xy的最小值為(　　) A. B.2 C. D.2 解析　∵x>0，y>0，x＋2y≥2， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2， ∴4≤4xy－2， 則(－2)(＋1)≥0， ∴≥2，∴xy≥2. 答案　D 8.(2018·鄭州質(zhì)檢)已知a，b

18、∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，則a＋b的取值范圍是(　　) A.[1，4] B.[2，＋∞) C.(2，4) D.(4，＋∞) 解析　因?yàn)閍＋b＋＋＝(a＋b)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4. 答案　A 二、填空題 9.正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________. 解析　∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3， 解得≥3，即ab≥9. 答案　[9，＋∞) 10.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________

19、. 解析　∵a，b∈R，ab>0， ∴≥＝4ab＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號. 答案　4 11.已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若對于任意的x∈N+，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________. 解析　對任意x∈N+，f(x)≥3， 即 ≥3恒成立，即a≥－＋3. 設(shè)g(x)＝x＋，x∈N+，則g(x)＝x＋≥4， 當(dāng)x＝2時(shí)等號成立，又g(2)＝6，g(3)＝，g(4)＝6. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－， ∴a≥－，故a的取值范圍是. 答案　 12.(2018·成都診斷)某工廠需要建造一個(gè)倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和

20、倉庫之間的距離成正比，倉儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為5萬元，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為________千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為________萬元. 解析　設(shè)工廠和倉庫之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為y1萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為y2萬元，則y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， ∵工廠和倉庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)用為5萬元， ∴k1＝5，k2＝20，∴運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和為萬元， ∵5x＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝，即x＝2時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和最小，為20萬元. 答案　2　20 能力提升題組 (建

21、議用時(shí)：15分鐘) 13.(2018·西安模擬)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析　由正弦定理，得a＋b＝2c. 所以cos C＝＝＝≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝2b2，即a＝b時(shí)，等號成立. 所以cos C的最小值為. 答案　A 14.(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝(n＋1)·cos(n≥2，n∈N+)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2 017＋m＝1 010，且a1·m>0，則＋的最小值為(　　) A.2 B. C.2 D.2＋

22、 解析　由an＋1＋an＝(n＋1)·cos(n≥2，n∈N+)得，a3＋a2＝－3，a4＋a3＝0，a5＋a4＝5，a6＋a5＝0，a7＋a6＝－7，a8＋a7＝0，a9＋a8＝9，a10＋a9＝0，…， ∴a2＋a3＋a4＋a5＝a6＋a7＋a8＋a9＝… ＝a2 014＋a2 015＋a2 016＋a2 017＝2， ∴S2 017＝504(a2＋a3＋a4＋a5)＋a1＝1 008＋a1， 又S2 017＋m＝1 010， ∴a1＋m＝2，∴＋＝(a1＋m)· ＝≥2，即＋的最小值為2. 答案　A 15.(2018·南昌調(diào)研)設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝abx＋y

23、(a>0，b>0)的最大值為35，則a＋b的最小值為________. 解析　可行域如圖所示，當(dāng)直線abx＋y＝z(a>0，b>0)過點(diǎn)B(2，3)時(shí)，z取最大值2ab＋3. 于是有2ab＋3＝35，ab＝16. 所以a＋b≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)等號成立， 所以(a＋b)min＝8. 答案　8 16.正數(shù)a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析　因?yàn)閍＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16.由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值為－6， 所以－6≥－m，即m≥6. 答案　[6，＋∞) 12