2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入章末復習課學案 新人教B版選修1-2

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1、第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 復數(shù)的概念及分類 1.復數(shù)a＋bi(a，b∈R) 2．復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部、虛部滿足的方程(或不等式)即可． 【例1】　當實數(shù)a為何值時，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i： (1)為實數(shù)； (2)為純虛數(shù)； (3)對應的點在第一象限內(nèi)； (4)對應的點在直線x－y＝0上． [思路探究]　解答本題可根據(jù)復數(shù)的分類標準，列出方程(不等式)求解． [解]　(1)由z∈R，得a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2. (2)z為純虛數(shù)，

2、 即 故a＝0. (3)z對應的點在第一象限， 則 ∴ ∴a<0或a>2. ∴a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依題得(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. 1．當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝＋(m2－2m)i為 (1)實數(shù)； (2)虛數(shù)； (3)純虛數(shù)． [解]　(1)當 即m＝2時，復數(shù)z是實數(shù)． (2)當 即m≠0且m≠2時，復數(shù)z是虛數(shù)． (3)當 即m＝－3時，復數(shù)z是純虛數(shù)． 復數(shù)的四則運算 復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式．

3、 【例2】　計算：＋. [思路探究]　先由－－i＝i，1－i＝(－2)，將原式化簡，再利用－＋i的特殊性進行求解． [解]　原式＝i12＋＝1×1＋ ＝1＋16＝－7＋8i. 2．計算：(1)； (2)－. [解]　(1)原式＝＝－·＝－·(－4)· ＝－1＋i. (2)原式＝－ ＝－ ＝－i＝i－i＝0. 共軛復數(shù)與復數(shù)的模 共軛復數(shù)與復數(shù)的模是復數(shù)中兩個重要的概念，在解決有關復數(shù)問題時，除用共軛復數(shù)定義與模的計算公式解題外，也常用下列結論簡化解題過程： (1)|z|＝1?z＝. (2)z∈R?＝z. (3)z≠0，z為純虛數(shù)?＝－z. 【例3】　設

4、z＝a＋bi(a，b∈R)，若∈R，則a，b應滿足什么條件？并說明理由． [思路探究]　解答本題可求出的代數(shù)形式，由其虛部為0可得a，b滿足的條件；也可利用共軛復數(shù)的性質(zhì)求解． [解]　法一：＝ ＝ ＝∈R， ∴b(a2＋b2－1)＝0. ∴b＝0或a2＋b2＝1. 法二：∵∈R，∴＝＝＝， 即z(1＋2)－(1＋z2)＝0， ∴z＋|z|2·－－|z|2·z＝0， 即(z－)(1－|z|2)＝0， ∴z＝或1－|z|2＝0. 由z＝，得b＝0. 由1－|z|2＝0，得a2＋b2＝1. ∴b＝0或a2＋b2＝1. 3．已知為純虛數(shù)，且(z＋1)(＋1)＝|z|

5、2，求復數(shù)z. [解]　由(z＋1)(＋1)＝|z|2?z＋＝－1. ① 由為純虛數(shù)?＋＝0?z·－1＝0. ② 設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi， 代入①②， 得a＝－，a2＋b2＝1. ∴a＝－，b＝±. ∴z＝－±i. 復數(shù)的幾何意義 1.點Z(a，b)或向量稱為復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的幾何表示，因此復平面的點與復平面的向量是復數(shù)的兩個幾何形象． 2．復數(shù)形式的基本軌跡 (1)當|z－z1|＝r時，表示復數(shù)z對應的點的軌跡是以z1對應的點為圓心，半徑為r的圓；單位圓|z|＝1. (2)當|z－z1|＝|z－z2|時，表示以復數(shù)z1，z2的對應

6、點為端點的線段的垂直平分線． (3)|z1－z2|表示兩點間的距離，即表示復數(shù)z1與z2對應點間的距離． 【例4】　若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，則|z－2－2i|的最小值是(　　) A．2　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 [思路探究]　常規(guī)方法是運用復數(shù)的代數(shù)形式，把復數(shù)最值問題轉化為一般函數(shù)最值問題再解決，而運用|z－z0|的幾何意義解決更為簡便． [解析]　如圖，|z＋2－2i|＝1表示以C(－2,2)為圓心，1為半徑的圓，則|z－2－2i|的最小值是指點A(2,2)到圓的最短距離，顯然|AB|＝|AC|－1＝3，即為最小值，故選B. [答案]　B 4．

7、已知|z|＝2，則|z＋1＋i|的最大值和最小值分別為________． [解析]　設z＝x＋yi(x，y∈R)，則由|z|＝2知x2＋y2＝4， 故z對應的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上， 又|z＋1＋i|表示點(x，y)到點(－1，－)的距離． 又因為點(－1，－)在圓x2＋y2＝4上，所以圓上的點到點(－1，－)的距離的最小值為0，最大值為圓的直徑4， 即|z＋1＋i|的最大值和最小值分別為4和0. [答案]　4,0 1．(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i　　　 B．－3＋i C．3－i D．3＋i [解析]　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2

8、＝3＋i，故選D. [答案]　D 2．設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. [解析]　∵z＝＋2i＝＋2i ＝＋2i＝i. ∴|z|＝1，故選C. [答案]　C 3．若z＝4＋3i，則＝(　　) A．1　　　　　 B．－1 C.＋i D.－i [解析]　∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5， ∴＝＝－i. [答案]　D 4．設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 [解析]　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由題意知a－2＝1＋2a，

9、解得a＝－3，故選A. [答案]　A 5．設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ [解析]　|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圓及其內(nèi)部，如圖所示．當|z|≤1時，y≥x表示的是圖中陰影部分，其面積為S＝π×12－×1×1＝.又圓的面積為π，根據(jù)幾何概型公式得概率P＝＝－. [答案]　D 6．設復數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為______． [解析]　∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5， ∴|z|＝. [答案]　 - 7 -