2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理（含解析）

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1、三角恒等變換與解三角形 【2019年高考考綱解讀】 正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計(jì)算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問題．由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問題結(jié)合起來進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視． 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos

2、α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. 3．正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 4．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 5．三角形面積公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B

3、＝absin C. 6．三角恒等變換的基本思路 (1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． “化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”． (2)角的變換是三角變換的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等． 7．解三角形的四種類型及求解方法 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解． 8．利用解

4、三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的思路 把實(shí)際問題中的要素歸入到一個(gè)或幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實(shí)際問題的答案．注意要檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，從而得出正確結(jié)果. 【題型示例】 題型一、三角變換及應(yīng)用 【例1】(2018·全國Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________. 答案?。? 解析　∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，

5、∴sin(α＋β)＝－. 【變式探究】(1)已知cos＝3sin，則tan＝________. 答案　2－4 解析　∵cos＝3sin， ∴－sin α＝－3sin， ∴sin α＝3sin＝3sin αcos?＋3cos αsin? ＝sin α＋cos α， ∴tan α＝， 又tan?＝tan＝ ＝＝2－， ∴tan＝ ＝＝2－4. (2)若＝sin 2θ，則sin 2θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由題意得＝ ＝2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ， 將上式兩邊分別平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ

6、， 即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0， 解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)， 所以sin 2θ＝－. 【變式探究】【2017山東，理9】在中，角，，的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 所以，選A. 【變式探究】若tan α＞0，則(　　) A．sin α＞0　　　　 　　B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 【舉一反三】 (2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，2)sin 2

7、0°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. 答案　D 【變式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________． 解析　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝. 答案　 【舉一反三】(2015·江蘇，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________

8、． 解析　∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3. 答案　3 【感悟提升】 (1)此類問題的著眼點(diǎn)是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結(jié)構(gòu)形式的差異，然后多角度使用三角公式求解． (2)對于三角函數(shù)中角的求值問題，關(guān)鍵在于“變角”，將“目標(biāo)角”變換成“已知角”．若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用． (3)求三角函數(shù)的化簡求值問題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元

9、，引輔角． 【變式探究】(2015·廣東，11)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________． 解析　因?yàn)閟in B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 答案　1 題型二、正、余弦定理 【例2】(2018·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，

10、 ∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0，∴sin A＝. 由余弦定理得cos A＝＝＝>0， ∴cos A＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝××＝. 【舉一反三】【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知， （1）求； （2）若，的面積為，求。 【答案】(1)； (2) b=2 【解析】b=2（1）由題設(shè)及，故 上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故 又 由余弦定理 及得 所以b=2. 【舉一反三】(2017·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角

11、A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積． 解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即28＝4＋c2－4c·cos ， 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4. 所以c＝4. (2)由題設(shè)可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝. 故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為＝1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面積為. 【變式探

12、究】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B＝60°，c＝8. (1)若點(diǎn)M，N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BM＝BC，＝2，求AM的值； (2)若b＝12，求△ABC的面積． 解　(1)由題意得M，N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 設(shè)BM＝x，則BN＝2x，AN＝2x， 又B＝60°，AB＝8， 在△ABN中，由余弦定理得12x2＝64＋4x2－2×8×2xcos 60°， 解得x＝2(負(fù)值舍去)，則BM＝2. 在△ABM中，由余弦定理， 得AB2＋BM2－2AB·BM·cos B＝AM2， AM＝＝＝2. (2)在△ABC中，由正弦定理＝， 得sin

13、C＝＝＝. 又b>c，所以B>C，則C為銳角，所以cos C＝. 則sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝×＋×＝， 所以△ABC的面積S＝bcsin A ＝48×＝24＋8. 【舉一反三】 若銳角△ABC的面積為10，且AB＝5，AC＝8，則BC等于________． 解析　S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在銳角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7. 答案　7 【變式探究】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________． 解析　因?yàn)閟in B＝且B∈(0，π)，所以B＝

14、或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 答案　1 【舉一反三】(1)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________． (2)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. ①求cos∠CAD的值； ②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長． 【命題意圖】(1)本題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力． (2)本題以平面四邊形為載體，考查余弦定理、正弦定理和三角函數(shù)的化簡求值，第一問可利用余弦定理直接求解，第二問需綜

15、合運(yùn)用兩角差的正弦公式和正弦定理． (2)①如題圖，在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝. 故由題設(shè)知，cos∠CAD＝＝. ②如題圖，設(shè)∠BAC＝α，則α＝∠BAD－∠CAD. 因?yàn)閏os∠CAD＝，cos∠BAD＝－， 所以sin∠CAD＝ ＝＝. sin∠BAD＝ ＝＝. 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ＝×－×＝. 在△ABC中，由正弦定理，得＝. 故BC＝＝＝3. 【變式探究】△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A＝. (1)求A·A；

16、 (2)若c－b＝1，求a的值． 【解析】解　(1)由cos A＝，且0

17、意求解本題第(2)問時(shí)，應(yīng)該結(jié)合第(1)問中的結(jié)論． 題型三、解三角形的應(yīng)用 【例3】(2018·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大??； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得 bsin A＝asin B. 又由bsin A＝acos，得asin B＝acos， 即sin B＝cos，所以tan B＝. 又因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.

18、 由bsin A＝acos，可得sin A＝ . 因?yàn)閍

19、析】取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意：， △ABE中，，， ． 又， ， 綜上可得，△BCD面積為，． 【變式探究】 已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin－1(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)＝，若b＋c＝2a，且·＝6，求a的值． 解　(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1 ＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x ＝cos 2x＋sin 2x＝sin. ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 可解得kπ－≤x≤k

20、π＋(k∈Z)． ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f(A)＝sin＝，可得 2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)． ∵A∈(0，π)，∴A＝， ∵·＝bccos A＝bc＝6， ∴bc＝12， 又∵2a＝b＋c， ∴cos A＝＝－1＝－1＝－1， ∴a＝2. 【舉一反三】△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長． 【變式探究】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tan C的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值． 解　(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C. 所以－cos 2B＝sin2C. 又由A＝，即B＋C＝π，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C， 解得tan C＝2. (2)由tan C＝2，C∈(0，π)得 sin C＝，cos C＝， 又因?yàn)閟in B＝sin(A＋C)＝sin， 所以sin B＝， 由正弦定理得c＝b， 又因?yàn)锳＝，bcsin A＝3， 所以bc＝6，故b＝3. 13