2019高考數(shù)學(xué) 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題03 三角恒等變換學(xué)案 理

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1、專題03 三角恒等變換知識(shí)必備一、兩角和與差的三角函數(shù)公式1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：3公式的常用變形（1）；（2）降冪公式：；（3）升冪公式：；（4）輔助角公式：，其中，二、簡單的三角恒等變換1半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導(dǎo)而來，如下圖：2公式的常見變形（和差化積、積化和差公式）（1）積化和差公式：；.（2）和差化積公式：；.核心考點(diǎn)考點(diǎn)一 三角函數(shù)式的化簡與求值【例1】（三角函數(shù)式的化簡）_【答案】1【解析】故答案為1備考指南1三角化簡、求值的常用方法：異名三角

2、函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化2三角化簡的標(biāo)準(zhǔn)：三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值3在化簡時(shí)要注意角的取值范圍.【例2】（給角求值）的值是A BC D【答案】B【解析】，故選B備考指南給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解.【例3】（給值求值）“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C 備考指南已知三角函數(shù)值

3、，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡所求式子（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值【例4】（給值求角）已知，則角的值為A BC D【答案】D 【解析】，故選D.備考指南通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好.考點(diǎn)二 三角恒等變換的應(yīng)用【例5】（與三角函數(shù)定義的綜合應(yīng)用）如圖，點(diǎn)為單位圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)沿單位圓按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的值

4、為A BC D【答案】B 【解析】由題意可得，cos（+）=，sin（+）=，（0，）cos（+2）=21=21=，即sin2=，sin2=，故選B備考指南1理解三角函數(shù)定義.2熟練掌握三角恒等變換公式二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式.【例6】（在三角形中的應(yīng)用）在三角形中，的值是 .【答案】1備考指南1掌握三角恒等變換公式的逆用.2熟悉并記憶三角形中隱含條件：三角形內(nèi)角和為.【例7】（在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）已知，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的最大值.【解析】（1），函數(shù)的值域?yàn)?（2），當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，即，化簡得，解得，因此，的最大值

5、為.備考指南1熟練應(yīng)用三角恒等變換公式變形.2掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).【例8】（在解三角形中的應(yīng)用）在中，角的對邊分別是，若，則的周長為A5 B6 C7 D【答案】A 【解析】由正弦定理可得，即，故的周長為，故選A備考指南1熟練應(yīng)用三角恒等變換公式變形.2掌握正、余弦定理.能力突破1若，則的值為A B C D【答案】A 2已知，為銳角，且，則A B C D【答案】C 【解析】 ，,選C3設(shè),且滿足,則的取值范圍為A BC D【答案】B【解析】，又，則，所以，所以，故選B4已知為正整數(shù)，且，則當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，_【答案】【解析】由條件知，則由，得，即，解得或（舍去），則因?yàn)椋?，則當(dāng)，即時(shí)

6、，函數(shù)取得最大值5設(shè)，且滿足.（1）求的值；（2）求的值.【解析】（1），.（2）由（1）可得：，.高考通關(guān)1（2016新課標(biāo)理）若cos()=，則sin 2=A BC D【答案】D【名師點(diǎn)睛】對于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1)已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差(2)已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補(bǔ)”關(guān)系2（2016新課標(biāo)理）若，則 A B C1 D 【答案】A【解析】方法一：由tan =,cos2+sin2=1,得或,則sin 2=2sin cos =,則cos2+2sin 2=+.方法二：cos2+2sin 2=.故選A

7、【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系3（2017北京理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則=_.【答案】【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則 ，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則.4（2018新課標(biāo)理）已知，則_【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?（2016四川理）cos2sin2= .【答案】【解析】由三角函數(shù)的半角公式得，【名師點(diǎn)睛】本題也可以看

8、作來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本有許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解6（2016浙江理）已知，則A=_，b=_【答案】，【解析】，所以【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡，再用輔助角公式化簡，進(jìn)而對照可得和的值7（2018江蘇）已知為銳角，（1）求的值；（2）求的值【解析】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，因此，?）因?yàn)闉殇J角，所以又因?yàn)?，所以，因此因?yàn)椋?，因此，【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型（1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)（2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般有如下兩種思路：適當(dāng)變換已知式，進(jìn)而求得待求式的值；變換待求式，便于將已知式的值代入，從而達(dá)到解題的目的（3）給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，進(jìn)而確定角你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！ 13