2019年高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質學案 理 北師大版

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1、 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內的單調性． (對應學生用書第51頁) [基礎知識填充] 1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦

2、函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖像 定義域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調性 遞增區(qū)間：，k∈Z，遞減區(qū)間：，k∈Z 遞增區(qū)間： [2kπ－π，2kπ]， k∈Z， 遞減區(qū)間： [2kπ，2kπ＋π]， k∈Z 遞增區(qū)間 ， k∈Z 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心(kπ，0)，k∈Z 對稱中心，k∈Z 對稱中心，k∈Z 對稱軸x＝kπ＋(k∈Z) 對稱軸x＝kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π [知

3、識拓展]　1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． 2．f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． (1)f(x)為奇函數(shù)的充要條件：φ＝kπ＋，k∈Z. (2)f(x)為偶函數(shù)的充要條件：φ＝kπ，k∈Z. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)常數(shù)函數(shù)f(x)＝a是周期函數(shù)，它沒有最小正周期．(　　) (2)函數(shù)y＝sin x的圖像關于點(kπ，0)(k∈Z)中心對稱．(　　)

4、 (3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內是增函數(shù)．(　　) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(　　) (5)y＝sin |x|是偶函數(shù)．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為(　　) A．4π　　　　　　　 B．2π C．π D． C　[函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故選C．] 3．函數(shù)y＝tan 2x的定義域是(　　) A． B． C． D． D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 所以y＝tan 2x的定義域為.]

5、 4．函數(shù)y＝sin，x∈[－2π，2π]的單調遞增區(qū)間是(　　) A． B．和 C． D． C　[令z＝x＋，函數(shù)y＝sin z的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其單調遞增區(qū)間是，故選C．] 5．(教材改編)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為________． －　[由已知x∈，得2x－∈， 所以sin∈，故函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為－.] (對應學生用書第52頁) 三角函數(shù)的定義域與值域 　(1)(2016·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos的最大

6、值為(　　) A．4　 B．5　　　 C．6　　　 D．7 (2)函數(shù)y＝lg sin x＋的定義域為________． (1)B　(2)　[(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋， 又sin x∈[－1,1]，∴當sin x＝1時，f(x)取得最大值5.故選B． (2)要使函數(shù)有意義，則有 即 解得(k∈Z)， ∴2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z. ∴函數(shù)的定義域為 .] [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求

7、解. 2.求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解. (2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調性寫出函數(shù)的值域. (3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉化為二次函數(shù)求解. [跟蹤訓練]　(1)已知函數(shù)y＝2cos x的定義域為，值域為[a，b]，則b－a的值是(　　) A．2　 B．3　　　C．＋2　　　D．2－ (2)函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域為________． (1)B　(2)

8、[－1,1]　[(1)∵x∈，∴cos x∈，∴y＝2cos x的值域為[－2,1]， ∴b－a＝3. (2)設t＝sin x－cos x， 則t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1. 當t＝1時，ymax＝1； 當t＝－1時，ymin＝－1. ∴函數(shù)的值域為[－1,1]．] 三角函數(shù)的單調性 　(1)函數(shù)f(x)＝sin的單調減區(qū)間為________. 【導學號：79140111】 (2)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，

9、則ω＝________. (1)(k∈Z)　(2)　[(1)由已知函數(shù)為y＝－sin，欲求函數(shù)的單調減區(qū)間，只需求y＝sin的單調增區(qū)間即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數(shù)的單調減區(qū)間為(k∈Z)． (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)過原點， ∴當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數(shù)； 當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數(shù)． 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上單調遞增， 在上單調遞減知，＝，∴ω＝.] [規(guī)律方法]　1.求三角函數(shù)單調區(qū)間的兩種方法 (1)代換法：求形如y＝Asin(

10、ωx＋φ)(ω＞0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.若ω＜0，應先用誘導公式化x的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調性弄錯. (2)圖像法：畫出三角函數(shù)的圖像，利用圖像求它的單調區(qū)間. 2.已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解. [跟蹤訓練]　(1)函數(shù)y＝|tan x|在上的單調減區(qū)間為________. 【導學號：79140112】 (2)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos 2x，則f(x)的一個單調遞減區(qū)間是(　　) A．　 B． C． D． (1)和　(2)A　[(1)如圖，觀察圖像可知，y＝|tan x|在

11、上的單調減區(qū)間為和. (2)由題意得f(x)＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0，得函數(shù)y＝f(x)的一個單調遞減區(qū)間為，故選A．] 三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性 ◎角度1　三角函數(shù)的奇偶性與周期性 　(1)在函數(shù)：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋；④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①③ (2)函數(shù)y＝1－2sin2是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．

12、最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) (1)C　(2)A　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由圖像知，函數(shù)的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 綜上可知，最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③. (2)y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．] ◎角度2　三角函數(shù)的對稱性 　(1)(2018·東北三省四市模擬(一))已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω＞0)的周期為π，則下列選項正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的圖像關于點對稱 B．函數(shù)f(x)的圖像關于點對稱 C．函數(shù)f(

13、x)的圖像關于直線x＝對稱 D．函數(shù)f(x)的圖像關于直線x＝－對稱 (2)已知ω＞0,0＜φ＜π，直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖像的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)A　[(1)因為ω＝＝2，所以f(x)＝2sin.由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，當k＝0時，x＝－，所以函數(shù)f(x)的圖像關于點對稱，故選B． (2)由題意得＝2，∴ω＝1， ∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，又0＜φ＜π，∴φ＝，故選A．] [規(guī)律方法]　1.函數(shù)f(x)＝Asin(ω

14、x＋φ)的奇偶性與對稱性 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當x＝0時，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當x＝0時，f(x)＝0. (2)對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0，0)是否是函數(shù)的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷. 2.求三角函數(shù)周期的方法： (1)利用周期函數(shù)的定義. (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為. (3)借助函數(shù)

15、的圖像. [跟蹤訓練]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖像關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調遞減 (2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖像關于點中心對稱，那么|φ|的最小值為(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)　A　[(1)A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確． B項，因為f(x)＝cos圖像的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖像關于直線x＝對稱，B項正確． C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確． D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤． 故選D． (2)由題意得3cos ＝3cos＝3cos＝0， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)， 取k＝0，得|φ|的最小值為.故選A．] 9