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1、2022年高三數(shù)學二輪復習 專題五第三講 思想方法與規(guī)范解答教案 理
思想方法
1.數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計中的應用主要有:
(1)通過頻率分布直方圖(莖葉圖)研究數(shù)據(jù)分布的總體趨勢;
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量是否存在相關關系;
(3)幾何概型中概率的求法.
[例1] (xx年高考北京卷)設不等式組表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 根據(jù)題意作出滿足條件的幾何圖形求解.
如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,
2、且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域.易知該陰影部分的面積為4-π.因此滿足條件的概率是.
[答案] D
跟蹤訓練
隨機地向區(qū)域內(nèi)投點,已知點落在區(qū)域內(nèi)的每個位置是等可能的,則坐標原點與該點連線的傾斜角不大于的概率是________.
解析:區(qū)域的面積為2×4-∫x2dx=,當坐標原點與該點連線的傾斜角不大于時,對應的區(qū)域是原區(qū)域中位于直線y=x下方的部分,其面積為∫(x-x2)dx=,所以所求的概率P==.
答案:
2.分類討論思想
分類討論思想在概率中的應用主要有:
(1)用直接法求解“至多”、“至少”類問題;
(2)復雜
3、的古典概型問題;
(3)復雜的獨立事件的概率.
[例2] (xx年朝陽區(qū)模擬)如圖,一個圓形游戲轉(zhuǎn)盤被分成6個均勻的扇形區(qū)域.用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分數(shù)(箭頭指向兩個區(qū)域的邊界時重新轉(zhuǎn)動),且箭頭A指向每個區(qū)域的可能性都是相等的.在一次家庭抽獎的活動中,要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉(zhuǎn)動一次游戲轉(zhuǎn)盤,得分情況記為(a,b)(假設兒童和成人的得分互不影響,且每個家庭只能參加一次活動).
(1)求某個家庭得分為(5,3)的概率;
(2)若游戲規(guī)定:一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品.請問
4、某個家庭獲獎的概率為多少?
(3)若共有5個家庭參加家庭抽獎活動.在(2)的條件下,記獲獎的家庭數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
[解析] (1)記事件A:某個家庭得分為(5,3).
由游戲轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字分布可知,轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,得2分、3分、5分的概率都為=.
所以P(A)=×=.
所以某個家庭得分為(5,3)的概率為.
(2)記事件B:某個家庭在游戲中獲獎.則符合獲獎條件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5),共3類情況.
所以P(B)=×+×+×=.
所以某個家庭獲獎的概率為.
(3)由(2)可知,每個家庭獲獎的概率都是,
所以X~B(5,).
P(X=0)=C(
5、)0·()5=,
P(X=1)=C()1·()4=,
P(X=2)=C()2·()3=,
P(X=3)=C()3·()2=,
P(X=4)=C()4·()1=,
P(X=5)=C()5·()0=.
所以X的分布列為:
所以EX=5×=.
所以X的數(shù)學期望為.
跟蹤訓練
(xx年高考廣東卷)從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個,其個位數(shù)為0的概率是( )
A. B. C. D.
解析:用分類討論法求解
個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù),則個位數(shù)與十位數(shù)中必一個奇數(shù)一個偶數(shù),所以可以分兩類.
(1)當個位為奇數(shù)時,有5×4=20
6、(個)符合條件的兩位數(shù).
(2)當個位為偶數(shù)時,有5×5=25(個)符合條件的兩位數(shù).
因此共有20+25=45(個)符合條件的兩位數(shù),其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個,所以所求概率為P==.
答案:D
考情展望
高考對本專題的考查主要有兩個方面.一是在基礎題中考查統(tǒng)計與概率的求法.二是在解答題中考查與概率、統(tǒng)計相關的實際應用問題.難度中檔偏下.命題多集中在古典概型、頻率分布直方圖的應用、概率統(tǒng)計等熱點知識.
名師押題
【押題】 某校高三數(shù)學競賽初賽后,對考生成績進行統(tǒng)計(考生成績均不低于90分,滿分150分),將成績按如下方式分成六組,第一組[90,100)、第二組[100
7、,110)…第六組[140,150].如圖為其頻率分布直方圖的一部分,第四、第五、第六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列,且第六組有4人.
(1)請補充完整頻率分布直方圖,并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M;(計算時可以用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值)
(2)現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人,記他們的成績分別為x、y,若|x-y|≥10,則稱此2
人為“黃金幫扶組”,試求選出的2人為“黃金幫扶組”的概率.
【解析】 (1)設第四、第五組的頻率分別為m、n,
則2n=m+0.005×10,①
m+n=1-(0.005+0.015+0.020+0.035)×10,②
由①②解得m=0.15,n=0.1,
從而得出直方圖(如圖所示)
M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5.
(2)依題意知,第四組人數(shù)為4×=12,而第六組有4人,所以第四組和第六組一共有16人,從中任選2人,一共有C=120種選法,若滿足|x-y|≥10,則一定是分別從兩個小組中各選1人,因此有CC=48種選法,
所以選出的2人為“黃金幫扶組”的概率P==.