10、機(jī)變量ξ，求ξ的分布列．
解析 (1)由題意可知，甲、乙乘車超過12千米且不超過22千米的概率分別為，，則甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用相同的概率P1＝×＋×＋×＝，所以甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝ .
(2)由題意可知，ξ＝6,7,8,9,10.
且P(ξ＝6)＝×＝，
P(ξ＝7)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝9)＝×＋×＝，
P(ξ＝10)＝×＝，
所以ξ的分布列為
ξ
6
7
8
9
10
P
三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模
11、型是否滿足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率．
【例3】 (2018·河南開封模擬)博彩公司曾經(jīng)對(duì)2016年NBA總決賽做了大膽地預(yù)測和分析，預(yù)測西部冠軍是老辣的馬刺隊(duì)，東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊(duì)，總決賽采取7場4勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間的結(jié)果互不影響，只要有一隊(duì)獲勝4場就結(jié)束比賽，前4場，馬刺隊(duì)勝利的概率為，第5,6場馬刺隊(duì)因?yàn)槠骄挲g大，體能下降厲害，所以勝利的概率降
12、為，第7場，馬刺隊(duì)因?yàn)橛卸啻未虻?場的經(jīng)驗(yàn)，所以勝利的概率為.
(1)分別求馬刺隊(duì)以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3勝利的概率及總決賽馬刺隊(duì)獲得冠軍的概率；
(2)隨機(jī)變量X為分出總冠軍時(shí)比賽的場數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．
解析 (1)設(shè)“馬刺隊(duì)以4∶0勝利”為事件A，“馬刺隊(duì)以4∶1勝利”為事件B，“馬刺隊(duì)以4∶2勝利”為事件C，“馬刺隊(duì)以4∶3勝利”為事件D，“總決賽馬刺隊(duì)獲得冠軍”為事件E，
則P(A)＝4＝，P(B)＝C4×＝，
P(C)＝C4××＋C4×2＝，
P(D)＝C4×3＋C4×C×××＋C4×××＝.
P(E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
(2
13、)隨機(jī)變量X的可能取值為4,5,6,7，
P(X＝4)＝4×2＝，P(X＝5)＝C4·＝，
P(X＝6)＝2C4＋C4·＝，
P(X＝7)＝1－P(X＝4)－P(X＝5)－P(X＝6)＝，
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
4
5
6
7
P
1．袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是( C )
A． B．
C． D．
解析 在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時(shí)，袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球共4個(gè)球，故取到白球的概率P＝＝.
2．(2018·廣東六校聯(lián)考)已知
14、甲有5張紅卡、2張藍(lán)卡和3張綠卡，乙有4張紅卡、3張藍(lán)卡和3張綠卡．他們分別從自己的10張卡片中任取一張進(jìn)行打卡游戲比賽．設(shè)事件A1，A2，A3表示甲取出的一張卡分別是紅卡、藍(lán)卡和綠卡；事件B表示乙取出的一張卡是紅卡，則下列結(jié)論中正確的是__③⑤__(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))．
①P(B)＝；②P(A1|B)＝；③事件B與事件A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3是彼此相互獨(dú)立的事件；⑤A1，A2，A3是兩兩互斥的事件．
解析 因?yàn)镻(B)＝＝，所以①錯(cuò)誤；因?yàn)槭录﨎與事件A1相互獨(dú)立，所以P(A1|B)＝P(A1)＝＝，所以②錯(cuò)誤，③正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，所以④錯(cuò)誤，⑤正確．
15、
3．某學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì)，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎(jiǎng)．甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類票各一張．每個(gè)節(jié)目投票時(shí)，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng)；否則，該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng)．
(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率；
(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列．
解析 (1)設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”這一事件為A，則事件A包括：該節(jié)目可以得到兩張“獲獎(jiǎng)”票，或者得到三張“獲獎(jiǎng)”票
16、．∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，
∴P(A)＝C21＋C3＝.
(2)所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的值為0,1,2,3.
P(X＝0)＝3＝；P(X＝1)＝C12＝；
P(X＝2)＝C21＝；
P(X＝3)＝3＝.
因此X的分布列為
X
0
1
2
3
P
4．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價(jià)格和這塊耕地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表.
作物產(chǎn)量/kg
300
500
概率
0.5
0.5
作物市場價(jià)格
17、/元·kg－1
6
10
概率
0.4
0.6
(1)設(shè)X表示在這塊耕地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
(2)若在這塊耕地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率．
解析 (1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因?yàn)槔麧櫍疆a(chǎn)量×市場價(jià)格－成本，所以X所有可能的取值為
500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P(
18、)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)·P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.
所以X的分布列為
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)設(shè)Ci表示事件“第i(i＝1,2,3)季利潤不少于2 000元”，
由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利潤均不少于2 000元的概率為P(C1C2C
19、3)＝P(C1)·P(C2)·P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896.
易錯(cuò)點(diǎn)1 不會(huì)使用條件概率公式解題
錯(cuò)因分析：不理解條件概率的含義，不會(huì)使用條件概率公式解題．
【例1】 假定生男生女是等可能的，某家庭有3個(gè)孩子，其中有1個(gè)女孩，求至少有1個(gè)男孩的概率．
解析 方法一 此家庭共有3個(gè)孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，
20、男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，其中至少有1個(gè)女孩共有7種可能，其中至少有1個(gè)男孩有6種可能，故其概率為.
方法二 記事件A表示“有一名女孩”，B表示“至少有一名男孩”，則P(B|A)＝＝.
【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·全國卷Ⅱ節(jié)選)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下.
上年度出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下.
一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)
0
21、
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；
(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率．
解析 (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，
故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，故P(B|
22、A)＝＝＝＝.
因此所求概率為.
易錯(cuò)點(diǎn)2 對(duì)二項(xiàng)分布理解不到位
錯(cuò)因分析：不能把問題歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布模型解決問題．
【例2】 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率．
解析 記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，
由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲隊(duì)以3∶0勝利
23、，以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為.
【跟蹤訓(xùn)練2】 (2016·四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是 .
解析 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚硬幣正面向上的概率為1－2＝，且X～B，
所以均值是2×＝.
課時(shí)達(dá)標(biāo) 第61講
[解密考綱]對(duì)事件的獨(dú)立性與條件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的考查在高考中三種題型均有呈現(xiàn)．
一、選擇題
1．(2018·陜西西安模擬)甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語口語測試成績?nèi)缦?單位：分)．
甲組：76,90,84,86,81,87,86,82,85
24、,83
乙組：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事件A；“抽出學(xué)生的英語口語測試成績不低于85分”記為事件B，則P(AB)，P(A|B)的值分別是( A )
A．， B．，
C．， D．，
解析 ∵P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(A|B)＝＝.
2．已知某射擊運(yùn)動(dòng)員，每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為( B )
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
解析 P＝C0.83·0.2＋C0.84＝0.
25、819 2.
3．從甲袋中摸出1個(gè)紅球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)紅球的概率為，從兩袋中各摸出一個(gè)球，則等于( C )
A．2個(gè)球都不是紅球的概率
B．2個(gè)球都是紅球的概率
C．至少有1個(gè)紅球的概率
D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率
解析 因?yàn)閺膬蓚€(gè)袋中各摸出一個(gè)球都不是紅球的概率為×＝，所以至少有1個(gè)紅球的概率為1－＝.
4．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為( D )
A． B．
C． D．
解析
26、設(shè)事件A為“第1次抽到的螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝，P(AB)＝×＝，則所求概率為P(B|A)＝＝＝.
5．袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p.若A，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，則p的值為( B )
A． B．
C． D．
解析 設(shè)A中有x個(gè)球，B中有y個(gè)球，則因?yàn)锳，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，所以＝且＝，解得p＝.
6．將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概
27、率等于出現(xiàn)k＋1次正面向上的概率，那么k的值為( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 C5＝C5，∴k＋(k＋1)＝5，k＝2.
二、填空題
7．如圖所示的電路有a，b，c三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)開或關(guān)的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為____.
解析 ∵a，c閉合，b斷開，燈泡甲亮，∴概率為.
8．一盒中放有大小相同的10個(gè)小球，其中8個(gè)黑球，2個(gè)紅球，現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無放回地任意抽取2個(gè)小球，已知甲取到了2個(gè)黑球，則乙也取到2個(gè)黑球的概率是____.
解析 記事件“甲取到2個(gè)黑球”為A，“乙取到2個(gè)黑球”為B，則有P(B|A)＝＝
28、＝，即所求事件的概率是.
9．設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為____.
解析 假設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生說明試驗(yàn)成功，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，則有1－(1－p)3＝，得p＝，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××2＝.
三、解答題
10．某中學(xué)為豐富教職工生活，國慶節(jié)舉辦教職工趣味投籃比賽，有A，B兩個(gè)定點(diǎn)投籃位置，在A點(diǎn)投中一球得2分，在B點(diǎn)投中一球得3分．規(guī)則是：每人投籃三次按先A后B再A的順序各投籃一次，教師甲在A和B點(diǎn)投中的概率分別是和，且在A，B兩
29、點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立．
(1)若教師甲投籃三次，求教師甲投籃得分X的分布列；
(2)若教師乙與教師甲在A，B點(diǎn)投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．
解析 (1)設(shè)“教師甲在A點(diǎn)投中”的事件為A，“教師甲在B點(diǎn)投中”的事件為B.
依題可知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.
P(X＝0)＝P(··)＝2×＝，
P(X＝2)＝P(A··＋··A)＝C×××＝，
P(X＝3)＝P(·B·)＝××＝，
P(X＝4)＝P(A··A)＝××＝，
P(X＝5)＝P(A·B·＋·B·A)＝C×××＝，
P(X＝7)＝P(A·B·A)＝××＝.
則教師甲投籃得分X的分布列為
30、
X
0
2
3
4
5
7
P
(2)教師甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形．
這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為
P＝×＋×＋×＋×＋×＝.
11．(2018·湖北黃岡期末)甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè)(其中“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”和“妮妮”各一個(gè))，現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，甲贏得一個(gè)福娃；否則乙贏得甲一個(gè)福娃，規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止．記游戲終止時(shí)投擲骰子的次數(shù)為ξ.
(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率
31、；
(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．
解析 (1)當(dāng)ξ＝7時(shí)，“甲贏”即“第七次甲贏，前6次贏5次，且前5次中必輸1次”，依題意，每次甲贏或乙贏的概率均為，∴P(ξ＝7)＝2×C××4××＝.
(2)設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，則由或得：
當(dāng)m＝5，n＝0或m＝0，n＝5時(shí)，ξ＝5；
當(dāng)m＝6，n＝1或m＝1，n＝6時(shí)，ξ＝7；
當(dāng)m＝7，n＝2或m＝2，n＝7時(shí)，ξ＝9；
當(dāng)m＝5，n＝4或m＝4，n＝5時(shí)，ξ＝9；
當(dāng)m＝6，n＝3或m＝3，n＝6時(shí)，ξ＝9；
∴ξ的可能取值是5,7,9.
每次投擲甲贏得乙一個(gè)福
32、娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同，其概率都是.
P(ξ＝5)＝2×5＝，P(ξ＝7)＝，P(ξ＝9)＝1－P(ξ＝5)－P(ξ＝7)＝，
∴ξ的分布列是
ξ
5
7
9
P
E(ξ)＝5×＋7×＋9×＝.
12．(2018·福建泉州模擬)在一種電腦屏幕保護(hù)畫面中，符號(hào)“○”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一，其中出現(xiàn)“○”的概率為p，出現(xiàn)“×”的概率為q.若第k次出現(xiàn)“○”，則記ak＝1；出現(xiàn)“×”，則記ak＝－1，令Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(1)當(dāng)p＝q＝時(shí)，記ξ＝|S3|，求ξ 的分布列；
(2)當(dāng)p＝，q＝時(shí)，求S8＝2且Si≥0(i＝1,2,3,4)的概率．
解析 (1)因?yàn)棣危絴S3|的取值為1,3，又p＝q＝，
所以P(ξ＝1)＝C×2×2＝，
P(ξ＝3)＝3＋3＝.
所以ξ的分布列為
ξ
1
3
P
(2)當(dāng)S8＝2時(shí)，即前八秒出現(xiàn)“○”5次，“×”3次，又已知Si≥0(i＝1,2,3,4)，若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；
若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任意出現(xiàn)“○”3次．
故所求的概率P＝(C＋C)×5×3＝＝.
15
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第61講 條件概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案
