2019版高考數(shù)學一輪復習 第九章 計數(shù)原理與概率 第57講 隨機事件的概率學案

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1、 第57講　隨機事件的概率 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個互斥事件的概率加法公式. 2016·北京卷，16 2015·江蘇卷，1 2014·全國卷Ⅰ，5 隨機事件的概率主要考查頻率與概率的關系，結合概率的性質考查互斥事件和對立事件的概率. 分值：5分 1．事件的分類 確定事件 必然事件 在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫相對于條件S的必然事件 不可能事件 在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫相對于條件S的不可能事件 隨機事件 在條件S下，__可能發(fā)生也可能不

2、發(fā)生__的事件叫做相對于條件S的隨機事件 2．頻率與概率 (1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝____為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的__頻率fn(A)__穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個__常數(shù)__記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率． 3．事件的關系與運算 定義 符號表示 包含 關系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B__包含__事件A(或稱事件A包含于事件B) __B?A__ (或A?B

3、) 相等 關系 若B?A且A?B __A＝B__ 并事件 (和事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的__并事件__(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (積事件) 若某事件發(fā)生當且僅當__事件A發(fā)生__且__事件B發(fā)生__，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB) 互斥 事件 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立 事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝?，P(A∪B) ＝P(A)＋P(B)＝1 4．概

4、率的幾個基本性質 (1)概率的取值范圍：__0≤P(A)≤1__. (2)必然事件的概率P(E)＝__1__. (3)不可能事件的概率P(F)＝__0__. (4)互斥事件概率的加法公式： ①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__． ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝__1－P(B)__． 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　×　) (2)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　√　) (3)如果某種彩票的中獎概率為，那么買1 000張這種彩票一定能中獎．(　×　) (4)兩個事件

5、的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．(　×　) (5)兩個事件對立時一定互斥，但兩個事件互斥時這兩個事件未必對立．(　√　) 2．在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為.當n很大時，P(A)與的關系是(　A　) A．P(A)≈　　 B．P(A)< C．P(A)>　　 D．P(A)＝ 解析 事件A發(fā)生的概率近似等于該頻率的穩(wěn)定值． 3．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是(　D　) A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球 解析 A中的兩個事件不互斥，B中兩事

6、件互斥且對立，C中的兩個事件不互斥，D中的兩個互斥而不對立． 4．擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．則下列結果正確的是(　D　) A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝ C．P(M)＝，P(N)＝ D．P(M)＝，P(N)＝ 解析 由條件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)．故P(M)＝，P(N)＝. 5．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則a

7、,3}中任取一數(shù)b，共有5×3＝15種取法，滿足a＜b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3種，故所求概率P＝＝. 一　隨機事件的關系 對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件．這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而確定所給事件的關系． 【例1】 (1)從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中： ①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)； ②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)； ③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)； ④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)． 上述事件中，是

8、對立事件的是(　C　) A．①　　 B．②④　　 C．③　　 D．①③ (2)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　A　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充要條件　　 D．既不充分也不必要條件 (3)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　A　) A．至多有一張是移動卡　　 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡　　 D．至少有一張移動卡 解析 (1)③中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個數(shù)根據(jù)取到

9、數(shù)的奇偶性可認為共有三個事件：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件． (2)若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.設擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝，P(B)＝，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件． (3)至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件． 二　隨機事件的概率 (1)概率與頻率的關系：頻率反映了一個隨機事件

10、出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值． (2)隨機事件概率的求法：利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率． 【例2】 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下. 賠付金額/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)/輛 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

11、 (2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率． 解析 (1)設A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1 000＝100輛，

12、而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24輛，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24. 三　互斥事件、對立事件的概率 求復雜互斥事件概率的兩種方法 (1)直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和． (2)間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解，當題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法． 【例3】 (2016·北京卷)A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時

13、). A班 6　6.5　7　7.5　8 B班 6　7　8　9　10　11　12 C班 3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5 (1)試估計C班的學生人數(shù)； (2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機抽取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率； (3)再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位：小時)．這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小(寫出結論不要求證明)． 解析 (1

14、)由題意知，抽出的20名學生中，來自C班的學生有8名．根據(jù)分層抽樣方法，C班的學生人數(shù)估計為100×＝40. (2)設事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i＝1,2，…，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j＝1,2，…，8. 由題意可知，P(Ai)＝，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝，j＝1,2，…，8. P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8. 設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”．由題意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5

15、C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝. (3)μ1＜μ0. 1．某校投籃比賽規(guī)則如下：選手若是能連續(xù)命中兩次，即停止投籃，晉級下一輪．假設某選手每次投籃命中率都是0.6，且每次投籃相互獨立，則該選手恰好投籃4次晉級下一輪的概率為(　D　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 根據(jù)題意得，第二次不中，第三次和第四次必須

16、投中，即概率為1×0.4×0.6×0.6＝.故選D． 2．某高校要從6名短跑運動員中選出4人參加全省大學生運動會中的4×100 m接力棒，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則甲跑第二棒的概率為(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 從6名短跑運動員中任選4人參加4×100 m接力賽，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A－2A＋A＝252種，在這252種方法中甲跑第二棒的方法共有C·A＝48種，因此所求的概率為＝，選C． 3．在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機取出五個不同的數(shù)，則數(shù)字5是取出的五個不同的數(shù)中的中位數(shù)的概率為(　B　) A．　　 B．

17、C．　　 D． 解析 分析可知，要滿足題意，則抽取的除5以外的四個數(shù)字中，有兩個比5小，有兩個比5大，故所求概率P＝＝. 4．中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪走冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　. 解析 由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為＋＝. 易錯點　混淆互斥事件和對立事件 錯因分析：忽視對立事件與互斥事件的區(qū)別與聯(lián)系，對立事件和互斥事件

18、都是不可能同時發(fā)生的事件，但對立事件必有一個要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生，所以兩個事件對立，則兩個事件必是互斥事件，反之，兩個事件是互斥事件，但未必是對立事件． 【例1】 從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，則與事件A“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球”中的(　　) A．①②　　 B．①③　　 C．②③　　 D．①②③ 解析 從口袋內(nèi)一次取出2個球，這個試驗的所有結果有(白，白)，(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，白)，(紅，黑)，(黑，白)，共6種結果，當事件A“兩球都為白球”發(fā)生時，①②不可能發(fā)生，

19、故為互斥事件，且A不發(fā)生時，①不一定發(fā)生，②不一定發(fā)生，故非對立事件，而A發(fā)生時，③可以發(fā)生，故不是互斥事件，故選A． 答案 A 【跟蹤訓練1】 4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(　D　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 由題意知4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有24種情況，而4位同學都選周六有1種情況，4位同學都選周日有1種情況，故周六、周日都有同學參加公益活動的概率為P＝＝＝，故選D． 課時達標　第57講 [解密考綱]考查隨機事件、頻率、概率等概念，考查概率的性質和加法公式，常以選擇題、填

20、空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．設事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關系為(　A　) A．兩個任意事件　　 B．互斥事件 C．非互斥事件　　 D．對立事件 解析 因為A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．反之不一定成立．所以A，B不一定是互斥事件，選A． 2．(2018·福建廈門模擬)口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為(　D　) A．0.45　　 B．0.67 C．0.64　　 D．0.32 解析 摸出紅球的概率為0.45，摸出白球的概率為

21、0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32. 3．已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙勝的概率為，則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為(　C　) A．，　　 B．， C．，　　 D．， 解析 “甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲勝”的概率為1－－＝. 設“甲不輸”為事件A，可看做是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝ . 4．某小組有5名男生和4名女生，從中任選4名同學參加“教師節(jié)”演講比賽，則下列每對事件是對立事件的是(　C　) A．恰有2名男生與恰有4名男生 B．至少有3名男生與全是男生 C．至少有1名男生與全是女生 D

22、．至少有1名男生與至少有1名女生 解析 “恰有2名男生”與“恰有4名男生”是互斥事件，但不是對立事件，排除A項；“至少有3名男生”與“全是男生”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，排除B項；“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，是對立事件，C項正確；“至少有1名男生”與“至少有1名女生”可以同時發(fā)生，不互斥，排除D項，故選C． 5．有3個相識的人某天各自乘同一火車外出，假設火車有10節(jié)車廂，則至少有2人在同一車廂內(nèi)相遇的概率為(　B　) A． 　　 B． C．　　 D． 解析 設事件A是“至少有2人在同一車廂內(nèi)相遇”，則事件是“3人分別在3節(jié)不同的車廂”，P()＝＝

23、， 所以P(A)＝1－P()＝1－＝. 6．連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈ 的概率為(　B　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 cos〈a，b〉＝，∵α∈， ∴<<1，∴n

24、y有2種取法，滿足a⊥b的有一種取法故所求的概率P＝＝. 8．某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機選取一名成員，他至少參加2個小組的概率是____，他至多參加2個小組的概率為____. 解析 隨機選一名成員，恰好參加2個小組的概率P(A)＝＋＋＝，恰好參加3個小組的概率P(B)＝＝，則他至少參加2個小組的概率為P(A)＋P(B)＝＋＝，至多參加2個小組的概率為1－P(B)＝1－＝. 9．2011年深圳大運會的一組志愿者全部通曉中文，并且每個志愿者還都通曉英語、日語和韓語中的一種(但無人

25、通曉兩種外語)．已知從中任抽一人，其通曉中文和英語的概率為，通曉中文和日語的概率為.若通曉中文和韓語的人數(shù)不超過3人，則這組志愿者的人數(shù)為__10人__． 解析 設通曉中文和英語的人數(shù)為x，通曉中文和日語的人數(shù)為y，通曉中文和韓語的人數(shù)為z，且x，y，z∈N*，則解得所以這組志愿者的人數(shù)為5＋3＋2＝10(人)． 三、解答題 10．一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率． 解析 方法一　(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑

26、球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}， 則P(A1)＝，P(A2)＝＝， P(A3)＝＝，P(A4)＝， 根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥， 由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球為紅球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 方法二 (利用對立事件求概率) (1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為 P(

27、A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝. (2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. 11．在新年聯(lián)歡晚會上，游戲獲勝者甲和乙各有一次抽獎機會，共有10個獎品，其中一等獎6個，二等獎4個，甲、乙二人依次抽取． (1)甲抽到一等獎，乙抽到二等獎的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到一等獎的概率是多少？ 解析 (1)所有的抽法共有A種，而甲抽到一等獎，乙抽到二等獎的抽法有C·C種，故甲抽到一等獎，乙抽到二等獎的概率為＝. (2)所有的抽法共有A種，而甲、乙

28、二人中至少有一人抽到一等獎的抽法有2C·C＋A種，故甲、乙二人中至少有一人抽到一等獎的概率為 ＝. 12．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下. 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50 ～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的人數(shù)的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車

29、站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑？ 解析 (1)由已知共調查了 100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用頻率估計相應的概率為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人， 故由調查結果得頻率為 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)>P(A2)，∴甲應選擇L1， 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B1)