2022年高三數學大一輪復習 13.3直接證明與間接證明教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數學大一輪復習 13.3直接證明與間接證明教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查對直接證明和間接證明原理的理解和用法；2.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數與方程、數列知識為載體，考查分析法、綜合法、反證法復習備考要這樣做1.抓住三種證明方法的特點，把握它們解題的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決問題的類型；2.加強訓練，總結、體會解題中的一些技巧，靈活應用三種方法證明一些實際問題1 直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、

2、定理等，Q表示要證明的結論)(2)分析法定義：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法框圖表示：.2 間接證明反證法：假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法難點正本疑點清源1 綜合法證明問題是由因導果，分析法證明問題是執(zhí)果索因2 分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用1 要證明

3、“0，ab0，b0，a0，b0且0，即a，b不為0且同號即可，故有3個3 已知函數f(x)lg ，若f(a)b，則f(a)_(用b表示)答案b解析f(x)lg lg f(x)，f(x)為奇函數，f(a)f(a)b.4 下列表述：綜合法是由因導果法；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是逆推法；反證法是間接證法其中正確的有 ()A2個 B3個 C4個 D5個答案D解析由分析法、綜合法、反證法的定義知正確5 用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60”時，應假設 ()A三個內角都不大于60B三個內角都大于60C三個內角至多有一個大于60D三個內角至多有兩個大于60答案B解析因為“至

4、少有一個”的反面是“一個也沒有”，所以“三角形三個內角至少有一個不大于60”的否定是“三角形三個內角一個也沒有不大于60”，即“三個內角都大于60”，故選B.題型一綜合法的應用例1已知a，b，c均為正數，證明：a2b2c226，并確定a，b，c為何值時，等號成立思維啟迪：利用a2b22ab，再利用ab2，根據這個解題思路去解答本題即可證明因為a，b，c均為正數，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c22abbcac3336.所以原不等式成立當且僅當abc時，式和式等號成立，當且僅當abc，(ab)2(bc)2(ac)23時

5、，式等號成立即當且僅當abc3時，原式等號成立探究提高綜合法往往以分析法為基礎，是分析法的逆過程，但更要注意從有關不等式的定理、結論或題設條件出發(fā)，根據不等式的性質推導證明已知a、b、c為正實數，abc1.求證：(1)a2b2c2；(2)6.證明(1)方法一a2b2c2(3a23b23c21)3a23b23c2(abc)2(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)(ab)2(bc)2(ca)20，a2b2c2.方法二(abc)2a2b2c22ab2ac2bca2b2c2a2b2a2c2b2c2，3(a2b2c2)(abc)21，a2b2c2.方法三設a，b，c.abc1，0.a2b2

6、c2222()222222，a2b2c2.(2)，同理，6，原不等式成立題型二分析法的應用例2已知m0，a，bR，求證：2.思維啟迪：本題若使用綜合法，不易尋求證題思路可考慮使用分析法證明m0，1m0.所以要證原不等式成立，只需證(amb)2(1m)(a2mb2)，即證m(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證探究提高分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經成立的定理、性質或已經證明成立的結論等，運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性已知a0，求證：

7、 a2.證明要證 a2，只要證 2a.a0，故只要證22，即a244a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立題型三反證法的應用例3已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實數根思維啟迪：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“三個方程都沒有實數根”證明假設三個方程都沒有實數根，則，alog216，猜測f(a)f(c)2f(b)要證f(a)f(c)2f(b)，則只需證log2(a2)log2(c2)2log2(b2)，即證log2(a2)(c2)log2(b2)2，也即證(a2)(c2)(b

8、2)2.展開整理得ac2(ac)b24b.因為b2ac，所以只要證ac2，顯然是成立的規(guī)范解答解f(a)f(c)2f(b)2分證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數，所以ac2.4分因為b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，從而(a2)(c2)(b2)2.8分因為f(x)log2x是增函數，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，10分即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)12分溫馨提醒(1)綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點，分析法利于思考，綜合法宜于表達，因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法結合起來運用，先以分

9、析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過程有時要把分析和綜合結合起來交替使用，才能成功(2)本題錯誤原因一是不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不會用綜合法表述，從而導致解題格式不規(guī)范將分析法和綜合法整合，是證明數學問題的一種重要的思想方法.方法與技巧1 分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知2 綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知3 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來4 用分析法證

10、明數學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立失誤與防范利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 若a，b，c為實數，且ab0，則下列命題正確的是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.2 設alg 2lg 5，bex(xb Bab Cab Dab答案A解

11、析alg 2lg 51，bex，當x0時，0bb.3 分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設abc，且abc0，求證0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0答案C解析由題意知ab2ac3a2b2a(ab)3a2b2a2ab3a2b2ab0a2aba2b20a(ab)(ab)(ab)0a(ab)c(ab)0(ab)(ac)0，故選C.4 用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為()Aa，b，c中至少有兩個偶數Ba，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數Ca，b，c都是奇數Da，b，c都是偶數答案B解析自然數a，b，c中為偶數的情況為a，b，c全為偶

12、數；a，b，c中有兩個數為偶數；a，b，c全為奇數；a，b，c中恰有一個數為偶數，所以反設為a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數二、填空題(每小題5分，共15分)5 設ab0，m，n，則m，n的大小關系是_答案mn解析取a2，b1，得mn.再用分析法證明：a0，顯然成立6 用反證法證明命題“若實數a，b，c，d滿足abcd1，acbd1，則a，b，c，d中至少有一個是非負數”時，第一步要假設結論的否定成立，那么結論的否定是_答案a，b，c，d全是負數解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結論的否定是“a，b，c，d中沒有一個非負數，即a，b，c，d全是負數”7 設x，y，z是空間的不同直

13、線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若xz，且yz，則xy”為真命題的是_(填寫所有正確條件的代號)x為直線，y，z為平面；x，y，z為平面；x，y為直線，z為平面；x，y為平面，z為直線；x，y，z為直線答案解析根據線面關系定理判定三、解答題(共22分)8 (10分)已知函數f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求證：f(x1)f(x2)f.證明要證明f(x1)f(x2)f，即證明(tan x1tan x2)tan，只需證明tan ，只需證明.由于x1、x2，故x1x2(0，)cos x1cos x20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需證明1co

14、s(x1x2)2cos x1cos x2，即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即證cos(x1x2)f.9 (12分)已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由(1)證明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)解假設在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面SBC平面SA

15、D.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，假設不成立故不存在這樣的點F，使得BF平面SAD.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 若a，bR，則下面四個式子中恒成立的是()Alg(1a2)0 Ba2b22(ab1)Ca23ab2b2 D.答案B解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立2 設a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2 B都不小于2C至少有一個不大于2 D至少有一個不小于2答案C解析因為abc6，所以三者不能都大于2.3 已知f(1,1)1，f(m，n)N

16、*(m，nN*)，且對任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1,1)2f(m，1)給出以下三個結論：(1)f(1,5)9；(2)f(5,1)16；(3)f(5,6)26.其中正確結論的個數為()A3 B2 C1 D0答案A解析(1)由f(1,1)1和f(m，n1)f(m，n)2得f(1,2)f(1,11)f(1,1)2123，f(1,3)f(1,2)25，f(1,4)f(1,3)27，f(1,5)f(1,4)29；(2)由f(1,1)1和f(m1,1)2f(m,1)得f(2,1)f(11,1)2f(1,1)2，f(3,1)2f(2,1)4，f(4,1)2f(3,1)8，f(5

17、,1)2f(4,1)16；(3)由f(m，n1)f(m，n)2得f(5,6)f(5,5)2，而f(5,5)f(5,4)2，f(5,4)f(5,3)2，f(5,3)f(5,2)2，f(5,2)f(5,1)216218，則f(5,6)26.二、填空題(每小題5分，共15分)4 關于x的方程axa10在區(qū)間(0,1)內有實根，則實數a的取值范圍是_答案解析(1)當a0時，方程無解(2)當a0時，令f(x)axa1，則f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調函數依題意，得f(0)f(1)0，(a1)(2a1)0，a2，nN*時，anbn與cn的大小關系為_答案anbn2時，anbn2，cn()n2()n22，

18、由題意，anbn與cn的大小關系應該是確定的，故猜想anbncn.事實上，注意ac，b2，所以有anbna2an2b2bn2a2cn2b2cn2(a2b2)cn2cn，故anbnn，求證：.(1)解f(x).因為f(x)在(0，)上為單調增函數，所以f(x)0在(0，)上恒成立即x2(22a)x10在(0，)上恒成立當x(0，)時，由x2(22a)x10，得2a2x.設g(x)x，x(0，)g(x)x22，所以當且僅當x，即x1時取等號，即g(x)的最小值為2.則2a22，即a2.故a的取值范圍是(，2(2)證明要證，只需證，則只需證ln 0.設h(x)ln x.由(1)，知h(x)在(1，)上是單調遞增函數，又1，所以hh(1)0.即ln 0成立所以.