2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考1.考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)和取值范圍；2.利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍；3.利用二分法求方程近似解；4.與實(shí)際問題相聯(lián)系，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力復(fù)習(xí)備考要這樣做1.準(zhǔn)確理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根，函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)之間的關(guān)系，能根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和二分法求方程近似解；2.會利用函數(shù)值域求解“af(x)有解”型問題；3.利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題1 函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)yf(x) (xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x) (xD)的零點(diǎn)(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函

2、數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系000)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)兩個一個無3. 二分法(1)定義：對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(2)給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度；求區(qū)

3、間(a，b)的中點(diǎn)c；計(jì)算f(c)；()若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；()若f(a)f(c)0，則令bc(此時零點(diǎn)x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，則令ac(此時零點(diǎn)x0(c，b)判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|0，f(4)ln 420，所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(3,4)內(nèi)，所以k3.3 (xx湖北)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個數(shù)為 ()A4B5C6D7答案C解析當(dāng)x0時，f(x)0.又因?yàn)閤0,4，所以0x216.因?yàn)?160.f(x)在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)f()e40，f(0)e040320，f()e20，f()f()0.題型一函數(shù)零點(diǎn)的判斷例1判斷下

4、列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3思維啟迪：第(1)問利用零點(diǎn)的存在性定理或直接求出零點(diǎn)，第(2)問利用零點(diǎn)的存在性定理或利用兩圖象的交點(diǎn)來求解解(1)方法一f(1)123118200，f(1)f(8)log2210，f(3)log253log2830，f(1)f(3)0，f(x)2x3x在R上是增函數(shù)而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0，所以函數(shù)f(x)2xx32在(0,1)上遞增，且f(0)10210，所以有1個零點(diǎn)題型三二次函數(shù)的零點(diǎn)問題例3已知關(guān)于x的

5、二次方程x22mx2m10.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍思維啟迪：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制解(1)由條件，拋物線f(x)x22mx2m1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖(1)所示，得即m.(2)拋物線與x軸交點(diǎn)均落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，如圖(2)所示列不等式組即2.(2)由已知條件解得2a.(3)由已知條件f(2)2.(4)由已知條件f(1)f(3)0，解得a3.檢驗(yàn)：當(dāng)f(3)0，即a時，方程的兩解為x，x3，當(dāng)f(1)0，即

6、a3時，方程的兩解為x1，x5，可知a3.當(dāng)a2.即a2時f(x)x24x4(x2)2，方程的解x1x22，a2，綜上有a2或a0)，則原方程可變?yōu)閠2ata10，(*)原方程有實(shí)根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有兩個正實(shí)根t1，t2，則解得1a22；若方程(*)有一個正實(shí)根和一個負(fù)實(shí)根(負(fù)實(shí)根，不合題意，舍去)，則f(0)a10，解得a0)，則a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時取等號，故a22.探究提高對于“af(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)yf(x)的值域來解決 (xx天津)已知函數(shù)y的圖象與函數(shù)ykx2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的

7、取值范圍是_答案(0,1)(1,4)解析根據(jù)絕對值的意義，y在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示根據(jù)圖象可知，當(dāng)0k1或1k0)(1)若yg(x)m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個相異實(shí)根審題視角(1)yg(x)m有零點(diǎn)即yg(x)與ym的圖象有交點(diǎn)，所以可以結(jié)合圖象求解(2)g(x)f(x)0有兩個相異實(shí)根yf(x)與yg(x)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，所以可利用它們的圖象求解規(guī)范解答解(1)方法一g(x)x22e，等號成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)，3分因而只需m2e，則yg(x)m就有零點(diǎn)6分方法二作出g(x)x (x0)的

8、大致圖象如圖3分可知若使yg(x)m有零點(diǎn)，則只需m2e.6分(2)若g(x)f(x)0有兩個相異實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，作出g(x)x (x0)的大致圖象如圖8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其圖象的對稱軸為xe，開口向下，最大值為m1e2.10分故當(dāng)m1e22e，即me22e1時，g(x)與f(x)有兩個交點(diǎn)，即g(x)f(x)0有兩個相異實(shí)根m的取值范圍是(e22e1，)12分溫馨提醒(1)求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時，可構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方

9、法進(jìn)行求解(2)本題的易錯點(diǎn)是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時易錯要注意函數(shù)最值的求法方法與技巧1 函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)0.2 研究方程f(x)g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)3 二分法是求方程的根的近似值的一種計(jì)算方法其實(shí)質(zhì)是通過不斷地“取中點(diǎn)”來逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍，當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點(diǎn)就是這個函數(shù)零點(diǎn)的近似值4 轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題失誤與防范1 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個實(shí)數(shù)，是方程f

10、(x)0的根，也是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個充分條件，而不必要；判斷零點(diǎn)個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.(時間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 方程|x22x|a21 (a0)的解的個數(shù)是 ()A1 B2 C3 D4答案B解析a0，a211.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點(diǎn)方程有兩解點(diǎn)評y|x22x|的圖象畫不準(zhǔn)確致誤2 (xx福建)若關(guān)于x的方程x2mx10有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D

11、(，1)(1，)答案C解析方程x2mx10有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，m240，m2或m0時，由f(x)2ln x0，得xe2，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2，故選B.4 已知三個函數(shù)f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()Aabc BacbCbac Dcab答案B解析由于f(1)10，且f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)故f(x)2xx的零點(diǎn)a(1,0)g(2)0，故g(x)的零點(diǎn)b2；h10，故h(x)的零點(diǎn)c，因此ac0時，f(x)2 014xlog2 014x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個數(shù)為_答案3解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)0，當(dāng)x0時，f(

12、x)2 014xlog2 014x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個數(shù)為3.6 (xx深圳模擬)已知函數(shù)f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是_答案x1x2x3解析令x2x0，即2xx，設(shè)y2x，yx；令xln x0，即ln xx，設(shè)yln x，yx.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y2x，yln x，yx，如圖：x10x21，所以x1x2x3.7 若f(x) 則函數(shù)g(x)f(x)x的零點(diǎn)為_答案1或1解析即求f(x)x的

13、根，或解得x1或x1.g(x)的零點(diǎn)為x1或x1.三、解答題(共25分)8 (12分)判斷函數(shù)f(x)4xx2x3在區(qū)間1,1上零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由解因?yàn)閒(1)410，所以f(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)又f(x)42x2x222，當(dāng)1x1時，0f(x)，所以f(x)在1,1上單調(diào)遞增所以f(x)在1,1上有且只有一個零點(diǎn)9 (13分)已知函數(shù)f(x)4xm2x1有且僅有一個零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)解f(x)4xm2x1有且僅有一個零點(diǎn)，即方程(2x)2m2x10僅有一個實(shí)根設(shè)2xt (t0)，則t2mt10.當(dāng)0，即m240，m2時，t1；m2時，t1(不合題意，舍去)，2x1，x

14、0符合題意當(dāng)0，即m2或m2時，t2mt10有兩正或兩負(fù)根，即f(x)有兩個零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)這種情況不符合題意綜上可知，m2時，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x0.B組專項(xiàng)能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且當(dāng)x0,1時，f(x)x3.又函數(shù)g(x)|xcos(x)|，則函數(shù)h(x)g(x)f(x)在上的零點(diǎn)個數(shù)為 ()A5 B6 C7 D8答案B解析根據(jù)題意，函數(shù)yf(x)是周期為2的偶函數(shù)且0x1時，f(x)x3，則當(dāng)1x0時，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以當(dāng)x0時，f(x)g(x)當(dāng)x0

15、時，若01時，y1，ycos x1，所以兩圖象只有一個交點(diǎn)，即方程cos x0在0，)內(nèi)只有一個根，所以f(x)cos x在0，)內(nèi)只有一個零點(diǎn)，所以選B.3 (xx福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)log2xx，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，則f(x1)的值為 ()A恒為負(fù) B等于零C恒為正 D不小于零答案A解析在同一坐標(biāo)系中作出ylog2x和yx的圖象，由圖象知f(x1)0.二、填空題(每小題4分，共12分)4 用二分法求方程x22的正實(shí)根的近似解(精確度0.001)時，如果我們選取初始區(qū)間1.4,1.5，則要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是_答案7解析設(shè)至少需要計(jì)算n次，由題意

16、知100，由2664,27128知n7.5 已知函數(shù)yf(x) (xR)滿足f(x2)f(x)，當(dāng)x1,1時，f(x)|x|，則yf(x)與ylog7x的交點(diǎn)的個數(shù)為_答案6解析因?yàn)閒(x2)f(x)，所以yf(x)為周期函數(shù)，其周期為2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)yf(x)和ylog7x的圖象如圖，當(dāng)x7時，f(7)1，log771，故yf(x)與ylog7x共有6個交點(diǎn)6 (xx海淀調(diào)研)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(0,1)解析畫出f(x)的圖象，如圖由函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點(diǎn)，結(jié)合圖象得：0m1，即m(0,1)三、解答題(13

17、分)7 (1)m為何值時，f(x)x22mx3m4.有且僅有一個零點(diǎn)；有兩個零點(diǎn)且均比1大；(2)若函數(shù)f(x)|4xx2|a有4個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)有且僅有一個零點(diǎn)方程f(x)0有兩個相等實(shí)根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.設(shè)f(x)的兩個零點(diǎn)分別為x1，x2，則x1x22m，x1x23m4.由題意，有5m1.故m的取值范圍為(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的圖象由圖象可知，當(dāng)0a4，即4a0時，g(x)與h(x)的圖象有4個交點(diǎn)，即f(x)有4個零點(diǎn)故a的取值范圍為(4,0)