2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，理解雙曲線的基本量對(duì)圖形、性質(zhì)的影響；2.理解數(shù)形結(jié)合思想，掌握解決直線與雙曲線問(wèn)題的通法1 雙曲線的概念平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a (2a0，c0：(1)當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)不存在2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1 (a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱

2、中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的半虛軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (ca0，cb0)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，這里要注意兩點(diǎn)：(1)距離之差的絕對(duì)值(2)2a0，b0)的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小1 (xx天津)已知雙曲線C1：1(a0，b

3、0)與雙曲線C2：1有相同的漸近線，且C1的右焦點(diǎn)為F(，0)，則a_，b_.答案12解析與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為，即1.由題意知c，則4165，則a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.2 (xx江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_(kāi)答案2解析c2mm24，e25，m24m40，m2.3 (xx遼寧)已知雙曲線x2y21，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_(kāi)答案2解析設(shè)P在雙曲線的右支上，|PF1|2x，|PF2|x(x0)，因?yàn)镻F1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x2

4、1，所以|PF2|PF1|2.4 若雙曲線1 (a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為 ()A. B5 C. D2答案A解析焦點(diǎn)(c,0)到漸近線yx的距離為b，則由題意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，離心率e.5 (xx課標(biāo)全國(guó))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為 ()A. B2 C4 D8答案C解析設(shè)C：1.拋物線y216x的準(zhǔn)線為x4，聯(lián)立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)(xx山東)已知雙曲線1 (a0

5、，b0)和橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_(kāi)(2)與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2，2)的雙曲線方程為_(kāi)思維啟迪：設(shè)雙曲線方程為1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，由題意易得關(guān)于a、b的兩個(gè)方程；也可根據(jù)雙曲線的定義直接確定a、b、c.答案(1)1(2)1解析(1)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率為e.由于雙曲線1與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，因此a2b27.又雙曲線的離心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故雙曲線的方程為1.(2)設(shè)與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k，將點(diǎn)(2，2)代入得

6、k(2)22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.探究提高求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1 (a0，b0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)

7、，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13.b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.題型二雙曲線的幾何性質(zhì)例2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線半實(shí)軸長(zhǎng)之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosF1PF2的值思維啟迪：(1)分別設(shè)出橢圓方程為1 (ab0)，雙曲線方程為1 (m0，n0)(2)由已知條件分別求出a、b、m、n的值(3)利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求出cosF1PF2.解(1)由已知：c，設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a、b，雙曲線半實(shí)、虛軸長(zhǎng)分別為m、n，則，

8、解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.探究提高在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，半實(shí)軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多由于e是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求e，并且需注意e1. (1)(xx大綱全國(guó))已知F1、F2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF

9、2()A. B. C. D.(2)(xx浙江)已知橢圓C1：1 (ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則 ()Aa2 Ba213Cb2 Db22答案(1)C(2)C解析(1)由x2y22知，a22，b22，c2a2b24，a，c2.又|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|2c4，由余弦定理得cosF1PF2.(2)由題意知，a2b25，因此橢圓方程為(a25)x2a2y25a2a40，雙曲線的一條漸近線方程為y2x，聯(lián)立方程消去y，得(5a25)x25

10、a2a40，直線截橢圓的弦長(zhǎng)d2a，解得a2，b2.題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系例3過(guò)雙曲線1的右焦點(diǎn)F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)(1)求|AB|；(2)求AOB的面積思維啟迪：寫(xiě)出直線方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立組成方程組，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|；求O到直線的距離，代入面積公式得AOB的面積(1)解由雙曲線的方程得a，b，c3，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)直線AB的方程為y(x3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.(2)解直線AB的方程變形為x3y30.

11、原點(diǎn)O到直線AB的距離為d.SAOB|AB|d.探究提高雙曲線的綜合問(wèn)題主要是直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題解決這類問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線的斜率為k，則|AB|x1x2|. 已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且2(其中O為原點(diǎn))，求k的取

12、值范圍解(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1 (a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得，k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范圍為.忽視“判別式”致誤典例：(12分)已知雙曲線x21，過(guò)點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？易錯(cuò)分析由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法，在解決直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)不需要考慮判別式，致使有的考生思維定勢(shì)的原因，任何情

13、況下都沒(méi)有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤規(guī)范解答解設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意2分設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.3分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)6分x0.由題意，得1，解得k2.8分當(dāng)k2時(shí)，方程成為2x24x30.162480，b0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為t (t0)2 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程0就是雙曲線1 (a0，b0)的兩條漸近線方程失誤與防范1 區(qū)分

14、雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c大小關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.2 雙曲線的離心率e(1，)，而橢圓的離心率e(0,1)3 雙曲線1 (a0，b0)的漸近線方程是yx，1 (a0，b0)的漸近線方程是yx.4 若利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說(shuō)明斜率不存在的情況5 直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx湖南)已知雙曲線C：1的焦距為1

15、0，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為 ()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析1的焦距為10，c5.又雙曲線漸近線方程為yx，且P(2,1)在漸近線上，1，即a2b.由解得a2，b，故應(yīng)選A.2 (xx福建)已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.答案C解析由雙曲線中a，b，c的關(guān)系c2a2b2，得32a25，a24.e.3 設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5,0)

16、，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4 (xx課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為 ()A. B.C2 D3答案B解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直，因此直線l的方程為l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依題意4a，2，e212，e.二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C，過(guò)點(diǎn)P(2，)且離心率為2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案1或

17、1解析雙曲線C的離心率為2，2，可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1，把P(2，)代入得，a23或a2，所求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.6 雙曲線mx2y21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m_.答案解析由題意知a21，b2，則a1，b. 2，解得m.7 已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為_(kāi)答案解析如圖，B1F1B260，則cb，即c23b2，由c23(c2a2)，得，則e.三、解答題(共22分)8 (10分)已知橢圓D：1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程解橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F

18、1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程為1 (a0，b0)，漸近線方程為bxay0且a2b225，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r3.3，得a3，b4，雙曲線G的方程為1.9 (12分)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積(1)解e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2.過(guò)點(diǎn)P(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明方法一由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kM

19、F2，kMF1kMF2.點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.方法二(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M點(diǎn)在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)解F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h(yuǎn)|m|，SF1MF246.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 ()A. B.C. D.答案D解析設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y

20、x，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，兩邊同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故選D.2 已知點(diǎn)F是雙曲線1 (a0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 ()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2，)答案D解析根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，若ABE是鈍角三角形，則只要0BAE|EF|就能使BAEac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，得e2或e1，故e2.故選D.3 若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21 (a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的

21、任意一點(diǎn)，則的取值范圍為 ()A32，) B32，)C. D.答案B解析由a214，得a，則雙曲線方程為y21.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則y1，即y1.x0(x02)yx2x012，x0，故的取值范圍是32，)，故選B.二、填空題(每小題5分，共15分)4 (xx重慶)設(shè)P為直線yx與雙曲線1 (a0，b0)左支的交點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e_.答案解析直線yx與雙曲線1相交，由消去y得x，又PF1垂直于x軸，c，即e.5 設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積為_(kāi)答案3解析據(jù)題意，|PF1|PF2|

22、，且|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|4，在PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2.所以sinF1PF2，所以SPF1F2683.6 已知雙曲線1 (a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi)答案解析由定義，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，當(dāng)cosF1PF21時(shí)，得e，即e的最大值為.三、解答題7 (13分)直線l：ykx1與雙曲線

23、C：2x2y21的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)將直線l的方程ykx1代入雙曲線C的方程2x2y21后，整理得(k22)x22kx20.依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得k的取值范圍是2k.(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則由式得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0)則由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.把式及c代入式化簡(jiǎn)得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)