中考數(shù)學(xué) 三角形分類訓(xùn)練四 相似三角形 魯教版

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1、中考數(shù)學(xué) 三角形分類訓(xùn)練四 相似三角形 魯教版 相似三角形的幾種基本圖形： (1)如圖1-10-63：稱為“平行線型”的相似三角形. 圖1-10-63 (2)如圖1-10-64，其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形. 圖1-10-64 (3)如圖1-10-65：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形. 圖1-10-65 (4)如圖1-10-66，其他類型的相似三角形.

2、 圖1-10-66 典例詮釋： 考點(diǎn)一 平行線分線段成比例定理的應(yīng)用 例1 (xx·平谷一模)如圖1-10-67，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC=2∶3，DE=4，則BC的長為( ) 圖1-10-67 A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】 A 【名師點(diǎn)評】 此題通過兩個(gè)三角形相似，找到對應(yīng)邊之比DE∶BC=AE∶AC，從而計(jì)算出BC的長. 例2 (xx·東城一模)如圖1-10-68，有一池塘，要測池塘兩端A，B間的距離，可先在平地上取一個(gè)不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A

3、 和B的點(diǎn)C，連接AC并延長至D，使CD=CA，連接BC 并延長至E，使CE=CB，連接ED. 若量出DE=58米，則A，B間的距離為( ) 圖1-10-68 A．29米 B． 58米 C．60米 D．116米 【答案】 B 考點(diǎn)二 相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用 例3 (xx·西城二模)利用復(fù)印機(jī)的縮放功能，將原圖中邊長為5 cm的一個(gè)等邊三角形放大成邊長為20 cm的等邊三角形，則放大前后的兩個(gè)三角形的面積比為( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 【答案】 D 【名師點(diǎn)評】 此題考查兩個(gè)三角形相似的性質(zhì)，即相似比

4、的平方=面積比，從而得到答案. 例4 (xx·東城二模)如圖1-10-69，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，請你添加一個(gè)條件，使得△ABP∽△ACB，這個(gè)條件可以是 . 圖1-10-69 【答案】 ∠ABP=∠C(答案不唯一) 【名師點(diǎn)評】 此題考查兩個(gè)三角形相似的條件，注意圖中隱含有一對公共角∠A，此題答案不唯一. 考點(diǎn)三 相似三角形的實(shí)際應(yīng)用 例5 (xx·房山一模)為了估算河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上選點(diǎn)E，使得EC⊥BC，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)D，如圖1-10-70所示

5、，測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么這條河的大致寬度是( ) 圖1-10-70 A.75米 B.25米 C.100米 D.120米 【答案】 C 【名師點(diǎn)評】 此題利用兩個(gè)三角形相似來解決實(shí)際問題，學(xué)生要能準(zhǔn)確地列出AB∶EC=BD∶DC，從而計(jì)算出河寬AB的長. 基礎(chǔ)精練 11.(xx·燕山一模)為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識，小明要在書房里掛一張視力表．由于書房空間狹小，他想根據(jù)測試距離為5 m的大視力表制作一個(gè)測試距離為3 m的小視力表．如圖1-10-71，如果大視力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小視力表中相應(yīng)“E”的高度是( )

6、 圖1-10-7 A．3 cm B．2.5 cm C．2.3 cm D．2.1 cm 【答案】 D 2.(xx·房山二模)如圖1-10-72，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB,AC上，且∠AED= ∠ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求AD的長. 圖1-10-72 【解】 ∵ ∠AED=∠ABC,∠A=∠A, ∴ △AED∽△ABC,∴ =. ∵ DE=3,BC=5,AC=12,∴ =,∴ AD=. 3.(xx·海淀二模)據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似

7、三角形，來測量金字塔的高度. 如圖1-10-73所示，木桿EF的長為2 m，它的影長FD為3 m，測得OA為201 m，則金字塔的高度BO為 m． 圖1-10-73 【答案】 134 4.(xx·石景山二模)如圖1-10-74，為了估計(jì)河的寬度，在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，E，使點(diǎn)A，B，D 在一條直線上，且AD⊥DE，點(diǎn)A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，則河的寬度AB約為( ) 圖1-10-74 A．20 m B．18 m C．28 m D．30 m

8、 【答案】 B 5.(xx·東城期末)如圖1-10-75，在△ABC中，D為BC 上一點(diǎn)，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的長. 圖1-10-75 【解】 ∵ ∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴ △ABC∽△DBA. ∴ =.∴ =BD·BC. ∴ BC=9，∴ CD=BC－BD=5. 6.(xx ·豐臺一模)如圖1-10-76是小明設(shè)計(jì)用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖,點(diǎn)P處放一水平的平面鏡,光線從點(diǎn)A發(fā)出經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是(

9、 ) 圖1-10-76 A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 【答案】 B 7.如圖1-10-77，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且AD=AB，則△ADE的周長與△ABC的周長的比為 . 圖1-10-77 【答案】 1∶3 8.如圖1-10-78，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，如果DE∶BC=3∶5,那么AE∶AC的值為( ) 圖1-10-78 A.3∶2 B.2∶3 C.2∶5 D.3∶5 【答案】 D 9.如圖1-10-

10、79，點(diǎn)A(6，3)，B(6，0)在直角坐標(biāo)系內(nèi),以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為( ) 圖1-10-79 A．(3，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(2，1) 【答案】 D 10.(xx·房山期末)如圖1-10-80，在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處． 圖1-10-80 (1)如圖1-10-81，設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接OP，OA．已知△OCP與△PDA的面積比為1∶4，求邊AB的長. 圖1-10-81 (2)動(dòng)點(diǎn)M在線

11、段AP上(不與點(diǎn)P，A重合)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN，PB，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E． ①在圖1-10-80中畫出圖形. ②在△OCP與△PDA的面積比為1∶4不變的情況下，試問動(dòng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？請你說明理由． 【解】 (1)如圖1-10-82. 圖1-10-82 ∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴ ∠C=∠D=90°,∴ ∠1+∠3=90°． ∵ 由折疊可得∠APO=∠B=90°， ∴ ∠1+∠2=90°．∴ ∠2=∠3． 又∵ ∠D=∠C，∴ △OCP∽△PDA． ∵ △OCP與△PDA的面積比

12、為1∶4， ∴ ===,∴ CP=AD=4． 設(shè)OP=x，則CO=8－x． 在Rt△PCO中，∠C=90°， 由勾股定理得．解得x=5． ∴ AB=AP=2OP=10,∴ 邊AB的長為10． (2)①如圖1-10-83. 圖1-10-83 ②在△OCP與△PDA的面積比為1∶4這一條件不變的情況下，點(diǎn)M,N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度是不變的． 過點(diǎn)M作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖1-10-84． ∵ AP=AB，MQ∥AN， ∴ ∠APB=∠ABP=∠MQP,∴ MP=MQ． 圖1-10-84 又ME⊥PQ,∴ 點(diǎn)E是PQ的中點(diǎn). ∵ BN=PM，∴ B

13、N=MQ. 又MQ∥AN，∴ ∠QMF=∠N. 在△MQF和△NBF中， ∴ △MQF≌△NBF,∴ QF=BF.∴ EF=PB． ∵ 在△BCP中，∠C=90°，PC=4，BC=AD=8， ∴ PB=4為定值，∴ EF=PB為定值. 故在△OCP與△PDA的面積比為1∶4這一條件不變的情況下，點(diǎn)M，N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度是不變的，且EF=2． 11.如圖1-10-85,在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,D重合)，PE⊥BP，PE交DC于點(diǎn)Ｅ． 圖1-10-85 (1)求證：△ABP∽△DPE. (2

14、)設(shè)AP＝x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍. (3)請你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由． (1)【證明】 ∵ ∠A=90°，∴ ∠1+∠3=90°. ∵ PE⊥BP，∴ ∠1+∠2=90°,∴ ∠3=∠2. ∵ AB∥CD，∠A=90°，∴ ∠D=∠A=90°∴ △ABP∽△DPE. 圖1-10-86 (2)【解】 由△ABP∽△DPE可得=. ∵ AB=2，AD=5，AP＝x，DE=y,∴ DP=5－x,∴ =, 整理，得y=－+x(0

15、 當(dāng)DE=AB=2時(shí)，四邊形ABED構(gòu)成矩形， 即DE=y=－+x=2, 解得x=1或x=4,∴ AP的長為1或4. 真題演練： 1.(xx·北京)如圖1-10-87，小軍、小珠之間的距離為2.7 m，他們在同一盞路燈下的影長分別為1.8 m,1.5 m，已知小軍、小珠的身高分別為1.8 m,1.5 m，則路燈的高 為 m. 圖1-10-87 【答案】 3 2.閱讀下面材料： 小騰遇到這樣一個(gè)問題：如圖1-10-88，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長. 圖1-10-

16、88 小騰發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E,通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決(如圖1-10-89). 圖1-10-89 請回答：∠ACE的度數(shù)為 ,AC的長為 . 參考小騰思考問題的方法，解決問題： 如圖1-10-90，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點(diǎn)E，AE=2，BE=2ED，求BC的長. 圖1-10-90 【解】 ∠ACE=75°，AC的長為3． 如圖1-10-91,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F． 圖1-10-91 ∵ ∠BAC=90°=∠DF

17、A， ∴ AB∥DF，∴ △ABE∽△FDE， ∴ ===2， ∴ EF=1，AB=2DF． 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴ ∠ACD=75°，AC=AD． ∵ DF⊥AC，∴ ∠AFD=90°， 在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°， ∴ DF=AFtan 30°=，AD=2DF=2. ∴ AC=AD=2，AB=2DF=2.∴ BC==2. 3.如圖1-10-92，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE＝40 cm,EF=20 cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，則樹高AB＝ m. 【答案】 5.5 圖1-10-92 4.如圖1-10-93，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在AB,AC邊上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，則AC等于( ) 圖1-10-93 A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】 D