2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的概念（1）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的概念（1）教案 新人教A版 教學(xué)分析 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一.在中學(xué),函數(shù)的學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)階段.第一階段是在義務(wù)教育階段,學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念,接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡(jiǎn)單的函數(shù),了解了它們的圖象、性質(zhì)等.本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與后續(xù)將要學(xué)習(xí)的函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)(Ⅰ)和基本初等函數(shù)(Ⅱ)是學(xué)習(xí)函數(shù)的第二階段,這是對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)階段.第三階段是在選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí),這是函數(shù)學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深化和提高. 在學(xué)生學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)之前,學(xué)生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴(lài)關(guān)系;同時(shí),雖然函

2、數(shù)概念比較抽象,但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學(xué)生周?chē)?因此,課本采用了從實(shí)際例子中抽象出用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念. 三維目標(biāo) 1.會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù),理解函數(shù)符號(hào)y=f(x)的含義;通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念,培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題的探究能力,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和抽象概括能力;啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型表述思考和解決現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的規(guī)律,逐漸形成善于提出問(wèn)題的習(xí)慣,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)和交流,發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 2.掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域,體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性的重要性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教

3、學(xué)重點(diǎn):理解函數(shù)的模型化思想,用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù). 教學(xué)難點(diǎn):符號(hào)“y=f(x)”的含義,不容易認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念的整體性,而將函數(shù)單一地理解成對(duì)應(yīng)關(guān)系,甚至認(rèn)為函數(shù)就是函數(shù)值. 課時(shí)安排 2課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 函數(shù)的概念 導(dǎo)入新課 思路1.北京時(shí)間2005年10月12日9時(shí)整,萬(wàn)眾矚目的“神舟”六號(hào)飛船勝利發(fā)射升空,5天后圓滿(mǎn)完成各項(xiàng)任務(wù)并順利返回.在“神舟”六號(hào)飛行期間,我們時(shí)刻關(guān)注“神舟”六號(hào)離我們的距離y隨時(shí)間t是如何變化的,本節(jié)課就對(duì)這種變量關(guān)系進(jìn)行定量描述和研究.引出課題. 思路2.問(wèn)題:已知函數(shù)y，x,請(qǐng)用初中所學(xué)函數(shù)的定義來(lái)解釋y與x的函數(shù)關(guān)系？先

4、讓學(xué)生回答后,教師指出:這樣解釋會(huì)顯得十分勉強(qiáng),本節(jié)將用新的觀點(diǎn)來(lái)解釋,引出課題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 (1)給出下列三種對(duì)應(yīng):(幻燈片) ①一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過(guò)26 s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度為h(單位:m)隨時(shí)間t(單位:s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2. 時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤26},h的變化范圍是數(shù)集B={h|0≤h≤845}.則有對(duì)應(yīng) f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B. ②近幾十年來(lái),大氣層的臭氧迅速減少,因而出現(xiàn)了臭氧洞問(wèn)題.圖1-2-1-1中的曲線(xiàn)顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位

5、:106 km2)隨時(shí)間t(單位:年)從1991~xx年的變化情況. 圖1-2-1-1 根據(jù)圖1-2-1-1中的曲線(xiàn),可知時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A={t|1979≤t≤xx},空臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集B={S|0≤S≤26},則有對(duì)應(yīng): f:t→S,t∈A,S∈B. ③國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的高低,恩格爾系數(shù)越低,生活質(zhì)量越高.下表中的恩格爾系數(shù)y隨時(shí)間t(年)變化的情況表明,“八五”計(jì)劃以來(lái),我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化. “八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況 時(shí)間 1991 1992 1993 1994 1995

6、 1996 1997 xx xx xx xx 恩格爾系數(shù)y 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 根據(jù)上表,可知時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A={t|1991≤t≤xx},恩格爾系數(shù)y的變化范圍是數(shù)集B={S|37.9≤S≤53.8}.則有對(duì)應(yīng): f:t→y,t∈A,y∈B. 以上三個(gè)對(duì)應(yīng)有什么共同特點(diǎn)？ (2)我們把這樣的對(duì)應(yīng)稱(chēng)為函數(shù),請(qǐng)用集合的觀點(diǎn)給出函數(shù)的定義. (3)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍,那么你是如何理解這個(gè)“取值范圍”的？ (4)函數(shù)有意義又指什么？ (5)函數(shù)

7、f:A→B的值域?yàn)镃,那么集合B=C嗎？ 活動(dòng)：讓學(xué)生認(rèn)真思考三個(gè)對(duì)應(yīng),也可以分組討論交流,引導(dǎo)學(xué)生找出這三個(gè)對(duì)應(yīng)的本質(zhì)共性. 解：(1)共同特點(diǎn)是:集合A、B都是數(shù)集,并且對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)元素x,在對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B下,在數(shù)集B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng). (2)一般地,設(shè)A、B都是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A,其中x叫自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域. 在研究函數(shù)

8、時(shí)常會(huì)用到區(qū)間的概念,設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),且aa} (a,b］ {x|x≤a} (-∞,a］ {x|x

9、變量的取值使分母不為0;被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù);如果函數(shù)有實(shí)際意義時(shí),那么還要滿(mǎn)足實(shí)際取值等等. (5)CB. 應(yīng)用示例 思路1 1.已知函數(shù)f(x)=+, (1)求函數(shù)的定義域; (2)求f(-3),f()的值; (3)當(dāng)a>0時(shí),求f(a),f(a-1)的值. 活動(dòng)： (1)讓學(xué)生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,故轉(zhuǎn)化為求使和有意義的自變量的取值范圍;有意義,則x+3≥0, 有意義,則x+2≠0,轉(zhuǎn)化解由x+3≥0和x+2≠0組成的不等式組. (2)讓學(xué)生回想f(-3),f()表示什么含義？f(-3)表示自變量x=-3時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,

10、f()表示自變量x=時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.分別將-3,代入函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則中得f(-3),f()的值. (3)f(a)表示自變量x=a時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,f(a-1)表示自變量x=a-1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 分別將a,a-1代入函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則中得f(a),f(a-1)的值. 解：(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值需滿(mǎn)足解得-3≤x<-2或x>-2, 即函數(shù)的定義域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=+=-1; f()==. (3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意義. 則f(a)=+; f(a-1)==. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查

11、函數(shù)的定義域以及對(duì)符號(hào)f(x)的理解.求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,通常轉(zhuǎn)化為解不等式組. f(x)是表示關(guān)于變量x的函數(shù),又可以表示自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,是一個(gè)整體符號(hào),分開(kāi)符號(hào)f(x)沒(méi)有什么意義.符號(hào)f可以看作是對(duì)“x”施加的某種法則或運(yùn)算.例如f(x)=x2-x+5,當(dāng)x=2時(shí),看作“2”施加了這樣的運(yùn)算法則:先平方,再減去2,再加上5;當(dāng)x為某一代數(shù)式(或某一個(gè)函數(shù)記號(hào)時(shí)),則左右兩邊的所有x都用同一個(gè)代數(shù)式(或某一個(gè)函數(shù))來(lái)代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等. 符號(hào)y=f(x)表示變量y是變量x的函數(shù)

12、,它僅僅是函數(shù)符號(hào),并不表示y等于f與x的乘積;符號(hào)f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系,當(dāng)m是變量時(shí),函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是同一個(gè)函數(shù);當(dāng)m是常數(shù)時(shí),f(m)表示自變量x=m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,是一個(gè)常量. 已知函數(shù)的解析式,求函數(shù)的定義域,就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍,即: (1)如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R. (2)如果f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合. (3)如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合. (4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子

13、都有意義的實(shí)數(shù)集合(即求各部分定義域的交集). (5)對(duì)于由實(shí)際問(wèn)題的背景確定的函數(shù),其定義域還要受實(shí)際問(wèn)題的制約. 變式訓(xùn)練 1.求函數(shù)y=的定義域. 答案：{x|x≤1,且x≠-1}. 點(diǎn)評(píng)：本題容易錯(cuò)解：化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=x+1,得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤1}.其原因是這樣做違背了討論函數(shù)問(wèn)題要保持定義域優(yōu)先的原則.化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式容易引起函數(shù)的定義域發(fā)生變化,因此求函數(shù)的定義域之前時(shí),不要化簡(jiǎn)解析式. 2.xx山東濱州二模,理1若f(x)=的定義域?yàn)镸,g(x)=|x|的定義域?yàn)镹,令全集U=R,則M∩N等于( ) A.M B.N

14、 C.M D.N 分析:由題意得M={x|x>0},N=R,則M∩N={x|x>0}=M. 答案：A 3.已知函數(shù)f(x)的定義域是［-1,1］,則函數(shù)f(2x-1)的定義域是________. 分析:要使函數(shù)f(2x-1)有意義,自變量x的取值需滿(mǎn)足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1. 答案：［0,1］ 思路2 1.xx湖北武昌第一次調(diào)研,文14已知函數(shù)f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f() +f(4)+f()=________. 活動(dòng)： 觀察所求式子的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生探討f(a)+f()的值. 解法一：原式==+

15、=. 解法二：由題意得f(x)+f()===1. 則原式=+1+1+1=. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)函數(shù)符號(hào)f(x)的理解.對(duì)于符號(hào)f(x),當(dāng)x是一個(gè)具體的數(shù)值時(shí),相應(yīng)地f(x)也是一個(gè)具體的函數(shù)值.本題沒(méi)有求代數(shù)式中的各個(gè)函數(shù)值,而是看到代數(shù)式中含有f(x)+f(),故先探討f(x)+f()的值,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單地獲解.求含有多個(gè)函數(shù)符號(hào)的代數(shù)式值時(shí),通常不是求出每個(gè)函數(shù)值,而是觀察這個(gè)代數(shù)式的特