2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（3）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（3）教案 新人教A版導(dǎo)入新課思路1.復(fù)習(xí)初中常見的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.對(duì)于任何一個(gè)實(shí)數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的點(diǎn)P和它對(duì)應(yīng).2.對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)A,都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)和它對(duì)應(yīng).3.對(duì)于任意一個(gè)三角形,都有唯一確定的面積和它對(duì)應(yīng).4.某影院的某場(chǎng)電影的每一張電影票有唯一確定的坐位與它對(duì)應(yīng).5.函數(shù)的概念.我們已經(jīng)知道,函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)就叫映射(板書課題).思路2.前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念是:一般地,設(shè)A,B是兩個(gè)非空

2、數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的每個(gè)元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng).(1)對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù),在數(shù)軸上都有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).(2)班級(jí)里的每一位同學(xué)在教室都有唯一的坐位與之對(duì)應(yīng).(3)對(duì)于任意的三角形,都有唯一確定的面積與之對(duì)應(yīng).那么這些對(duì)應(yīng)又有什么特點(diǎn)呢？這種對(duì)應(yīng)稱為映射.引出課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題給出以下對(duì)應(yīng)關(guān)系:圖1-2-2-20這三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么共同特點(diǎn)？像問題中的對(duì)應(yīng)我們稱為映射,請(qǐng)給出映射的定義？“都有唯一”是什么意思？函數(shù)與映射有什么關(guān)系？討論結(jié)果：集合A、B均為非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非

3、空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射.記作“f:AB”.如果集合A中的元素x對(duì)應(yīng)集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.包含兩層意思:一是必有一個(gè);二是只有一個(gè),也就是說有且只有一個(gè)的意思,即是一對(duì)一或多對(duì)一.函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣.應(yīng)用示例思路11.下列哪些對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射？(1)A=P|P是數(shù)軸上的點(diǎn),B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng);(2)A=P|P是平面直角坐標(biāo)系中

4、的點(diǎn),B=(x,y)|xR,yR,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對(duì)應(yīng);(3)A=三角形,B=x|x是圓,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每一個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它的內(nèi)切圓;(4)A=x|x是新華中學(xué)的班級(jí),B=x|x是新華中學(xué)的學(xué)生,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每一個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里的學(xué)生.活動(dòng)：學(xué)生思考映射的定義.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射,要緊扣映射的定義.(1)中數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著唯一的實(shí)數(shù);(2)中平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì);(3)中每一個(gè)三角形都有唯一的內(nèi)切圓;(4)中新華中學(xué)的每個(gè)班級(jí)對(duì)應(yīng)其班內(nèi)的多個(gè)學(xué)生.解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新華中學(xué)的每個(gè)班級(jí)對(duì)應(yīng)其班內(nèi)的多個(gè)學(xué)

5、生,是一對(duì)多,不符合映射的定義.變式訓(xùn)練1.圖1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭頭所標(biāo)明的A中元素與B中元素的對(duì)應(yīng)法則,是不是映射？圖1-2-2-21答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.2.在圖1-2-2-22中的映射中,A中元素60的對(duì)應(yīng)的元素是什么？在A中的什么元素與B中元素對(duì)應(yīng)？圖1-2-2-22答案：A中元素60的對(duì)應(yīng)的元素是,在A中的元素45與B中元素對(duì)應(yīng).思路21.下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射,為什么？(1)A=R,B=xR|x0,對(duì)應(yīng)法則是“求平方”;(2)A=R,B=xR|x0,對(duì)應(yīng)法則是“求平方”;(3)A=xR|x0,B=R,對(duì)應(yīng)法則是“

6、求平方根”;(4)A=平面內(nèi)的圓,B=平面內(nèi)的矩形,對(duì)應(yīng)法則是“作圓的內(nèi)接矩形”.活動(dòng)：學(xué)生回顧映射的對(duì)應(yīng),教師適時(shí)點(diǎn)撥或提示.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射,關(guān)鍵是確定是否是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng),即集合A中的任意一個(gè)元素,在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).解：(1)是映射,因?yàn)锳中的任何一個(gè)元素,在B中都能找到唯一的元素與之對(duì)應(yīng).(2)不是從集合A到集合B的映射,因?yàn)锳中的元素0,在集合B中沒有對(duì)應(yīng)的元素.(3)不是從集合A到集合B的映射,因?yàn)槿魏握龜?shù)的平方根都有兩個(gè)值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).(4)不是從集合A到集合B的映射.因?yàn)橐粋€(gè)圓有無窮多個(gè)內(nèi)接矩形,

7、即集合A中任何一個(gè)元素在集合B中有無窮多個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查映射的概念.給定兩集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,主要利用映射的定義.用通俗的語(yǔ)言講:AB的對(duì)應(yīng)有“多對(duì)一”,“一對(duì)一”,“一對(duì)多”,前兩種對(duì)應(yīng)是A到B的映射,而后一種不是A到B的映射.變式訓(xùn)練1.設(shè)集合A=a,b,c,集合B=R,以下對(duì)應(yīng)關(guān)系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )A.對(duì)集合A中的數(shù)開平方B.對(duì)集合A中的數(shù)取倒數(shù)C.對(duì)集合A中的數(shù)取算術(shù)平方根D.對(duì)集合A中的數(shù)立方分析:當(dāng)a1,即p的取值范圍是(1,+);(方法二)當(dāng)p=0時(shí),方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在

8、原象0和2,則p=0不合題意,排除C,D;當(dāng)p=1時(shí),方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,則p=1不合題意,排除B.答案：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查映射的概念和函數(shù)的值域,以及綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.把映射問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域在實(shí)數(shù)集中的補(bǔ)集.其轉(zhuǎn)化的依據(jù)是對(duì)映射概念的理解以及對(duì)函數(shù)與映射關(guān)系的把握程度.變式訓(xùn)練設(shè)f,g都是由A到A的映射,其對(duì)應(yīng)法則如下表(從上到下):表1 映射f的對(duì)應(yīng)法則原象1234象3421表2 映射g的對(duì)應(yīng)法則原象1234象4312則與fg(1)相同的是( )A.gf(1) B.gf(2) C.

9、gf(3) D.gf(4)分析:f(a)表示在對(duì)應(yīng)法則f下a對(duì)應(yīng)的象,g(a)表示在對(duì)應(yīng)法則g下a對(duì)應(yīng)的象.由表1和表2,得fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2)=3,gf(4)=g(1)=4,則有fg(1)=gf(1)=1,故選A.答案：A知能訓(xùn)練1.下列對(duì)應(yīng)是從集合S到T的映射的是( )A.S=N,T=-1,1,對(duì)應(yīng)法則是(-1)n,nSB.S=0,1,4,9,T=-3,-2,-1,0,1,2,3,對(duì)應(yīng)法則是開平方C.S=0,1,2,5,T=,對(duì)應(yīng)法則是取倒數(shù)D.S=x|xR,T=y|yR,對(duì)應(yīng)法則是xy=分析:判斷映射方法簡(jiǎn)單地

10、說應(yīng)考慮A中的元素是否都可以受f作用,作用的結(jié)果是否一定在B中,作用的結(jié)果是否唯一這三個(gè)方面.很明顯A符合定義;B是一對(duì)多的對(duì)應(yīng);C命題中的元素0沒有象;D命題集合S中的元素1也無象.答案：A2.已知集合M=x|0x6,P=y|0y3,則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中不能看作從M到P的映射的是( )A.f:xy=x B.f:xy=x C.f:xy=x D.f:xy=x分析:選項(xiàng)C中,集合M中元素6沒有象,其他均是映射.答案：C3.已知集合A=N*,B=a|a=2n-1,nZ,映射f:AB,使A中任一元素a與B中元素2a-1對(duì)應(yīng),則與B中元素17對(duì)應(yīng)的A中元素是( )A.3 B.5 C.17 D.9分析:利用對(duì)

11、應(yīng)法則轉(zhuǎn)化為解方程.由題意得2a-1=17,解得a=9.答案：D4.若映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,則X與A的關(guān)系是;Y與B的關(guān)系是.分析:根據(jù)映射的定義,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,YB.答案：X=A YB5.已知集合M=a,b,c,d,P=x,y,z,則從M到P能建立不同映射的個(gè)數(shù)是.分析:集合M中有4個(gè)元素,集合P中有3個(gè)元素,則從M到P能建立34=81個(gè)不同的映射.答案：816.下列對(duì)應(yīng)哪個(gè)是集合M到集合N的映射？哪個(gè)不是映射？為什么？(1)設(shè)M=矩形,N=實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)法則f為矩形到它的面積的對(duì)應(yīng).

12、(2)設(shè)M=實(shí)數(shù),N=正實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)法則f為x.(3)設(shè)M=x|0x100,N=x|0x100,對(duì)應(yīng)法則f為開方再乘10.解：(1)是M到N的映射,因?yàn)樗且粚?duì)一的對(duì)應(yīng).(2)不是映射,因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),集合M中沒有元素與之對(duì)應(yīng).(3)是映射,因?yàn)樗且粚?duì)一的對(duì)應(yīng).7.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集,映射f:AB把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,則在映射f下,A中的元素_對(duì)應(yīng)B中的元素3.( )A.1 B.3 C.9 D.11分析:對(duì)應(yīng)法則為f:n2n+n,根據(jù)選項(xiàng)驗(yàn)證2n+n=3,可得n=1.答案：A8.已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,且aN,kN,xA,yB,映射f:

13、AB,使B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng),求a及k的值.分析:先從集合A和對(duì)應(yīng)法則f入手,同時(shí)考慮集合中元素的互異性.可以分析出此映射必為一一映射,再由310,求得a值,進(jìn)而求得k值.解：B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng),A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.aN,由a2+3a=10,得a=2.k的象是a4,3k+1=16,得k=5.a=2,k=5.9.A=(x,y)|x+y0),l=2.9.由題意,可知容器內(nèi)溶液高度為x的體積等于注入的溶液的體積,即()2x=vt,整理得x=t.當(dāng)容器注滿時(shí)有()2h=vt,得t=.所以該函數(shù)的定義域是t0,值域是x0,h.10.共8個(gè)映射.圖1-2-2-30B組1.(1)-5,02,6);(2)0,+);(3)0,2)(5,+).2.圖1-2-2-31(1)點(diǎn)(x,0)和(5,y),即縱坐標(biāo)為0或橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)不能在圖象上.(2)略.3.略.4.(1)t=,x0,12;(2)t=3小時(shí).