中考數(shù)學(xué) 三角形分類(lèi)訓(xùn)練三 全等三角形 魯教版

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1、中考數(shù)學(xué) 三角形分類(lèi)訓(xùn)練三 全等三角形 魯教版 常見(jiàn)的全等三角形： (1)平移型(如圖1-10-32)： 圖1-10-32 (2)翻折型(如圖1-10-33)： 圖1-10-33 (3)旋轉(zhuǎn)型(如圖1-10-34)： 圖1-10-34 (4)復(fù)合型(如圖1-10-35)： 圖1-10-35 典例詮釋?zhuān)? 考點(diǎn)一 三角形全等及其應(yīng)用 例1 如圖1-10-41，已知E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求證：AB=CD.

2、 圖1-10-41 【證明】 如圖1-10-42,延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接BF .∵ E是BC的中點(diǎn)，∴ BE=CE. 圖1-10-42 ∵ 在△BEF和△CED中， ∴ △BEF≌△CED．∴ ∠F=∠CDE，BF=CD． ∵ ∠BAE=∠CDE，∴ ∠BAE=∠F,∴ AB=BF. 又∵ BF=CD，∴ AB=CD． 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題要證明AB=CD，不能通過(guò)證明△ABE和△CED全等得到，因?yàn)楦鶕?jù)已知條件無(wú)法證明它們?nèi)龋敲纯梢岳玫妊切蔚男再|(zhì)來(lái)解題，為此必須把AB和CD通過(guò)作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化到一個(gè)等腰三角形中． 例2 (xx·

3、石景山一模)如圖1-10-43，已知AD=AE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使得△ADC≌△AEB. 圖1-10-4 【答案】 ∠C=∠B或AC=AB等(答案不唯一) 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查兩個(gè)三角形全等的條件，此題答案不唯一. 例3 (xx·順義一模)如圖1-10-44，已知B，A，E在同一直線(xiàn)上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D．求證：AB=AD． 圖1-10-44 【證明】 ∵ AC∥BD，∴ ∠BAC=∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ∴ △ABC≌△BDE(AAS)，∴ AB=BD． 考點(diǎn)二 尺規(guī)作圖 例4 (xx·房山二模)閱

4、讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題： 尺規(guī)作圖： 已知：Rt△ABC，∠C=90°(如圖1-10-45)． 圖1-10-45 求作：Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，F(xiàn)E = CB． 小蕓的作圖步驟如下： 如圖1-10-46, 圖1-10-46 (1)作線(xiàn)段FE=CB； (2)過(guò)點(diǎn)F作GF⊥FE于點(diǎn)F； (3)以點(diǎn)E為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交射線(xiàn)FG于點(diǎn)D，連接DE. 所以△DEF即為所求作的直角三角形． 老師說(shuō)：“小蕓的作圖步驟正確，且可以得到DF=AC”． 請(qǐng)回答：得到DF=AC的依據(jù)是

5、 ． 【答案】 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查兩個(gè)直角三角形全等的判定定理(HL)，學(xué)生要能通過(guò)閱讀作圖步驟，找到哪些是已知條件，從而找到兩個(gè)三角形全等的依據(jù). 基礎(chǔ)精練 1.(xx·通州一模)如圖1-10-47，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于點(diǎn)D，在△ABC外作∠CAE=∠CBD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AE于點(diǎn)E.如果∠BCE =140°，求∠BAC的度數(shù). 圖1-10-47 【解】 ∵ BD⊥AC，CE⊥AE，∴ ∠BDC=∠E=90°. ∵ ∠CAE=∠CBD，∴ △BDC∽△AEC，∴ ∠BCD=∠ACE. ∵ ∠BCE=140°

6、，∴ ∠BCD=∠ACE=70°. ∵ AC=BC，∴ ∠BAC=∠ABC=55°. 2.(xx·西城二模)如圖1-10-48，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，且DC=DB,點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠EBC=∠ACB．求證：AC=EB． 圖1-10-48 【證明】 ∵ DC=DB，∴ ∠DCB=∠DBC． 在△ACB和△EBC中，∴ △ACB≌△EBC，∴ AC=EB． 3.(xx·東城二模)如圖1-10-49，已知∠ABC=90°，分別以AB和BC為邊向外作等邊 △ABD和等邊△BCE，連接AE，CD.求證：AE=CD. 圖1-10-49 【證明】 如圖1-

7、10-49，∵ △ABD和△BCE為等邊三角形， ∴ ∠ABD=∠CBE=60°，BA=BD，BC=BE, ∴ ∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠CBD=∠ABE. 在△CBD和△EBA中， ∴ △CBD≌△EBA(SAS)，∴ AE=CD. 4.(xx·海淀二模)如圖1-10-50，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC上，且BD=AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作CB的垂線(xiàn)，交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．求證：AB=DF． 圖1-10-50 【證明】 如圖1-10-51. 圖1-10-51 ∵ BF⊥BC，DE⊥AB，∠ACB=90°， ∴ ∠DB

8、F=∠BEF=∠ACB=90°, ∴ ∠1+∠2=90°，∠2+∠F=90°. ∴ ∠1=∠F. 在△ABC和△DFB中， ∴ △ABC≌△DFB，∴ AB=DF. 5.如圖1-10-52，在△MNQ中，MQ≠NQ． 圖1-10-52 (1)請(qǐng)你以MN為一邊，在MN的同側(cè)構(gòu)造一個(gè)與△MNQ全等的三角形，畫(huà)出圖形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明構(gòu)造的方法； (2)參考(1)中構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問(wèn)題： 如圖1-10-53，在四邊形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求證：CD=AB． 圖1-10-53 (1)【解】 如圖1-10-54①,過(guò)點(diǎn)N在MN的同側(cè)作

9、∠MNR=∠QMN，在NR上截取NP=MQ，連接MP，則△MNP即為所求． ① ② 圖1-10-54 (2)【證明】 如圖1-10-54②，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=AD，連接AE． ∵ ∠ACB+∠CAD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，∴ ∠CAD=∠ACE． 又∵ AD=CE，AC=CA，∴ △ACD≌△CAE．∴ ∠D=∠E，CD=AE． ∵ ∠B=∠D，∴ ∠B=∠E，∴ AE=AB，∴ CD=AB． 6.(xx·河南)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 如圖1-10-55，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連

10、接BE. 填空：①∠AEB的度數(shù)為 ； 圖1-10-55 ②線(xiàn)段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ． (2)拓展探究 如圖1-10-56，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 圖1-10-56 (3)解決問(wèn)題 如圖1-10-57，在正方形ABCD中，CD=．若點(diǎn)P滿(mǎn)足PD=1,且∠BPD=90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離． 圖1-10-57 【解】 (1)①60；②AD=B

11、E. (2)∠AEB＝90°；AE=2CM+BE. 【理由】∵ △ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°, ∴ AC=BC,CD=CE. ∵ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD=∠BCE，∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴ ∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°． 在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高， ∴ CM=DM=ME,∴ DE=2CM. ∴ AE=DE+AD=2CM+BE. (3)或. 【提示】∵ PD=1，∠BPD=90°, ∴ BP是以點(diǎn)D為圓心，

12、以1為半徑的⊙D的切線(xiàn)，點(diǎn)P為切點(diǎn)． 第一種情況：如圖1-10-58，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線(xiàn)，交BP于點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP交BP于點(diǎn)M. 可證△APD≌△AP′B,PD=P′B=1. ∵ CD=,∴ BD=2,BP=, ∴ AM=PP′=(PB－BP′)=. 圖1-10-58 第二種情況如圖1-10-59，可得AM=PP′=(PB+BP′)=. 圖1-10-59 真題演練 1.如圖1-10-60，已知D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE.求證：BC=AE. 圖1-10-60 【證明】 ∵ DE∥AB，∴ ∠CAB=∠ADE. 在△ABC與△DAE中， ∴ △ABC≌△DAE(ASA)，∴ BC=AE. 2.如圖1-10-61，已知點(diǎn)E，A，C在同一條直線(xiàn)上，AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求證：BC＝ED. 圖1-10-61 【證明】 ∵ AB∥CD，∴ ∠BAC=∠ECD. 在△BAC和△ECD中， ∴ △BAC≌△ECD(SAS)，∴ CB=ED．