2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理 空間幾何體的三視圖 【教師備用】 若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　B　) 解析:由題意知,選項(xiàng)A,C中所給的幾何體的正視圖、俯視圖不符合要求,選項(xiàng)D中所給幾何體的側(cè)視圖不符合要求.故選B. 1.(xx福建卷)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是(　A　) (A)圓柱 (B)圓錐 (C)四面體 (D)三棱柱 解析:圓柱的正視圖是矩形或圓,不可能是三角形,則該幾何體不可能是圓柱. 故選A. 2.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個(gè)視圖都

2、是直角三角形,則在該三棱錐的四個(gè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為(　D　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由題意可知,幾何體是三棱錐,其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖中三棱錐ABCD,利用長(zhǎng)方體模型可知,此三棱錐的四個(gè)面,全部是直角三角形.故選D. 3. (xx湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　D　) (A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和② 解析:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出棱長(zhǎng)為2的正

3、方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.故選D. 空間幾何體的表面積與體積 4.(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)正方體截去了一個(gè)三棱錐,即截去了正方體的一個(gè)角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則正方體的體積為1,截去的三棱錐的體積為V1=××1×1×1=,故剩余部分的體積為V2=, 所求比值為=. 5. (xx大慶市二檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫的是某幾何體的三視圖,則

4、該幾何體的表面積為(　A　) (A)32+4π (B)24+4π (C)12+ (D)24+ 解析:該幾何體為長(zhǎng)方體與球的組合體,其中長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為2,2,3,球的半徑為1,故其表面積為2×2×2+2×3×4+4×π×12 =32+4π,故選A. 6.(xx河北滄州質(zhì)檢)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為,則其俯視圖的面積為(　B　) (A)π+2 (B)2π+4 (C)2π+6 (D)π+4 解析:三視圖所對(duì)應(yīng)的空間幾何體為一半圓錐拼接一三棱錐, 因?yàn)閂=××πa2×4+××2a×a×4 =a2(π+2)=, 所以a2=4,所以俯視圖的

5、面積為πa2+·2a·a=2π+4,故選B. 多面體與球的切接問題 【教師備用】 (xx東北三校聯(lián)合二模)一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖為等腰直角三角形,正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,則此三棱錐外接球的表面積為(　B　) (A)16π (B)9π (C)4π (D)π 解析:由三視圖可知立體圖形如圖所示. 由三視圖知頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影E為BD中點(diǎn),AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2, 設(shè)O為外接球球心,AO=R,OE=2-R, 則AB==, 在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=, 因?yàn)镾=4πR2, 所

6、以此三棱錐外接球的表面積為9π. 【教師備用】 (xx甘肅蘭州第二次監(jiān)測(cè))已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若球O的表面積為16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,則球心O到平面ABCD的距離為(　B　) (A)1 (B) (C) (D)2 解析:設(shè)外接球O的半徑為R,則4πR2=16π, 所以R=2, 由題意知長(zhǎng)方體的對(duì)角線為球的直徑, 又AB∶AD∶AA1=∶1∶2, 設(shè)AD=x,AB=x,AA1=2x, 則x2+(x)2+(2x)2=42, 解得x=, 球心O到平面ABCD的距離為AA1=x=,選B. 7.(xx江西上饒三模)從點(diǎn)P 出發(fā)

7、的三條射線PA,PB,PC兩兩成60°角,且分別與球O相切于A,B,C三點(diǎn),若OP=,則球的體積為(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析: 設(shè)OP交平面ABC于O′, 由題得△ABC和△PAB為正三角形, 所以O(shè)′A=AB=AP, 因?yàn)锳O′⊥PO,OA⊥PA, 所以=,=,=, 所以O(shè)A==×=1, 即球的半徑為1, 所以其體積為π×13=π.選C. 8.(xx東北三校第一次聯(lián)合模擬)三棱柱ABCA1B1C1各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,側(cè)棱與底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,則這個(gè)球的表面積為　　　　.? 解析:在△ABC中,∠ACB=1

8、20°,CA=CB=2, 由余弦定理可得AB=6, 由正弦定理可得△ABC外接圓半徑r=2, 設(shè)此圓圓心為O′,球心為O, 在Rt△OAO′中,球半徑R==4, 故球的表面積為S=4πR2=64π. 答案:64π 一、選擇題 1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是(　D　) 解析:根據(jù)幾何體的三視圖知識(shí)求解. 由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,且上部是一個(gè)矩形,矩形中間無實(shí)線和虛線,因此俯視圖不可能是選項(xiàng)D. 2.(xx河南模擬)如圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,且其體積為,則該幾何體的俯視圖可以是(　D　)

9、 解析:根據(jù)正視圖與側(cè)視圖的形狀和幾何體的體積是,知底面積是, 所以底面是一個(gè)半徑為1的四分之一圓,故選D. 3.(xx河南六市第二次聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,其中側(cè)視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形,則這個(gè)幾何體的體積是(　B　) (A)2 cm3 (B) cm3 (C)3 cm3 (D)3 cm3 解析:由三視圖可知幾何體如圖所示, 其側(cè)面PCB與底面垂直,且△PCB為邊長(zhǎng)為2的正三角形, 底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2, 所以四棱錐的體積為V=××(1+2)×2××2=. 【教師備用】 (xx懷化二模)某幾何體的三視圖如圖所示,且該

10、幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是(　D　) (A)2 (B) (C) (D)3 解析:根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐,其直觀圖如圖所示. V=××2×x=3?x=3.故選D. 【教師備用】 (xx太原市高三模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是扇形,則該幾何體的體積為(　B　) (A)4π (B)2π (C) (D) 解析: 由正視圖可知該幾何體的高為H=3,其俯視圖如圖, OA=OB=2,AC=,AC⊥OB, 所以∠AOB=,弧AB的長(zhǎng)為, 所以扇形面積為S=×2×=, 所以幾何體的體積為V=3×=2π. 選B. 【教師備用】 (xx寧夏

11、石嘴山高三聯(lián)考)一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,那么這個(gè)四棱錐的表面積是(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:由三視圖可知,其直觀圖如圖, S△ABC=×1×2=1, S△ABE=×2×2=2, S△ACD=×1×=, 可知AD⊥DE,AD==,DE=, S△ADE=××=, S梯形BCDE=×(1+2)×1=, 故其表面積為S=1+2+++=. 選A. 4. (xx黑龍江高三模擬)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都如圖所示.圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心邊長(zhǎng)為1的正方形.則這個(gè)四面體的外接球的表面積是(　B　) (A)π (

12、B)3π (C)4π (D)6π 解析:由三視圖可知,該四面體是正方體的一個(gè)內(nèi)接正四面體,且正方體的棱長(zhǎng)為1,所以內(nèi)接正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為,即球的直徑為,所以球的表面積為S=4π×()2=3π,故選B. 5.(xx遼寧沈陽高三一模)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱的長(zhǎng)都為3,頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(　B　) (A)9π (B)21π (C)33π (D)45π 解析:如圖,因?yàn)樗欣獾拈L(zhǎng)都為3, 所以O(shè)O1=, OA即為其外接球的半徑R, 又AO1=××3=, 所以R2=O+A=()2+()2=, 所以S球=4πR2=21π.選B. 6.(xx貴州省

13、適應(yīng)性考試)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),該四面體的體積為(　A　) (A) (B) (C)1 (D)2 解析:如圖所示,正方體棱長(zhǎng)為1, 依題意知,該四面體為OABC, 其體積為V=1×1×1-4×××1×1×1 =1- =. 選A. 【教師備用】 (xx鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個(gè)三角形均為直角三角形,則xy的最大值為(　C　) (A)32 (B)32 (C)64 (D)64 解析:設(shè)三棱錐的高為h,則根據(jù)三視圖可得 所以x2+y2=128,

14、因?yàn)閤>0,y>0,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=8時(shí)取“=”號(hào), 故xy的最大值為64.選C. 【教師備用】 (xx廣西南寧二模)已知如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為(　B　) (A)24π (B)6π (C)4π (D)2π 解析:依題意知,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐ABCD, 其中AB⊥平面BCD,AB=,BC=CD=,BD=2, 將該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體, 則有(2R)2=()2+()2+()2=6, 所以R=, 所以外接球的表面積為S=4πR2=4π×()2=6π. 選B. 【教師備用】 (xx

15、唐山市一模)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　C　) (A)4 (B)21+ (C)3+12 (D)+12 解析:根據(jù)三視圖可知該幾何體是正六邊形截得的正方體下方的幾何體,因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2, 所以根據(jù)分割的正方體的2個(gè)幾何體的對(duì)稱性得, S1=×6×22=12, 正六邊形的面積為6××()2=3, 所以該幾何體的表面積為12+3.選C. 二、填空題 7.(xx廣西南寧二模)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等且=,則的值是　　　　.? 解析:設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h

16、2, 則由題意知,==·=,① 又2πr1·h1=2πr2·h2, 所以=, ② 把②代入①可得,=, 所以=()2=()2=. 答案: 【教師備用】 (xx遼寧沈陽高三一模)已知某多面體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,則此多面體最長(zhǎng)的一條棱長(zhǎng)為　　　　.? 解析:由三視圖知,該幾何體是一個(gè)四棱錐, 如圖所示,其底面是直角梯形, AD=4,AB=4,OA=4,BC=1, 則OD==, CD==5, OB==, OC===, 故多面體最長(zhǎng)的一條棱長(zhǎng)為. 答案: 8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為　　　　.? 解析:由三視圖知,幾何體由一個(gè)四棱錐與四棱柱組成,則體積V=×2×2×1+1×1×2=. 答案: 9.(xx大連市高三一模)如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為　　　　.? 解析:設(shè)球的半徑為R,則底面ABCD的面積為2R2, 因?yàn)榘肭騼?nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD, 該四棱錐的體積為, 所以×2R2×R=, 所以R3=2, 所以該半球的體積為V=×πR3=π. 答案:π