2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的余弦教案 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩角和與差的余弦教案 理教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標表示以及向量數(shù)量積的坐標表示的基礎(chǔ)上，進一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機械設(shè)計與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)“兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出，均為銳角時成立對于，為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究同時，補充了用向量的方法推導(dǎo)過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性這節(jié)課的重點是兩

2、角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點是把公式中的，角推廣到任意角教學(xué)目標1. 通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識的能力2. 通過兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神3. 能正確運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學(xué)的出發(fā)點，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補充推導(dǎo)過程中的不嚴謹之處推導(dǎo)過程采用了從特殊到一般逐層遞進的思維方法，學(xué)生易于接受整個過程始終結(jié)合單位圓，以強調(diào)其直觀性對于公式中的和角

3、要強調(diào)其任意性數(shù)學(xué)中要注意運用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會到成功的喜悅，進一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺主動地學(xué)習(xí)教學(xué)過程一、問題情景我們已經(jīng)學(xué)過誘導(dǎo)公式，如可以這樣來認識以上公式：把角轉(zhuǎn)動，則所得角的正弦、余弦分別等于cos和sin把角轉(zhuǎn)動，則所得角的正弦、余弦分別等于sin和cos由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角的終邊轉(zhuǎn)動（度或弧度），那么所得角的正弦、余弦如何用或的正弦、余弦來表示呢？出示一個實際問題：右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖吊橋長AB（m），A是支點，在河的左岸點C在

4、河的右岸，地勢比A點高AD表示水平線，DAC，為定值CAB，隨吊橋的起降而變化在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？由圖可知BEasin（）我們的問題是：如何用和的三角函數(shù)來表示sin（）如果為銳角，你能由，的正弦、余弦求出sin（）嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析：事實上，我們在研究三角函數(shù)的變形或計算時，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用，的三角函數(shù)去表示的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索的余弦與，的函數(shù)關(guān)系式更一般地說，對于任意角，能不能用，的三角函數(shù)值把或的三角函數(shù)值表示出來呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（）coscos（2）引導(dǎo)學(xué)生通過特例否定這一猜想例如，60，

5、30，可以發(fā)現(xiàn)，左邊cos（6030）cos30，右邊cos60cos30顯然，對任意角，cos（）coscos不成立（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想不妨設(shè)，均為銳角，則，則cos（）cos又cos，所以cos（）coscos2. 分析討論（1）如何把，角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達式需要哪些已學(xué)過的知識？（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？3. 教師明晰通過學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：設(shè)角的終邊與單位圓的交點為P1，POP1，則POx過點P作PMx軸，垂足為M，那么，OM即為角的余

6、弦線，這里要用表示，的正弦、余弦的線段來表示OM過點P作PAOP1，垂足為A，過點A作ABx軸，垂足為B，再過點P作PCAB，垂足為C，那么cosOA，sinAP，并且PACP1Ox，于是OMOBBMOBCPOAcosAPsincoscossinsin4. 提出問題，組織學(xué)生討論（1）當(dāng)，為任意角時，上述推導(dǎo)過程還能成立嗎？若要說明此結(jié)果是否對任意角，都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨立思考事實上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把，的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（）cos，把的余弦，化為銳角的余弦因此，三、解釋應(yīng)用例題1. 求cos15及cos105的值分析：本題關(guān)鍵是將15角分

7、成45與30的差或者分解成60與45的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解對于cos105，可進行類似地處理，cos105cos（6045）2. 已知sin，（，），cos，且是第三象限的角，求cos（）的值分析：觀察公式C與本題已知條件應(yīng)先計算出cos，cos，再代入公式求值求cos，cos的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意，的取值范圍來求解練習(xí)1. （1）求sin75的值（2）求cos75cos105sin75sin105的值（3）化簡cos（AB）cosBsin（AB）sinB（4）求cos215sin215的值分析：對于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75為cos15，再用例題1中

8、的結(jié)果即可對于（2），逆向使用公式C-，即可將原式化為cos30對于（3），可以把AB角看成一個整體，去替換C-中的角，用B角替換角2. （1）求證：cos（） sin（2）已知sin，且為第二象限角，求cos（）的值（3）已知sin（30），60150，求cos分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，（30）30，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值3. 化簡cos（36）cos（54）sin（36）sin（54）分析：這里可以把角36與54均看成單角，進而直接運用公式C-，不必將各式展開后再計算分析：本題是一

9、道綜合題，由于cos（）coscossinsin，欲求cos（）的值，只須將已知兩式平方相加求出coscossinsin即可四、拓展延伸1. 由任意角三角函數(shù)定義，可知角，的終邊與單位圓交點的坐標均可用，的三角函數(shù)表示，即角與，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推導(dǎo)公式C-呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則（cos，sin），（cos，sin）由向量數(shù)量積的概念，有cos（）cos（）由向量的數(shù)量積的坐標表示，有coscossinsin于是，有cos（）coscossinsin依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角必須符

10、合，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的由于，都是任意角，也是任意角，因此，須研究為任意角時，以上推導(dǎo)是否正確當(dāng)為任意角時，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個角，0，2），使coscos（）若0，則coscos（）；若，2，則20，且cos（2）coscos（）于是，對于任意角，都有2. 教師提出進一步拓展性問題：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sin，sin，cos，cos來表示sin（）的問題，試探索與研究sin（）的表達式點評這篇案例設(shè)計完整，思路清晰案例首先通過問題情景闡述了兩角和、差、三角函數(shù)公式的產(chǎn)生背景，然后通過組織學(xué)生分析，討論，并借助于單位圓中的三角函數(shù)線對，為銳角時給出證明，進而用向量知識探究任意角的情形這些均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念同時，例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面總之，關(guān)注學(xué)生的已有基礎(chǔ)，充分利用歸納、類比等方法激發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望，建立C模型這種設(shè)計思路有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高，同時及時鞏固，應(yīng)用，拓展延伸，體現(xiàn)了對傳統(tǒng)的中國式數(shù)學(xué)教學(xué)精華的繼承如果能在結(jié)束時再創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生自我小結(jié)、反思的環(huán)節(jié)，可能會錦上添花