2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題十三 排列、組合與二項式定理（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題十三 排列、組合與二項式定理（含解析）抓住2個高考重點重點1 排列與組合1兩個原理的應用 如果完成一件事情有類辦法，這類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分類加法計數(shù)原理；如果完成一件事情要分成個步驟，各個步驟都是不可或缺的，依次完成所有的步驟才能完成這件事情，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理 從思想方法的角度看，分類加法計數(shù)原理的運用是將問題進行“分類”思考，分步乘法計數(shù)原理是將問題進行“分步”思考，這兩種思想方法貫穿于解決這類應用問題的始終（

2、1）在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，其次要搞清楚“分類”和“分步的具體標準分別是什么選擇合理、簡潔的標準處理問題，可以避免計數(shù)的重復或遺漏（2）對于一些比較復雜的問題，既要運用分類加法計數(shù)原理，又要運用分步乘法計數(shù)原理時，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題的分析更直觀、清晰2排列組合應用題（1）排列問題常見的限制條件及對策對于有特殊元素或特殊位置的排列，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置相鄰排列問題，通常采用“捆綁”法，即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列對于元素不相鄰的排列，通常采用“插空”的方法.對于元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序

3、限制進行排列，然后再根據(jù)規(guī)定順序的實情求結(jié)果 求解有約束條件的排列問題，通常有正向思考和逆向思考兩種思路正向思考時，通過分步、分類設法將問題分解；逆向思考時，用集合的觀點看，就是先從問題涉及的集合在全集中的補集入手，使問題簡化（2）組合問題常見的問題及對策在解組合應用題時，常會遇到“至少”、“最多”等詞，要仔細審題，理解其含義.有關幾何圖形的組合問題，一定要注意圖形自身對其構(gòu)成元素的限制，解決這類問題常用間接法（或排除法）分組、分配問題二者是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的（3）解排列、組合的應用題，要注意四點仔細

4、審題，判斷是組合問題還是排列問題要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進行分步深入分析，嚴密周詳注意分清是乘還是加，既不少也不多，辯證思維，多角度分析，全面考慮，積極運用邏輯推理能力，同時盡可能地避免出錯對于附有條件的比較復雜的排列、組合應用題，要周密分析，設計出合理的方案，把復雜問題分解成若干簡單的基本問題后應用加法原理或乘法原理來解決.由于排列、組合問題的結(jié)果一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應著重檢查所設計的解決問題的方案是否完備，有無重復或遺漏，也可采用多種不同的方案求解，看結(jié)果是否相同，在對排列、組合問題分類時，分類標準應統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復高考?？冀嵌冉嵌? 用數(shù)字

5、2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個.（用數(shù)字作答）解析：本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應用因為四位數(shù)的每個數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數(shù)有個 （間接法）點評：如果用直接法，分類會很復雜。角度2某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（ B ）A. 36種B. 42種 C. 48種 D. 54種解析：分兩類考慮：一類為甲排在第一位共有種，另一類甲排在第二位共有種，故編排方案共有種，故選B.點評：本題主要考查

6、排列組合基礎知識，考查分類與分步計數(shù)原理.重點2 二項式定理1.二項式定理的通項：在二項展開式中，叫做二項式的通項，是展開式的第項2.要正確區(qū)分二項式系數(shù)和展開式各項系數(shù).高考?？冀嵌冉嵌? 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為（ ）A. B. C. D. 解析：令得，故二項式即，二項式的通項為，故知該展開式中常數(shù)項為，故選D角度2在的二項展開式中，的系數(shù)為（ ）A B C D解析：由二項式定理得，令，則的系數(shù)為.故選C突破3個高考難點難點1 裝錯信封問題的求解對于裝錯信封問題，在元素個數(shù)不多的情況下，可以具體地進行操作，以找出其中的方法數(shù)，這也是近年來高考考查計數(shù)問題的一個命題趨

7、勢.在具體操作中可以在兩個計數(shù)原理的指導下，給所安排的元素確定具體位置，在逐步縮小位置個數(shù)的情況下解決問題典例 某中學高三年級共有12個班級，在即將進行的月考中，擬安排12位班主任老師監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任老師監(jiān)考，則不同的監(jiān)考安排方案共有（ ）A4 455 種 B495 種 C4 950 種 D7 425種 解析：從12位老師中選出8位，他們各自監(jiān)考自己的班級，方法數(shù)是，剩下的4位老師都不監(jiān)考自己的班級，記4位老師分別為甲、乙、丙、丁，他們各自的班級分別為A、B、C、D，則甲只能在B、C、D中選一個，有3種方法，假設甲在B，此時若乙在A，則丙、丁只能互換班級，若乙

8、在C、D之一，也各有1種方法甲在C、D時也分別有3種方法，故這時的安排方法數(shù)是根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，監(jiān)考安排方案共有 種 故選A點評： 題中的4位班主任都不監(jiān)考自己的班級，也是問題“一個人寫了n封信和n個對應的信封，所有的信都不裝入對應信封”的特例，其方法數(shù)的計算公式為，題中的情況按照這個公式進行計算，得難點2 突破涂色問題涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用產(chǎn)生的一類問題，這類問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理其難點是對相鄰區(qū)域顏色不同的處理，破解的方法是根據(jù)分步乘法計數(shù)原理逐塊涂色，同時考慮所用的顏色數(shù)目典例 如圖，一個

9、地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有_種（以數(shù)字作答）解析：方法一：（以位置為主考慮）第一步涂，有4種方法，第二步涂，有3種方法，第三步涂，有2種方法，第四步涂時分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法，第五步涂，有1種方法；第二類與區(qū)域同色，有1種方法，第五步涂，有2種方法，所以共有 種方法二：（以顏色為主考慮）分兩類：（1）取4色：將或視為一個位置計四個位置，著色方法有種；（2）取3色：將 ， 看成兩個元素，著色方法有種所以共有著色方法種典例 2 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多

10、使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_種（用數(shù)字作答）解析：（以顏色為主考慮）若用2種顏色，1，3與2，4分別涂1種顏色，有若用3種顏色，則還有兩個格子涂一種顏色，可以是1，3，1，4，共三類有 所以共有 種難點3 解決兩個二項式相乘問題求解兩個二項式乘積中一些特定項或特定項的系數(shù)既是高考中的一個熱點問題，也是一個難點問題，化解這個難點的方法是用好多項式的乘法規(guī)則弄清楚這些特定項的構(gòu)成規(guī)律在加以解決。典例1 展開式中的系數(shù)為_解析：依題意，只須計算中的常數(shù)項與中的含項積的系數(shù)，中含項與中含項的積的系數(shù)，中含項與中的常數(shù)項的積的系數(shù)，然后相加即得.因此，典例2 展開式中的常

11、數(shù)項為_4246_解析：第一個展開式中的指數(shù)依次是，第二個展開式中的指數(shù)依次是根據(jù)多項式乘法規(guī)則，常數(shù)項只能是第一個展開式中的指數(shù)是的項與第二個展開式中的指數(shù)是對應項的乘積，根據(jù)二項式定理中的通項公式，得所求常數(shù)項為規(guī)避2個易失分點易失分點1 實際問題意義不清，計算重復、遺漏典例 有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有_種.易失分提示:由于對實際問題中“至少有1個一等品”意義理解不明，可能導致下面錯誤的解法：按分步原理，第一步確保1個一等品，有種取法；第二步從余下的19個零件中任意取2個，有種不同的取法，故共有種取法實際上這種解

12、法是錯誤的，我們作如下分析：第一步取出1個一等品，那么第二步就有3種可能：（1）取出的2個都是二等品，這時的取法有種；（2）取出1個一等品，1個二等品，因為取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后順序，而實際上這2個一等品是沒有先后順序的，因此這時的取法就產(chǎn)生了重復，即這時的取法有種；（3）取出的2個都是一等品，這時我們?nèi)〕龅?個都是一等品了，實際的取法種數(shù)應是種解析：方法一 將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，有分類計數(shù)原理得種方法二：考慮其對立事件“3個都是二等品”，利用間接法可得符合條件的取法為 種易失分點2 二項式系數(shù)與展開式各項系數(shù)相混淆典例1 已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項的二項式系數(shù)的和的比值為64，則等于（ ）A B C D 易失分提示：誤將展開式各項系數(shù)與二項式系數(shù)概念分銷，從而導致解題錯誤.解析：令，可得展開式各項系數(shù)和為，又二項式系數(shù)和為，所以，故選C