2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.3幾何概型教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.3幾何概型教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考1.以小題形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型；2.和平面幾何、函數(shù)、向量相結(jié)合考查幾何概型，題組以中低檔為主復(fù)習(xí)備考要這樣做1.準(zhǔn)確理解幾何概型的意義，會(huì)構(gòu)造度量區(qū)域；2.把握與古典概型的聯(lián)系和區(qū)別，加強(qiáng)與數(shù)學(xué)其他知識(shí)的綜合訓(xùn)練1 幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型2 幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式P(A).3 要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性

2、：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 幾何概型的試驗(yàn)中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)2 求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解3 幾何概型的兩種類型(1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決1 在區(qū)間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x0，1的概率為_答案解析如圖，這是一個(gè)長度型的幾何概型題，所求概率P.2 點(diǎn)

3、A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為_答案解析如圖可設(shè)l1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則其概率是.3 已知直線yxb，b2,3，則直線在y軸上的截距大于1的概率是_答案解析區(qū)域D為區(qū)間2,3，d為區(qū)間(1,3，而兩個(gè)區(qū)間的長度分別為5,2.故所求概率P.4 一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，則某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈的概率是 ()A. B. C. D.答案B解析以時(shí)間的長短進(jìn)行度量，故P.5 (xx湖北)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)

4、取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 ()A1B.C.D.答案A解析方法一設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1111，所以整體圖形中空白部分面積S22.又因?yàn)镾扇形OAB22，所以陰影部分面積為S32.所以P1.方法二連接AB，由S弓形ACS弓形BCS弓形OC可求出空白部分面積設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，令OA2.由題意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC，所以S空白SOAB222.又因?yàn)镾扇形OAB22，所以S陰影2.所以P1.題型一與長度有關(guān)的幾何概型

5、例1在集合Am|關(guān)于x的方程x2mxm10無實(shí)根中隨機(jī)地取一元素m，恰使式子lg m有意義的概率為_思維啟迪：通過轉(zhuǎn)化集合A和lg m有意義將問題轉(zhuǎn)化成幾何概型答案解析由m240得1m4.即Am|1m0，即使lg m有意義的范圍是(0,4)，故所求概率為P.探究提高解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長度比計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，由于弧長之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(曲線長)之比在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長超過

6、圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是_答案解析記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長(此時(shí)F為OE中點(diǎn))，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：P(A).題型二與面積有關(guān)的幾何概型例2設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率思維啟迪：(1)為古典概型，利

7、用列舉法求概率(2)建立ab平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型解設(shè)事件A為“方程x22axb20有實(shí)根”當(dāng)a0，b0時(shí)，方程x22axb20有實(shí)根的充要條件為ab.(1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A).(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，ab，所以所求的概率為P(A).探究提高數(shù)形結(jié)

8、合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A).拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是4，將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)(1)求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2y210內(nèi)的概率；(2)若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率解(1)以0、2、4為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P共有(0,

9、0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9個(gè)，而這些點(diǎn)中，落在區(qū)域C內(nèi)的點(diǎn)有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4個(gè)，所求概率為P.(2)區(qū)域M的面積為4，而區(qū)域C的面積為10，所求概率為P.題型三與角度、體積有關(guān)的幾何概型例3如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM1的概率思維啟迪：根據(jù)“在BAC內(nèi)作射線AM”可知，本題的測(cè)度是角度解因?yàn)锽60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使B

10、M1”，則可得BAMBAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).探究提高幾何概型的關(guān)鍵是“測(cè)度”，如本題條件若改成“在線段BC上找一點(diǎn)M”，則相應(yīng)的測(cè)度變成線段的長度一只蜜蜂在一個(gè)棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體玻璃容器的6個(gè)表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個(gè)位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為()A. B. C. D.答案C解析由題意，可知當(dāng)蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)才是安全的，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為.轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應(yīng)用典例：(12分)已知向量a

11、(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夾角是鈍角的概率審題視角(1)向量ab轉(zhuǎn)化為x2y，而x、y的值均為有限個(gè)，可以直接列出，轉(zhuǎn)化為古典概型問題；(2)和(1)中條件類似，但x、y的值有無窮多個(gè)，應(yīng)轉(zhuǎn)化為幾何概型問題規(guī)范解答解(1)設(shè)“ab”為事件A，由ab，得x2y.基本事件空間為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12個(gè)基本事件；3分其中A(0,0)，(2,1)，包含2個(gè)基本事件則P(A)，

12、即向量ab的概率為.5分(2)設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得ab0，即2xy0，且x2y.7分基本事件空間為，B，10分則P(B)，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.12分溫馨提醒(1)對(duì)含兩個(gè)變量控制的概率問題，若兩個(gè)變量取值有限個(gè)，可轉(zhuǎn)化為古典概型；若取值無窮多個(gè)，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型問題(2)本題錯(cuò)誤的主要原因是不能將問題化歸為幾何概型問題，找不到問題的切入點(diǎn)所以要注意體會(huì)和應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決幾何概型中的作用.方法與技巧1 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無限多個(gè)2 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)一個(gè)具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將

13、試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式失誤與防范1 準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵；2 幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ()A. B. C. D.答案C解析設(shè)ACx，CB12x，所以x(12x)32，解得x8.所以P.2 (xx北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是 ()A.

14、 B. C. D.答案D解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是.3 點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|1的概率為()A. B. C. D答案A解析由題意可知，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|1的區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn)A為圓心，以1為半徑的圓的四分之一，它對(duì)應(yīng)的面積為，所以所求概率為.4 在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin 的值介于與之間的概率為()A. B. C. D.答案D解析1x1，.由sin ，得，即x1.故所求事件的概率為.二

15、、填空題(每小題5分，共15分)5 平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個(gè)平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是_答案解析如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.6 設(shè)p在0,5上隨機(jī)地取值，則方程x2px0有實(shí)根的概率為_答案解析一元二次方程有實(shí)數(shù)根0，而p24(p1)(p2)，解得p1或p2，故所求概率為P.7 在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)的概率為_答案解析根據(jù)函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)得4a24(b2)0，即a2b2，建立如圖所示的平面直

16、角坐標(biāo)系，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD及其內(nèi)部，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，且S陰影42232.故所求概率為P.三、解答題(共22分)8 (10分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，求使四棱錐MABCD的體積小于的概率解如圖，正方體ABCDA1B1C1D1.設(shè)MABCD的高為h，則SABCDh，又SABCD1，h0且1，即2ba.依條件，可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)?由得交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以所求事件的概率為P.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 在區(qū)間0,1上任

17、取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x2axb2無零點(diǎn)的概率為()A. B. C. D.答案C解析要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2bR，故所求的概率P(A).3 (xx陜西)如圖所示是用模擬方法估計(jì)圓周率值的程序框圖，P表示估計(jì)結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入()AP BPCP DP答案D解析xi，yi為01之間的隨機(jī)數(shù)，構(gòu)成以1為邊長的正方形面，當(dāng)xy1時(shí)，點(diǎn)(xi，yi)均落在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑且在第一象限的圓內(nèi)，當(dāng)xy1時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在陰影部分中(如圖所示)有，N4MM，(MN)4M，.二、填空題(每小題5分，共15分)4 在區(qū)間0,1上隨意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則

18、使1成立的概率為_答案解析D為直線x0，x1，y0，y1圍成的正方形區(qū)域，而由1，即x2y21(x0，y0)知d為單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個(gè)圓)，故所求概率為.5 (xx江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_答案解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.6 如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn)Q，則過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率是_答案1解析弦長不超過1，即|OQ|，而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)

19、的，事件A弦長超過1由幾何概型的概率公式得P(A).弦長不超過1的概率為1P(A)1.三、解答題7 (13分)設(shè)AB6，在線段AB上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)A、B除外)，將線段AB分成了三條線段，(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率解(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度所有可能情況是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3種情況，其中只有三條線段長為2,2,2時(shí)，能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為P.(2)設(shè)其中兩條線段長度分別為x、y，則第三條線段長度為6xy，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即，所表示的平面區(qū)域?yàn)镺AB.若三條線段x，y,6xy能構(gòu)成三角形，則還要滿足，即為，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈EF，由幾何概型知，所求概率為P.