《2022年高考數學回歸課本 函數教案 舊人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數學回歸課本 函數教案 舊人教版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、2022年高考數學回歸課本 函數教案 舊人教版一、基礎知識定義1 映射，對于任意兩個集合A，B，依對應法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應，則稱f: AB為一個映射。定義2 單射，若f: AB是一個映射且對任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射。定義3 滿射，若f: AB是映射且對任意yB，都有一個xA使得f(x)=y，則稱f: AB是A到B上的滿射。定義4 一一映射，若f: AB既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應法則f-1構成的映射，記作f-1: AB。定義5 函數，映射f: AB中，若A，B都是非
2、空數集，則這個映射為函數。A稱為它的定義域，若xA, yB，且f(x)=y（即x對應B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函數的值域。通常函數由解析式給出，此時函數定義域就是使解析式有意義的未知數的取值范圍，如函數y=3-1的定義域為x|x0,xR. 定義6 反函數，若函數f: AB（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: AB叫原函數的反函數，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數的定義域即原函數的值域。例如：函數y=的反函數是y=1-(x0
3、).定理1 互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱。定理2 在定義域上為增（減）函數的函數，其反函數必為增（減）函數。定義7 函數的性質。（1）單調性：設函數f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1, x2I并且x1 x2，總有f(x1)f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數，區(qū)間I稱為單調增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設函數y=f(x)的定義域為D，且D是關于原點對稱的數集，若對于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數；若對任意的xD，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數。奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。（3）周期性：對于函數f(x
4、)，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內每一個數時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數，T稱為這個函數的周期，如果周期中存在最小的正數T0，則這個正數叫做函數f(x)的最小正周期。定義8 如果實數ab，則數集x|axb, xR叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合x|axb,xR記作閉區(qū)間a,b，集合x|axb記作半開半閉區(qū)間（a,b，集合x|axa記作開區(qū)間（a, +），集合x|xa記作半開半閉區(qū)間（-,a.定義9 函數的圖象，點集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數y=f(x)的圖象與其他函數圖象之
5、間的關系(a,b0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數y=f(-x)的圖象關于y軸對稱；（5）與函數y=-f(-x)的圖象關于原點成中心對稱；（6）與函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱；（7）與函數y=-f(x)的圖象關于x軸對稱。定理3 復合函數y=fg(x)的單調性，記住四個字：“同增異減”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是減函數，y=在（0，+）上是減函數，所以y=在（-,2）上是增函數。注：復合函數單調性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證
6、，求導之后是顯然的。二、方法與例題xyx11x1數形結合法。例1 求方程|x-1|=的正根的個數.【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。例2 求函數f(x)=的最大值?！窘狻?f(x)=，記點P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。因為|PA|-|PA|AB|=,當且僅當P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。所以f(x)max=2.函數性質的應用。例3 設x, yR，且滿足，求x+y.【解】 設f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-，+）上遞增。事實上，若a0，所以f(t)遞增。
7、由題設f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函數f(x)在定義域（-1，1）內是減函數，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍?！窘狻?因為f(x)是奇函數，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5 設f(x)是定義在（-，+）上以2為周期的函數，對kZ, 用Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，已知當xI0時，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式?！窘狻?設xIk，則2k-10，則由得n0，設f(t)=t(+1),則f(t)在（
8、0，+）上是增函數。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。綜上，方程有唯一實數解x=3.配方法。例7 求函數y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當x=-時，y取最小值-，所以函數值域是-，+）。4換元法。例8 求函數y=(+2)(+1),x0,1的值域?！窘狻苛?=u，因為x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以該函數值域為2+，8。5判別式法。例9 求函數y=的值域?！窘狻坑珊瘮到馕鍪降?y-1)x2+3(y+1)x+4y-
9、4=0. 當y1時，式是關于x的方程有實根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又當y=1時，存在x=0使解析式成立，所以函數值域為，7。6關于反函數。例10 若函數y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數。若f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數。【證明】設x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，則x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，則因為f(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2與假設矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )遞增。例11 設函數f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x)
10、.【解】 首先f(x)定義域為（-，-）-，+）；其次，設x1, x2是定義域內變量，且x1x20,所以f(x)在（-，-）上遞增，同理f(x)在-，+）上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，設xy，則f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因為x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基礎訓練題1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1,
11、2，映射f：XY滿足：對任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數，這樣的映射有_個。2給定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f為單射，則f有_個；若f為滿射，則f有_個；滿足ff(x) =f(x)的映射有_個。3若直線y=k(x-2)與函數y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_個交點。4函數y=f(x)的值域為，則函數g(x)=f(x)+的值域為_。5已知f(x)=，則函數g(x)=ff(x)的值域為_。6已知f(x)=|x+a|，當x3時f(x)為增函數，則a的取值范圍是_。7設y=f(x)在定義域（，2）內是增函數，則y=f(x2-1)
12、的單調遞減區(qū)間為_。8若函數y=(x)存在反函數y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關于直線_對稱。9函數f(x)滿足=1-，則f()=_。10. 函數y=, x(1, +)的反函數是_。11求下列函數的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定義在R上，對任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數，又當x2,3時，f(x)=x，則當x-2,0時，求f(x)的解析式。四、高考水平訓練題1已知a, f(x)定義域是（0,1，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_。2設0a1時，f(x)=(a-1)x2
13、-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_。3映射f: a, b, c, d1，2，3滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函數f(x)定義域為R，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數。11設關于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為，（），已知函數f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求證：f(x)在，上是增函數；（3）對任意正數x1, x2，求證：0，a1,F(x)是奇函數，則G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，則下列等式中正確的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.設函數f：RR滿足f(0)=1，且
14、對任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=_.5已知f(x)是定義在R上的函數，f(1)=1，且對任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(xx)= _.6. 函數f(x)=的單調遞增區(qū)間是_.7. 函數f(x)=的奇偶性是：_奇函數，_偶函數（填是，非）。8. 函數y=x+的值域為_.9設f(x)=,對任意的aR，記V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，試求V(a)的最小值。10解方程組： （在實數范圍內）11設kN+, f: N+N+滿足：（1）f
15、(x)嚴格遞增；（2）對任意nN+, 有ff(n)=kn，求證：對任意nN+, 都有nf(n)六、聯賽二試水平訓練題1求證：恰有一個定義在所有非零實數上的函數f，滿足：（1）對任意x0, f(x)=xf；（2）對所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.設f(x)對一切x0有定義，且滿足：（）f(x)在（0，+）是增函數；()任意x0, f(x)f=1，試求f(1).3. f:0,1R滿足：（1）任意x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）當x, y, x+y0, 1時，f(x)+f(y)f(x+y)，試求最小常數c，對滿足（1），（2），（3）的函數f(x
16、)都有f(x)cx.4. 試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5對給定的正數p,q(0, 1)，有p+q1p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知f: (0,1)R且f(x)=.當x時，試求f(x)的最大值。7函數f(x)定義在整數集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。8函數y=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標原點旋轉角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質的函數。9設Q+是正有理數的集合，試構造一個函數f: Q+Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y)=x, yQ+.
2022年高考數學回歸課本 函數教案 舊人教版
