2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選4系列 12.4 證明不等式的基本方法學(xué)案 文
12．4 證明不等式的基本方法[知識(shí)梳理]1．證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．2．三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式(1)定理：如果a，b，c∈R＋那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.(2)基本不等式的推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立．3．柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)等號(hào)成立．(2)若ai，bi(i∈N*)為實(shí)數(shù)，則≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝(當(dāng)ai＝0時(shí)，約定bi＝0，i＝1,2，…，n)時(shí)等號(hào)成立．(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立．[診斷自測(cè)]1．概念思辨(1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時(shí)，假設(shè)為“a，b，c全不為0”．( )(2)若>1，則x＋2y>x－y.( )(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )(4)若實(shí)數(shù)x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(選修A4－5P23T1)不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②答案 D解析 由①得x2＋3－3x＝2＋>0，所以x2＋3>3x；對(duì)于②，因?yàn)閍2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)ab<0時(shí)，＋－2＝<0，即＋<2.故選D.(2)(選修A4－5P25T2)已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為_(kāi)_______．答案 9解析 把a(bǔ)＋b＋c＝1代入＋＋，得＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立．3．小題熱身(1)(2017·聊城模擬)下列四個(gè)不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的個(gè)數(shù)是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析 logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x>1)，①正確．a(chǎn)b≤0時(shí)，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正確；因?yàn)閍b≠0，與同號(hào)，所以＝＋≥2，③正確；由|x－1|＋|x－2|的幾何意義知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正確，綜上①③④正確．故選C.(2)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為_(kāi)_______．答案 解析 由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴ ≥，∴所求最小值為.題型1 綜合法證明不等式 (2018·安徽百校模擬)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝|2x＋a|＋2＋1的最小值為2.(1)求a＋b的值；(2)求證：a＋log3≥3－b. (1)當(dāng)絕對(duì)值符號(hào)中x的系數(shù)相同時(shí)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)消去x即可；(2)利用a＋b＝1轉(zhuǎn)化為＋＝(a＋b)求解．解 (1)因?yàn)閒(x)＝|2x＋a|＋|2x－b|＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝|a＋b|＋1，當(dāng)且僅當(dāng)(2x＋a)(2x－b)≤0時(shí)，等號(hào)成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值為a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.(2)證明：由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝且a＋b＝1，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)．所以log3≥log39＝2，所以a＋b＋log3≥1＋2＝3，即a＋log3≥3－b.方法技巧1．綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵．2．在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的．在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2018·浙江金華模擬)已知x，y∈R.(1)若x，y滿(mǎn)足|x－3y|<，|x＋2y|<，求證：|x|<；(2)求證：x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.證明 (1)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得|x|＝[|2(x－3y)＋3(x＋2y)|]≤[|2(x－3y)|＋|3(x＋2y)|]<＝.(2)因?yàn)閤4＋16y4－(2x3y＋8xy3)＝x4－2x3y＋16y4－8xy3＝x3(x－2y)＋8y3(2y－x)＝(x－2y)(x3－8y3)＝(x－2y)(x－2y)(x2＋2xy＋4y2)＝(x－2y)2[(x＋y)2＋3y2]≥0，∴x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.題型2 分析法證明不等式 設(shè)a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求證：(1)a＋b＋c≥；(2) ＋ ＋ ≥(＋＋)．含根式的不等式考慮分析法．證明 (1)要證a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，因此只需證明(a＋b＋c)2≥3，即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3(ab＋bc＋ac)，即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.因?yàn)閍b＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)，所以原不等式成立．(2) ＋＋＝.在(1)中已證a＋b＋c≥，因此要證原不等式成立，只需證明≥＋＋，即證a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.而a＝≤，b＝≤，c＝≤，所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立)．所以原不等式成立．方法技巧分析法證明不等式的思路用分析法證明不等式時(shí)，分析的過(guò)程是尋求結(jié)論成立的充分條件，而不一定是充要條件，同時(shí)要正確使用“要證”“只需證”這樣的連接“關(guān)鍵詞”．分析法與綜合法常常結(jié)合起來(lái)使用，稱(chēng)為分析綜合法，其實(shí)質(zhì)是既充分利用已知條件，又時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書(shū)寫(xiě)證題過(guò)程．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．若a≥b>0，試證：2a3－b3≥2ab2－a2b.證明 要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即證2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即證(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.2．若m>0，a，b∈R，試證：2≤.證明 因?yàn)閙>0，所以1＋m>0.所以要證原不等式成立，只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證．題型3 反證法證明不等式 (2015·湖南高考)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．否定形式的命題考慮用反證法．證明 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0，得0
