《2021高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學案 理 北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)基本不等式最新考綱1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)2兩個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，當且僅當ab時取等號(2)ab2(a，bR)，當且僅當ab時取等號3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)12(a，b同號)，當
2、且僅當ab時取等號2ab2.3(a0，b0)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個不等式a2b22ab與成立的條件是相同的()(2)若a0，則a3的最小值為2.()(3)函數(shù)f(x)sin x，x(0，)的最小值為4.()(4)x0且y0是2的充要條件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1設x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80B77C81D82Cxy281，當且僅當xy9時，等號成立故選C.2若x0，則x()A有最小值，且最小值為2B有最大值，且最大值為2C有最小值，且最小值為2D有最大值，且最大值為2D因為x0，x22，當且僅當x1時，等號成立，所以x2.
3、3函數(shù)f(x)x(x2)的最小值為_4當x2時，x20，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x2)，即x3時取等號4若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.25設矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y，則另一邊為(202x)(10x)m，則yx(10x)225，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.考點1利用基本不等式求最值配湊法求最值配湊法的實質是代數(shù)式的靈活變形，即將相關代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，通過添項、拆項、湊系數(shù)等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式(如：湊成x(a0)，的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法. (1)(2019大連模擬)
4、已知a，b是正數(shù)，且4a3b6，則a(a3b)的最大值是()ABC3D9(2)函數(shù)y(x1)的最小值為_(3)已知x，則y4x的最小值為_，此時x_.(1)C(2)22(3)7(1)a0，b0,4a3b6，a(a3b)3a(a3b)223，當且僅當3aa3b，即a1，b時，a(a3b)的最大值是3.(2)x1，x10，y(x1)222.當且僅當x1，即x1時，等號成立(3)x，4x50.y4x4x55257.當且僅當4x5，即x時上式“”成立即x時，ymin7.母題探究把本例(3)中的條件“x”，改為“x”，則y4x的最大值為_，此時x_.31因為x0，則y4x525253.當且僅當54x，即
5、x1時，等號成立故y4x的最大值為3.此時x1.(1)本例(1)解答易忽視兩項和為定值的條件，常見的錯誤解法為：a(a3b)2，當且僅當aa3b，且4a3b6，即a，b0時，a(a3b)的最大值為，從而錯選B.(2)應用拆項、添項法求最值時，應注意檢驗基本不等式的前提條件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)常數(shù)代換法求最值常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式(4)利用基本不等式求解最值已知a0，b0，ab1，則的最小值為_4因為ab1，所以(ab)2
6、22224.當且僅當ab時，等號成立母題探究1若本例條件不變，求的最小值解52549.當且僅當ab時，等號成立2若將本例條件改為a2b3，如何求解的最小值解因為a2b3，所以ab1.所以121.當且僅當ab時，等號成立常數(shù)代換法主要解決形如“已知xyt(t為常數(shù))，求的最值”的問題，先將轉化為，再用基本不等式求最值教師備選例題設ab2，b0，則取最小值時，a的值為_2ab2，b0，21，當且僅當時等號成立又ab2，b0，當b2a，a2時，取得最小值(2019深圳福田區(qū)模擬)已知a1，b0，ab2，則的最小值為()A.B.C.32D.A已知a1，b0，ab2，可得(a1)b1，又a10，則(a1
7、)b12.當且僅當，ab2時取等號則的最小值為.故選A.消元法求最值對于含有多個變量的條件最值問題，若直接運用基本不等式無法求最值時，可嘗試減少變量的個數(shù)，即根據(jù)題設條件建立兩個變量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題，即減元(三元化二元，二元化一元)(2019嘉興模擬)已知a0，b0，且2abab1，則a2b的最小值為()A52B8C5D9Aa0，b0，且2abab1，a0，b2，a2b2b2(b2)55252.當且僅當2(b2)，即b2時取等號a2b的最小值為52.故選A.求解本題的關鍵是將等式“2abab1”變形為“a”，然后借助配湊法求最值(2019新余模
8、擬)已知正實數(shù)a，b，c滿足a22ab9b2c0，則當取得最大值時，的最大值為()A3BC1D0C由正實數(shù)a，b，c滿足a22ab9b2c，得，當且僅當，即a3b時，取最大值.又因為a22ab9b2c0，所以此時c12b2，所以1，故最大值為1.利用兩次基本不等式求最值當運用一次基本不等式無法求得代數(shù)式的最值時，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性已知ab0，那么a2的最小值為_4由題意ab0，則ab0，所以b(ab)2，所以a2a224，當且僅當bab且a2，即a，b時取等號，所以a2的最小值為4.由于b(ab
9、)為定值，故可求出b(ab)的最大值，然后再由基本不等式求出題中所給代數(shù)式的最小值若a，bR，ab0，則的最小值為_4因為ab0，所以4ab24，當且僅當時取等號，故的最小值是4.考點2利用基本不等式解決實際問題利用基本不等式解決實際問題的3個注意點(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(L)與速度x(km/h)(50x120)的關系可近似表示為y(1)該型號汽車的速度為多少時，
10、可使得每小時耗油量最少？(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？解(1)當x50,80)時，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以當x65時，y取得最小值，最小值為6759.當x80,120時，函數(shù)y12單調遞減，故當x120時，y取得最小值，最小值為1210.因為910，所以當x65，即該型號汽車的速度為65 km/h時，可使得每小時耗油量最少(2)設總耗油量為l L，由題意可知ly，當x50,80)時，ly16，當且僅當x，即x70時，l取得最小值，最小值為16.當x80,120時，ly2為減函數(shù)，所以當x120
11、時，l取得最小值，最小值為10.因為1016，所以當速度為120 km/h時，總耗油量最少當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調性求解(2019上海模擬)經(jīng)濟訂貨批量模型，是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資在單位時間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過某段時間后，存儲量消耗下降到零，此時開始訂貨并隨即到貨，然后開始下一個存儲周期，該模型適用于整批間隔進貨、不允許缺貨的存儲問題，具體如下：年存儲成本費T(元)關于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關系T(x)，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲費，C為每次訂貨費
12、. 某化工廠需用甲醇作為原料，年需求量為6 000噸，每噸存儲費為120元/年，每次訂貨費為2 500元(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇，求年存儲成本費；(2)每次需訂購多少噸甲醇，可使該化工廠年存儲成本費最少？最少費用為多少？解(1)因為年存儲成本費T(元)關于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關系T(x)，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲費，C為每次訂貨費由題意可得：A6 000，B120，C2 500，所以年存儲成本費T(x)60x，若該化工廠每次訂購300噸甲醇，所以年存儲成本費為T(300)6030068 000.(2)因為年存儲成本費T(x)60x，x0，所以T(x)60x260
13、 000，當且僅當60x，即x500時，取等號所以每次需訂購500噸甲醇，可使該化工廠年存儲成本費最少，最少費用為60 000元考點3基本不等式的綜合應用基本不等式的綜合應用的2類問題(1)與函數(shù)、數(shù)列等知識交匯的最值問題：此類問題常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，以基本不等式為解題工具，求解最值或取值范圍(2)求參數(shù)值或取值范圍：對于此類題目，要觀察題目特點，利用基本不等式確定相關關系式成立的條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍(1)(2019臺州模擬)若兩個正實數(shù)x，y滿足1，且存在這樣的x，y使不等式xm23m有解，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1,4)B(4,1)C(，4)(1，)D(，3)(0，)
14、(2)(2019衡陽一模)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號函數(shù)yx(xR)稱為高斯函數(shù)，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，例如：2.13，3.13.已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)yf(x)的值域是()A0,1B(0,1C(0,1)D1,0,1(3)(2019定遠模擬)已知在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Cccos B，則的最小值為()A.B.C.D.2(1)C(2)A(3)A(1)正實數(shù)x，y滿足1，x2224，當且僅當且1，即x2，y8時取等號，存在x，y使不等式xm23m有解，4m23m，解得m1或m4，故選C.(2)f(x)，2x
15、2，0f(x)1，則函數(shù)yf(x)的值域為0,1，故選A.(3)2bcos Cccos B，2sin Bcos Csin Ccos B，tan C2tan B又ABC，tan Atan(BC)tan(BC)，tan B.又在銳角ABC中，tan B0，tan B2，當且僅當tan B時取等號，min，故選A.條件不等式的最值問題，常通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解在轉化過程中相應知識起到穿針連線的作用1.已知a0，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9B12C18D24B由，得m(a3b)6.又62612(當且僅當，即a3b時等號成立)，m12，m的最大值為12.2兩圓x2y22mym210和x2y24nx4n290恰有一條公切線，若mR，nR，且mn0，則的最小值為()A1B2C3D4D由題意可知兩圓內切，x2y22mym210化為x2(ym)21，x2y24nx4n290化為(x2n)2y29，故312，即4n2m24，(4n2m2)2224.3設等差數(shù)列an的公差是d，其前n項和是Sn(nN)，若a1d1，則的最小值是_ana1(n1)dn，Sn，當且僅當n4時取等號的最小值是.12
2021高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學案 理 北師大版
