2022年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識精講 文 人教版第二冊

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識精講 文 人教版第二冊 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 拋物線的幾何性質(zhì) 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 拋物線的性質(zhì)，焦半徑，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合。 2. 難點(diǎn)： 注意拋物線與橢圓、雙曲線的聯(lián)系。 【典型例題】 [例1] 給定拋物線，設(shè)A（）（），P是拋物線上的一點(diǎn)，且，試求的最小值。 解：設(shè)（）（） 則 ∴ ∵ ， ∴（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)， [例2] 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，設(shè)交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求。 解：當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為 由得A

2、（）、B（，） ∴ 當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為 由得 設(shè)A（）、B（），則 ∴ [例3] 過拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，問直線的傾斜角多大時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？ 解：拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)為（），設(shè)直線MN的方程為 由 得 ∵ 直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn) ∴ 即，， 設(shè)M（，），N（），拋物線焦點(diǎn)為F（1，0） ∵ 以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) ∴ MF⊥NF ∴ 即 又 ，，且、同號 ∴ 解得 ∴ 即直線的傾斜角為或時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。

3、 [例4] 過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求的值。 解：如圖所示，設(shè)A（）、B（），AB的方程為 由得 ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 [例5] 如圖，已知直線：交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使的面積最大，并求這個(gè)最大面積。 解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直線AB的方程為 設(shè)P（）為拋物線AOB這條曲線上一點(diǎn)，為P點(diǎn)到直線AB的距離 ∵ ∴ ∴ 從而當(dāng)時(shí)， 因此，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)， [例6] 已知直線與曲線在第一象限有公共點(diǎn)，求的取值范圍。

4、解：如圖，易知拋物線與軸交于A（0，1）、B（0，3） 直線恒過C（），由圖象及拋物線的延伸趨勢可知 當(dāng)大于零且小于BC的斜率時(shí)滿足題意 而，故。 [例7] 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直徑交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC//軸，證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。 證法一：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（） 所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程為 代入拋物線方程得0 設(shè)A（）、B（），則 ∵ BC//軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線上 ∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 故直線OC的斜率為 即也是OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O 證法二：如圖所示，設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)A作AD⊥

5、，D為垂足 則。連結(jié)AC，與EF相交于N，則 ，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，得， ∴ ∴ 點(diǎn)N是線段EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合 ∴ 直線AC經(jīng)過點(diǎn)O 證法三：設(shè)A（）、B（），由已知C得 直線AC的方程為，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得 利用得上面等式恒成立 ∴ 直線AC經(jīng)過點(diǎn)O 證法四：設(shè)A（）、B（），由已知得C（）， ∴ 又 ∵ O是公共點(diǎn) ∴ A、O、C共線，即AC過點(diǎn)O [例8] 如果拋物線上總有關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，試求的范圍。 方法一：設(shè)拋物線上關(guān)于對稱的相異兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（）、B（） ∵ 兩點(diǎn)都在拋物線上

6、 ∴ （1）－（2），得 ∵ ∴ （3） （3）代入（2），得 ∵ ，且相異 ∴ ∴ ∴ 的取值范圍是（） 方法二：設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)所在直線方程為，代入，得 ∵ ，且兩點(diǎn)為相異兩點(diǎn) ∴ 即 （1） 設(shè)兩對稱點(diǎn)為A（）、B（） 則， 又 ∵ ∴ ，即 （2） （2）代入（1），得 ∴ 的取值范圍是（） 【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘） 一. 選擇題： 1. 等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則的面積是（ ） A. B. C. D

7、. 2. 已知點(diǎn)（）在拋物線上，則的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 3. 已知A、B是拋物線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知點(diǎn)A（），的焦點(diǎn)是F，P是上的點(diǎn)，為使取得最小值，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 5. 拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)是（1，2），則拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為（ ） A. B. C. D. 6

8、. 拋物線的焦點(diǎn)F，點(diǎn)P在拋物線上，若，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. 或 D. 7. 過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（）、B（）兩點(diǎn)，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 過拋物線（）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是、，則的值為（ ） A. B. C. D. 二. 填空： 1. 過拋物線的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為 。 2. 拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)R，過拋物線上一點(diǎn)P

9、（4，4）作PQ⊥于點(diǎn)Q，則梯形PQRF的面積是 。 3. 線段AB是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，且，則線段AB的中點(diǎn)C到直線的距離是 。 4. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，拋物線上點(diǎn)A（）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為 。 三. 解答題： 1. 已知拋物線上有三點(diǎn)A（）、B（）、C（）且，若線段AB、BC在軸上射影之長相等，求證：A、B、C三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離順次成等差數(shù)列。 2. 過拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程 3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線

10、上，且BC∥軸。證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O【試題答案】 一. 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 二. 1. 16 2. 14 3. 4. 或或 三. 1. 證明：根據(jù)題意，得，即、、成等差數(shù)列 又由拋物線的定義得，， ∵ ∴ 、、成等差數(shù)列 2. 解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P（），OA的斜率為，則直線的方程為 由得或依題意得A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（，） ∵ OA⊥OB ∴ OB的斜率為，直線OB的方程為 由得或 ∴ B點(diǎn)的坐標(biāo)為 線段AB的中點(diǎn)P（）滿足即 （2）式平方后減去（1）×3，得為所求。 3. 證明：∵ 拋物線的焦點(diǎn)為F（） ∴ 經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為 代入拋物線方程，得 設(shè)，則是該方程的兩根 ∴ ∵ BC//軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線上 ∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（） ∴ 直線OC的斜率為 即也是直線OA的斜率 ∴ 直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O