2021高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及其應用 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1 函數(shù)與導數(shù)教學案 文 北師大版

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1、突破疑難點1構造函數(shù)證明不等式(對應學生用書第54頁)構造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構造與之相關的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明常見的構造方法有：(1)直接構造法：證明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)轉化為證明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進而構造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)；(2)適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮，二是利用常見的放縮結論，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)，ln(x1)x(x1)；(3)構造“形似”函數(shù)：稍作變形再構造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉化為左、右

2、兩邊是相同結構的式子的形式，根據(jù)“相同結構”構造輔助函數(shù)；(4)構造雙函數(shù)：若直接構造函數(shù)求導難以判斷符號，導函數(shù)零點也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點都不易獲得，則可構造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解方法高考示例思維過程直接構造法(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明：a2.(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2ax10(函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0)，所以x1x21.不妨設x1x2，則x21(注意原函數(shù)的定義域).由于1a2a2a，所以a2

3、等價于x22ln x20.【關鍵1：將所證不等式進行變形與化簡】設函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)單調(diào)遞減，【關鍵2：直接構造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性】又g(1)0，從而當x(1，)時，g(x)0，所以x22ln x20，即a2.【關鍵3：結合單調(diào)性得到函數(shù)最值，證明不等式】適當放縮構造法(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)aexln x1.(1)設x2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當a時，f(x)0.(2)證明：當a時，f(x)ln x1.【關鍵1：利用不等式性質(zhì)放縮，將a代換掉】設g(x)ln x1，【關鍵2：利用不等式右邊構造函數(shù)】則g(

4、x).當0x1時，g(x)0；當x1時，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值點【關鍵3：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值】故當x0時，g(x)g(1)0.【關鍵4：利用函數(shù)最值使放縮后的不等式得到證明】因此，當a時，f(x)0.構造雙函數(shù)法(2014全國卷)設函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)1等價于xln xxex.【關鍵1：將所證不等式等價轉化，為構造雙函數(shù)創(chuàng)造條件】設函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當x0，時，g

5、(x)0；當x，時，g(x)0.故g(x)在0，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.【關鍵2：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最小值】設函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當x(0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).【關鍵3：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值】因為g(x)mingh(1)h(x)max，所以當x0時，g(x)h(x)，即f(x)1.【關鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】突破疑難點2利用分類討論法確定參數(shù)取值范圍(

6、對應學生用書第55頁)一般地，若af(x)對xD恒成立，則只需af(x)max；若af(x)對xD恒成立，則只需af(x)min.若存在x0D，使af(x0)成立，則只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)成立，則只需af(x0)max.由此構造不等式，求解參數(shù)的取值范圍常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結合導函數(shù)零點之間大小關系的決定條件，確定分類討論的標準，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，得到最值，構造不等式求解；另外一種，直接通過導函數(shù)的式子，看出導函數(shù)值正負的分類標準，通常導函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)方法高考示例思維過程結合導函數(shù)的零點分類討論(2017全國卷)已知函數(shù)f(

7、x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，m，求m的最小值.(1)f(x)的定義域為(0，)(求函數(shù)定義域).若a0，因為faln 20，所以不滿足題意【關鍵1：利用原函數(shù)解析式的特點確定分類標準】若a0，由f(x)1知，當x(0，a)時，f(x)0；當x(a，)時，f(x)0.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增【關鍵2：根據(jù)導函數(shù)的零點分類討論】故xa是f(x)在(0，)上的唯一最小值點.由于f(1)0，所以當且僅當a1時，f(x)0，故a1.(2015全國卷)設函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)上單

8、調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.(2)由(1)知，對任意的m，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是即【關鍵1：利用充要條件把不等式恒成立等價轉化】設函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1.【關鍵2：直接構造函數(shù)，并求導】當t0時，g(t)0；當t0時，g(t)0.故g(t)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增又g(1)0，g(1)e12e0，故當t1,1時，g(t)0.【關鍵3：根據(jù)導函數(shù)的零點分

9、類討論】故當m1,1時，g(m)0，g(m)0，即式成立；當m1時，由g(t)的單調(diào)性，知g(m)0，即emme1；當m1時，g(m)0，即emme1.【關鍵4：通過分類討論得到參數(shù)的取值范圍】綜上，m的取值范圍是1,1.由導函數(shù)的特點直接分類討論(2014全國卷)函數(shù)f(x)ax33x23x(a0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍.(2)當a0，x0時，f(x)3ax26x30.【關鍵1：函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)的特點確定分類標準】故當a0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù).當a0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當且僅當f(1)0且f(

10、2)0，解得a0.【關鍵2：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合需滿足的條件，求解關于參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值范圍】綜上，a的取值范圍是(0，).突破疑難點3兩法破解函數(shù)零點個數(shù)問題(對應學生用書第56頁)兩類零點問題的不同處理方法：利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖像在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0.直接法：判斷一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)f(b)0；分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結合單調(diào)性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)f(b)0.方法高考示例思維過程直接法(2017全國卷)已知函數(shù)f(x)ax2axx

11、ln x，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e2f(x0)22.(2)證明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.設h(x)2x2ln x，則h(x)2.當x時，h(x)0；當x時，h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【關鍵1：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】又h(e2)0，h0，h(1)0，所以h(x)在上有唯一零點x0，在上有唯一零點1，【關鍵2：利用零點存在性定理判斷導函數(shù)零點的位置】且當x(0，x0)時，h(x)0；當x(x0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0.因為f(x)h(x)，所以xx0是

12、f(x)的唯一極大值點由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0).【關鍵3：求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】因為xx0是f(x)在(0,1)上的最大值點，由e1(0,1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2，所以e2f(x0)22.【關鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】分類討論法(2015全國卷)已知函數(shù)f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)當a為何值時，x軸為曲線yf(x)的切線；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，設函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x0)，討論h(x)零點的個數(shù).(2)當x(1，)時，g(x)ln x0，從而h(

13、x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上無零點【關鍵1：對x的取值分類討論，適當放縮，判斷h(x)的符號，確定函數(shù)零點個數(shù)】當x1時，若a，則f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零點；若a，則f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，故x1不是h(x)的零點【關鍵2：當x的取值固定時，對參數(shù)a的取值分類討論，確定函數(shù)值的符號得到零點個數(shù)】當x(0,1)時，g(x)ln x0，所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點個數(shù).()若a3或a0，則f(x)3x2a在(0,1)上無零點，故f(x)在(0,1)上單調(diào)而f(0)，f

14、(1)a，所以當a3時，f(x)在(0,1)上有一個零點；當a0時， f(x)在(0,1)上沒有零點.()若3a0，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在(0,1)上，當x時，f(x)取得最小值，最小值為f.若f0，即a0，則f(x)在(0,1)上無零點；若f0，即a，則f(x)在(0,1)上有唯一零點；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以當a時，f(x)在(0,1)上有兩個零點；當3a時，f(x)在(0,1)上有一個零點【關鍵3：當x的取值固定在一個范圍內(nèi)時，對參數(shù)a的取值分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性、最值、零點存在性定理得到零點個數(shù)】綜上，當a或a時，h(x)有一個零點；當a或a

15、時，h(x)有兩個零點；當a時，h(x)有三個零點.突破疑難點4兩法破解由零點個數(shù)確定參數(shù)問題(對應學生用書第57頁)已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍方法高考示例思維

16、過程由導數(shù)特點分類討論(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.(2)設函數(shù)h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一個零點當且僅當h(x)在(0，)只有一個零點【關鍵1：構造函數(shù)h(x)，將f(x)的零點情況轉化為h(x)的零點情況】()當a0時，h(x)0，h(x)沒有零點.()當a0時，h(x)ax(x2)ex.【關鍵2：對參數(shù)a分類討論，結合函數(shù)值判斷函數(shù)零點情況】當x(0,2)時，h(x)0；當x(2，)時，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增故h(2)1是

17、h(x)在(0，)的最小值【關鍵3：分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值】若h(2)0，即a，h(x)在(0，)沒有零點；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一個零點；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一個零點.由(1)知，當x0時，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2,4a)有一個零點因此h(x)在(0，)有兩個零點【關鍵4：對函數(shù)最小值的符號分類討論，結合函數(shù)單調(diào)性判斷零點情況，求出參數(shù)值】綜上，f(x)在(0，)只有一個零點時，a.直接分類討論(2017全國卷)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(

18、2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一個零點【關鍵1：針對f(x)解析式的特點，可對參數(shù)a直接分類討論】()若a0，由(1)知，當xln a時，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a【關鍵2：結合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，進而根據(jù)最小值直接判斷零點的情況】當a1時，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個零點；當a(1，)時，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)沒有零點；當a(0,1)時，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一個零點.設正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)上有一個零點【關鍵3：對參數(shù)a分類討論，結合函數(shù)單調(diào)性與最小值判斷函數(shù)零點情況，求參數(shù)取值范圍】綜上，a的取值范圍為(0,1).- 9 -