2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合、常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合、常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理 1．函數(shù)． (1)函數(shù)的概念． 函數(shù)實(shí)質(zhì)上是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個(gè)特殊映射，記作y＝f(x)，x∈A，其中x的取值范圍A叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，f(x)的集合C叫函數(shù)的值域，B與C的關(guān)系是C?B，我們將f，A，C叫做函數(shù)的三要素，但要注意，函數(shù)定義中A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，而映射中兩個(gè)集合A，B是任意的非空集合． (2)函數(shù)的表示方法． 函數(shù)表示方法有圖象法、列表法、解析法． 2．映射． 映射A→B中兩集合的元素的關(guān)系是一對(duì)一或多對(duì)一，但不可一對(duì)多，且集

2、合B中元素可以沒有對(duì)應(yīng)元素，但A中元素在B中必須有唯一確定的對(duì)應(yīng)元素． 1．函數(shù)的單調(diào)性與最值． (1)單調(diào)性． 對(duì)于定義域內(nèi)某一區(qū)間D內(nèi)任意的x1，x2且x1＜x2(或Δx＝x1－x2＜0)： ①若f(x1)＜f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＜0]恒成立，則f(x)在D上單調(diào)遞增； ②若f(x1)＞f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＞0]恒成立，則f(x)在D上單調(diào)遞減． (2)最值． 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮： ①如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)任意的x∈I，都有f(x)≤M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最

3、大值； ②如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)任意x∈I，都有f(x)≥M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值． 2．函數(shù)的奇偶性． (1)定義． 對(duì)于定義域內(nèi)的任意x有： ①f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù)； ②f(－x)＝f(x)?f(x)為偶函數(shù)． (2)性質(zhì)． ①函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)?y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)?y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． ②奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，且在x＝0處有定義時(shí)必有f(0)＝0，即f(x)的圖象過原點(diǎn)． ③偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)

4、間上的單調(diào)性相反． 3．周期性． (1)定義． 對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)性質(zhì)． 如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期，則： ①kT(k≠0，k∈Z)也是y＝f(x)的周期； ②若已知區(qū)間[m，n](m＜n)上的圖象，則可畫出區(qū)間[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的圖象． 1．基本初等函數(shù)的圖象． 基本初等函數(shù)包括：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)．對(duì)于這些函數(shù)的圖象應(yīng)非常清楚．

5、 2．函數(shù)圖象的畫法． (1)描點(diǎn)法作圖． 通過列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟畫出函數(shù)的圖象． (2)圖象變換法作圖． ①平移變換． a．y＝f(x)的圖象向左平移a(a＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)a.y＝f(x＋a)的圖象． b．y＝f(x－b)(b＞0)的圖象可由y＝f(x)的圖象向b.右平移b個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 對(duì)于左、右平移變換，往往容易出錯(cuò)，在實(shí)際判斷中可熟記口訣：左加右減． 而對(duì)于上、下平移變換，相比較則容易掌握，原則是：上加下減，但要注意的是加、減指的是在f(x)整體上． ②對(duì)稱變換(在f(－x)有意義的前提下)． a．y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象a.關(guān)于y軸對(duì)稱；

6、 b．y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象b.關(guān)于x軸對(duì)稱； c．y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象c.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； d．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分d.關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180°，其余部分不變； e．y＝f(|x|)的圖象，可先作出y＝f(x)當(dāng)x≥0時(shí)的圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，作出e.y＝f(x)(x＜0)的圖象． ③伸縮變換． a．y＝Af(x)(A＞0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的③a.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到； b．y＝f(ax)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的b.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，

7、縱坐標(biāo)不變而得到． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)． (1)f(x)＝與g(x)＝x是同一個(gè)函數(shù)．(×) (2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等．(×) (3)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|1≤x<3}，則函數(shù)f(2x－1)的定義域?yàn)閧x|1≤x<5}．(×) (4)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) (5)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)．(√

8、) (6)函數(shù)y＝|x|是R上的增函數(shù)．(×) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列說法中，不正確的是(B) A．函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)都有定義域中的至少一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng) B．函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合 C．定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了 D．若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素 2．(xx·北京卷)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 解析：令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1

9、)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖． 由得 ∴ 結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}． 3．函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如下圖所示，下列說法正確的是(C) ①函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＝－f(x)； ②函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(－x)； ③函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＝f(x)； ④函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 解析：由圖象可看出，f(x)為周期為4的奇函數(shù)，∴①②正確．故選C. 4．(xx·安徽卷)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所

10、示，則下列結(jié)論成立的是(A) A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0，d＜0 解析：根據(jù)函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)先增再減，再增，且極值點(diǎn)都大于0，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上． 解法一：由圖象知f(0)＝d>0.因?yàn)閒′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以a>0，－＝－>0，所以b<0.又f′(0)＝c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>0. 解法二：由圖象知f(0)＝d＞0，首先排除選項(xiàng)D；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－x1)(x－

11、x2)＝3ax2－3a(x1＋x2)x＋3ax1x2，令x1＜x2，因?yàn)閤∈(－∞，x1)時(shí)，f′(x)＞0，所以a＞0，排除C；又c＝3ax1x2＞0，2b＝－3a(x1＋x2)＜0，所以c＞0，b＜0，故選A. 一、選擇題 1．(xx·北京卷)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(B) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：因?yàn)閥＝x2是偶函數(shù)，y＝sin x是奇函數(shù)，y＝cos x是偶函數(shù)，所以A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)中函數(shù)圖象是把對(duì)數(shù)函數(shù)y＝ln x的圖象在x軸下方部

12、分翻折到x軸上方，其余部分的圖象保持不變，故為非奇非偶函數(shù)；D選項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)y＝，是非奇非偶函數(shù)． 2．函數(shù)f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(B) A．3 B．0 C．－1 D．－2 解析：∵f(a)＝2?a3＋sin a＋1＝2， ∴a3＋sin a＝1. ∴f(－a)＝－a3＋sin(－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0. 3．(xx·陜西卷)設(shè)f(x)＝則f(f(－2))＝(C) A．－1 B. C. D. 解析：因?yàn)椋?＜0，所以f(－2)＝2－2＝＞0，所以f＝1－ ＝1－＝. 4．函數(shù)y＝ln

13、(＋1)(x＞－1)的反函數(shù)是(D) A．y＝(1－ex)3(x＞－1) B．y＝(ex－1)3(x＞－1) C．y＝(1－ex)3(x∈R) D．y＝(ex－1)3(x∈R) 解析：由已知函數(shù)可得＋1＝ey(y∈R)，即＝ey－1，所以x＝(ey－1)3，x，y對(duì)調(diào)即得原函數(shù)的反函數(shù)為y＝(ex－1)3(x∈R)．故選D. 5．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ 則f(－2)＋f(log212)＝(C) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：∵ －2<1， ∴ f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵ log212>1，∴ f(lo

14、g212)＝2log212－1＝＝6. ∴ f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C. 6．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為(B) 解析：當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f(x)＝tan x＋，圖象不會(huì)是直線段，從而排除A，C. 當(dāng)x∈[，]時(shí)，f()＝f()＝1＋，f()＝2.∵ 2＜1＋，∴ f()＜f()＝f()，從而排除D，故選B. 二、填空題 7．若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在

15、[0，2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝． 解析：f＋f＝f＋f ＝f＋f ＝f＋f ＝f＋f ＝－f－f ＝－×－sin π ＝－＋＝. 8．(xx·福建卷)若函數(shù)f(x)＝2|x－a|(a∈R)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于1． 解析：因?yàn)閒(x)＝2|x－a|，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故a＝1，且f(x)的增區(qū)間是[1，＋∞)，由函數(shù)f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，知[m，＋∞)?[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值為1. 三、

16、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù)； 當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)解法一　設(shè)x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0. 要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需f(x1)－f(x2)＜0， 即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，則a≤16. 故

17、a的取值范圍是(－∞，16]． 解法二　f′(x)＝2x－，要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需當(dāng)x≥2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，則a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故當(dāng)a≤16時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．故a的取值范圍是(－∞，16]． 10．f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)證明：f(x)是奇函數(shù)； (2)證明：f(x)在R上是減函數(shù)； (3)求f(x)在區(qū)間[－3，3]上的最大值和最小值． 解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f(

18、x＋y)＝f(x)＋f(y)， 得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)， ∴f(x)＋f(－x)＝f(0)． 又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.從而有f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)． ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. ∴f(x2－x1)＜0. ∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，從而f(x)在R上是減函數(shù)

19、． (3)由于f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得 f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6， f(－3)＝－f(3)＝6.從而f(x)在區(qū)間[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6. 11．已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性． (2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解析：(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函數(shù)， y＝－是增函數(shù)，∴f(x)是增函數(shù)． ∵f(x)的定義域?yàn)镽， 且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)， 由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)x∈R恒成立， 則f(x－t)≥f(t2－x2)． ∴t2－x2≤x－t?x2＋x≥t2＋t對(duì)x∈R恒成立?≤min對(duì)一切x∈R恒成立?≤0?t＝－. 即存在實(shí)數(shù)t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x都成立．