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1、2022年高考數學復習 專題02 函數與導數 函數的奇偶性與周期性易錯點
主標題：函數的奇偶性與周期性易錯點
副標題：從考點分析函數的奇偶性與周期性易錯點，為學生備考提供簡潔有效的備考策略。
關鍵詞：函數，奇偶性，周期性，易錯點
難度：3
重要程度：5
內容：
【易錯點】
1．對奇偶函數的認識及應用
(1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．(×)
(2)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(×)
(3)(教材習題改編)如果函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數．(√)
(4)若函數y＝f(x＋a)是偶
2、函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(√)
(5)已知函數f(x)為奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝－2.(√)
(6)已知函數y＝f(x)是定義在R上的偶函數，且在(－∞，0)上是減函數，若f(a)≥f(2)，則實數a的取值范圍是[－2,2]．(×)
2．對函數周期性的理解
(7)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數．(√)
(8)若y＝f(x)既是周期函數，又是奇函數，則其導函數y＝f′(x)既是周期函數又是奇函數．(×)
[剖析]
1．兩個防范 一是判斷函數的奇偶性之前務必先考查函數的定
3、義域是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數一定是非奇非偶函數，如(1)；
二是若函數f(x)是奇函數，則f(0)不一定存在；若函數f(x)的定義域包含0，則必有f(0)＝0，如(2)．
2．三個結論 一是若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱；若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱，如(4)；
二是若對任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是以2a為周期的函數；若對任意x∈D都有f(x＋a)＝±(f(x)≠0)，則f(x)也是以2a為周期的函數，如(7)；
三是若函數f(x)既是周期函數，又是奇函數，則其導函數y＝f′(x)既是周期函數又是偶函數，如(8)中因為y＝f(x)是周期函數，設其周期為T，則有f(x＋T)＝f(x)，兩邊求導，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以導函數是周期函數，又因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，兩邊求導，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以導函數是偶函數.
2022年高考數學復習 專題02 函數與導數 函數的奇偶性與周期性易錯點
