2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定一、角的有關(guān)概念1從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角2從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角3若與是終邊相同的角，則用表示為2k(kZ)二、弧度與角度的互化11弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角2角的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|.3角度與弧度的換算1rad；1 rad.4弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為(rad)，半徑為r，則lr，扇形的面積為Slrr2

2、.角度制與弧度制不可混用角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用三、任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .2幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(為正)即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正1給出下列四個(gè)命題：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確的命題有

3、()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【解析】中是第三象限角，故錯(cuò)誤中，從而是第三象限角正確中40036040，從而正確中31536045，從而正確【答案】C2已知角的終邊過點(diǎn)P(1,2)，則sin ()A. B. C D【解析】由三角函數(shù)的定義可知，sin .【答案】B3若sin 0且tan 0，則是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由sin 0，得在第三、四象限或y軸非正半軸上，又tan 0，在第三象限【答案】C4弧長(zhǎng)為3，圓心角為135的扇形半徑為_，面積為_【解析】l3，135，r4，Slr346.【答案】465(xx江西高考)下列函數(shù)中，與函數(shù)y定義域相同的函數(shù)為

4、()Ay ByCyxex Dy【解析】函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x0，選項(xiàng)A中由sin x0xk，kZ，故A不對(duì)；選項(xiàng)B中x0，故B不對(duì)；選項(xiàng)C中，xR，故C不對(duì)；選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閤|x0，故選D.【答案】D6(2011江西高考)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.【解析】由三角函數(shù)的定義，sin ，又sin 0，y0且，解之得y8.【答案】8考向一 047角的集合表示及象限角的判定(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，求所在的象限【思路點(diǎn)撥】(1)角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求

5、解(2)把寫成集合的形式，從而的集合形式也確定【嘗試解答】(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，角的集合為，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，角的集合為，故所求角的集合為.(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，2n2n，是第二象限角，當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，2n2n，是第四象限角，綜上知，當(dāng)是第三象限角時(shí)，是第二或第四象限角規(guī)律方法11.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2k(02)(kZ)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷.2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若k1

6、8045(kZ)，則在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限【解析】當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，n36045，所以在第一象限當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，n360225，所以在第三象限綜上可知，在第一或第三象限【答案】A考向二 048扇形的弧長(zhǎng)及面積公式已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積【思路點(diǎn)撥】(1)可直接用弧長(zhǎng)公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧長(zhǎng)或半徑表示出扇形面積，然后確定其最大值時(shí)的半徑和弧

7、長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓心角；(3)利用S弓S扇S，這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積【嘗試解答】(1)l10(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l10，2 rad.(3)設(shè)弓形面積為S弓由題知lcm，S弓S扇S222sin (cm2)規(guī)律方法21.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.2.本題把求扇形面積最大值的問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，這是解決此類問題的常用方法.3.在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要注意合理地利用圓心角所在的三角形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知半徑為10的圓O中

8、，弦AB的長(zhǎng)為10，(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大??；(2)求所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.【解】(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB為等邊三角形因此弦AB所對(duì)的圓心角.(2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，得lR10，S扇形RlR2.又SAOBOAOBsin 25.弓形的面積SS扇形SAOB50.考向三 049三角函數(shù)的定義(1)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m，3)，且cos ，則m等于()AB.C4D4(2)已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【思路點(diǎn)撥】(1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解(2)在直線上設(shè)一點(diǎn)P(4t，3t)，求出點(diǎn)P到

9、原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi)，所以需分類討論【嘗試解答】(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離|OP|，cos ，m4.【答案】C(2)在直線3x4y0上任取一點(diǎn)P(4t，3t)(t0)，則x4t，y3t，r|PO|5|t|，當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，當(dāng)t0時(shí)，sin ，cos ，tan .當(dāng)t0時(shí)，sin ，cos ，tan .規(guī)律方法3定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)

10、出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)90180，角的終邊上一點(diǎn)為P(x，)，且cos x，求4sin 3tan 的值【解】r，cos ，從而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.則r2，sin ，tan .故4sin 3tan .易錯(cuò)易誤之六|a|a三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類討論1個(gè)示范例 1個(gè)防錯(cuò)練(xx臨沂模擬)已知角的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a0)，則sin _.【解析】x3a，y4a，r5|a|.此處在求解時(shí)，常犯r5a的錯(cuò)誤，出錯(cuò)的原因在于去絕對(duì)值時(shí)，沒有對(duì)a進(jìn)行討論.(1)當(dāng)a0時(shí)，r5a，sin .(2)當(dāng)a0時(shí)，r5a，sin sin .【防范措施】1.對(duì)于|a|，在去掉絕對(duì)值號(hào)后，應(yīng)分a0和a0兩種情況討論.2.已知角終邊上任意一點(diǎn)p(x，y)，求三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)用sin ，cos ，tan 求解.已知角的終邊落在直線y2x上，則sin cos _.【解析】在角的終邊上任取一點(diǎn)P(t,2t)(t0)，則r|OP|t|(1)若t0，則sin ，cos ，sin cos .(2)若t0，則sin ，cos ，sin cos .綜上所述，sin cos .【答案】