2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第5節(jié) 橢圓 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第5節(jié) 橢圓 理（含解析）1（xx安徽，5分）若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0bb0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點當(dāng)OPQ的面積最大時，求l的方程解：(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0，即k2時，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的

2、距離d.所以O(shè)PQ的面積SOPQd|PQ|.設(shè) t，則t0，SOPQ.因為t4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時等號成立，且滿足0.所以，當(dāng)OPQ的面積最大時，l的方程為yx2或yx2.4（xx江蘇，14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(ab0)的左、右焦點，頂點B的坐標(biāo)為(0，b)，連結(jié)BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)F1C.(1)若點C的坐標(biāo)為，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值解：設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(c，0)，F(xiàn)2(c,0)(1)因為B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因為點C在橢圓上，所以1.解

3、得b21.故所求橢圓的方程為y21.(2)因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，所以直線AB的方程為1.解方程組得或所以點A的坐標(biāo)為.又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標(biāo)為.因為直線F1C的斜率為，直線AB的斜率為，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e.5（xx福建，14分）設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A5 B.C7 D6解析：選D設(shè)圓的圓心為C，則C(0,6)，半徑為r，點C到橢圓上的點Q(cos ，sin )的距離|CQ|5，當(dāng)且僅當(dāng)sin 時取等號，所以|PQ|CQ|r56，即P，

4、Q兩點間的最大距離是6，故選D.6（xx江西，14分）過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程相減得0，根據(jù)題意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得，所以e.答案：.7（xx天津，14分）設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B.已知|AB|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相

5、切求直線的斜率解析：(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標(biāo)為(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則.所以橢圓的離心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故橢圓方程為1.設(shè)P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因為點P在橢圓上，故1.由和可得3x4cx00.而點P不是橢圓的頂點，故x0c，代入得y0，則點P的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1c，y1c，進(jìn)而圓的半徑rc.設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx.由l與圓相切，可得r，即c，整理

6、得k28k10，解得k4.所以直線l的斜率為4或4.8（xx新課標(biāo)全國，5分）已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、斜率公式、焦點弦和中點弦問題，意在考查考生通過解方程組求解弦的中點的能力運用兩點式得到直線的方程，代入橢圓方程，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系得到a，b之間的關(guān)系，并由a，b，c之間的關(guān)系確定橢圓方程因為直線AB過點F(3,0)和點(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點的橫

7、坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選擇D.答案：D9（xx廣東，5分）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運算求解能力依題意，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：D10（xx新課標(biāo)全國，5分）設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為()A.B.C. D.解析：本題主要考查橢圓離心率的計算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)

8、等知識，意在考查考生的運算求解能力法一：由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e.法二：由PF2F1F2可知P點的橫坐標(biāo)為c，將xc代入橢圓方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：D11（xx遼寧，5分）已知橢圓C：1(ab0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識，

9、意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力由余弦定理得，|AF|6，所以2a6814，又2c10，所以e.答案：B12（xx四川，5分）從橢圓1(ab0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.解析：本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想由已知，點P(c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.ABOP，kABkOP，即，則bc，a2b2c22c2，則，即該橢圓的離心率是.答案：C13（xx天津，13分）設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點為F

10、，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點若8，求k的值解：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運算等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查考生的運算求解能力以及運用方程思想解決問題的能力(1)設(shè)F(c,0)，由，知ac.過點F且與x軸垂直的直線的方程為xc，代入橢圓方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，從而a，c1，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)，由方程組消

11、去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2，x1x2.因為A(，0)，B(，0)所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.14（xx山東，5分）已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：因為橢圓的離心率為，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.雙曲線的漸近線

12、方程為yx，代入橢圓方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標(biāo)為(b，b)，所以四邊形的面積為4 b bb216，所以b25，所以橢圓方程為1.答案：D15（xx新課標(biāo)全國，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A. B.C. D.解析：由題意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.答案：C16（2011浙江，5分）已知橢圓C1：1(ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，

13、B兩點若C1恰好將線段AB三等分，則()Aa2Ba213Cb2 Db22解析：對于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如圖所示，設(shè)直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點)，則|OC|，因tanCOx2，sinCOx，cosCOx，則C的坐標(biāo)為(，)，代入橢圓方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C17（2011新課標(biāo)全國，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_解析：根據(jù)橢圓焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為1(ab0)，e，.根據(jù)ABF2的周長為16得4a16，因此a4，b2，

14、所以橢圓方程為1.答案：118（xx陜西，13分）已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)法一：A，B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1

15、，故直線AB的方程為yx或yx.法二：A，B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.19(xx天津，12分)已知橢圓1(ab0)的離心率e，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標(biāo)為(a,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且4，求y0的值解：(1)由e，得3a

16、24c2，再由c2a2b2，得a2b.由題意可知2a2b4，即ab2.解方程組得a2，b1.所以橢圓的方程為y21.(2)由(1)可知A(2,0)，設(shè)B點的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x2)于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，從而y1.設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標(biāo)為(，)以下分兩種情況：當(dāng)k0時，點B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.當(dāng)k0時，線段AB的垂直平分線的方程為y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k，所以y0.綜上，y02或y0.