2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 文 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 空間幾何體的三視圖 1.若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是(　B　) 解析:由題意知,選項A,C中所給的幾何體的正視圖、俯視圖不符合要求,選項D中所給幾何體的側(cè)視圖不符合要求.故選B. 2.(xx福建卷)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是(　A　) (A)圓柱 (B)圓錐 (C)四面體 (D)三棱柱 解析:圓柱的正視圖是矩形或圓,不可能是三角形,則該幾何體不可能是圓柱.故選A. 3.(xx湖北卷)在如圖所

2、示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號為①②③④的四個圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　D　) (A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和② 解析:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出棱長為2的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.故選D. 4.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個視圖都是直角三角形,則在該三棱錐的四個面中,直角三角形的個數(shù)為(　D　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由題意可知,幾何體

3、是三棱錐,其放置在長方體中形狀如圖中三棱錐ABCD,利用長方體模型可知,此三棱錐的四個面,全部是直角三角形.故選D. 空間幾何體的表面積與體積 5.(xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有(　B　) (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 解析:設(shè)圓錐底面半徑為

4、r, 因為米堆底部弧長為8尺, 所以r=8,r=≈(尺), 所以米堆的體積為 V=××π×()2×5≈(立方尺), 又1斛米的體積約為1.62立方尺, 所以該米堆有÷1.62≈22(斛),選B. 6.(xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:由三視圖可知,該幾何體是一個正方體截去了一個三棱錐,即截去了正方體的一個角.設(shè)正方體的棱長為1,則正方體的體積為1,截去的三棱錐的體積為V1=××1×1×1=,故剩余部分的體積為V2=, 所求比值為=. 7.(

5、xx河北滄州質(zhì)檢)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為,則其俯視圖的面積為(　B　) (A)π+2 (B)2π+4 (C)2π+6 (D)π+4 解析:三視圖所對應(yīng)的空間幾何體為一半圓錐拼接一三棱錐, 因為V=××πa2×4+××2a×a×4 =a2(π+2) =, 所以a2=4, 所以俯視圖的面積為πa2+·2a·a=2π+4,故選B. 8.(xx大慶市二檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　A　) (A)32+4π (B)24+4π (C)12+ (D)24+ 解析:該幾何體為長方體與球的組

6、合體,其中長方體的棱長分別為2,2,3,球的半徑為1,故其表面積為2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故選A. 多面體與球的切接問題 9.(xx東北三校聯(lián)合二模)一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖為等腰直角三角形,正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,則此三棱錐外接球的表面積為(　B　) (A)16π (B)9π (C)4π (D)π 解析:由三視圖可知立體圖形如圖所示. 由三視圖知頂點A在底面BCD上的射影E為BD中點,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2, 設(shè)O為外接球球心,AO=R,OE=2-R, 則AB==, 在Rt△B

7、OE中R2=(2-R)2+()2,得R=, 因為S=4πR2, 所以此三棱錐外接球的表面積為9π. 10.(xx甘肅蘭州第二次監(jiān)測)已知長方體ABCDA1B1C1D1的各個頂點都在球O的球面上,若球O的表面積為16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,則球心O到平面ABCD的距離為(　B　) (A)1 (B) (C) (D)2 解析:設(shè)外接球O的半徑為R,則4πR2=16π, 所以R=2, 由題意知長方體的對角線為球的直徑, 又AB∶AD∶AA1=∶1∶2, 設(shè)AD=x,AB=x,AA1=2x, 則x2+(x)2+(2x)2=42, 解得x=, 球心O到平面ABCD的距離

8、為AA1=x=,選B. 11.(xx江西上饒三模)從點P 出發(fā)的三條射線PA,PB,PC兩兩成60°角,且分別與球O相切于A,B,C三點,若OP=,則球的體積為(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:設(shè)OP交平面ABC于O′, 由題得△ABC和△PAB為正三角形, 所以O(shè)′A=AB=AP, 因為AO′⊥PO,OA⊥PA, 所以=,=,=, 所以O(shè)A==×=1, 即球的半徑為1, 所以其體積為π×13=π.選C. 12.(xx東北三校第一次聯(lián)合模擬)三棱柱ABCA1B1C1各頂點都在一個球面上,側(cè)棱與底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,則

9、這個球的表面積為　　　　.? 解析:在△ABC中,∠ACB=120°, CA=CB=2, 由余弦定理可得AB=6, 由正弦定理可得△ABC外接圓半徑r=2, 設(shè)此圓圓心為O′,球心為O, 在Rt△OAO′中,球半徑R==4, 故球的表面積為S=4πR2=64π. 答案:64π 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 一、選擇題 1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是(　D　) 解析:根據(jù)幾何體的三視圖知識求解. 由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,且上部是一個矩形,矩形中間無實線和虛線,因此俯視圖不可能是選項D. 2.(xx河

10、南模擬)如圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,且其體積為,則該幾何體的俯視圖可以是(　D　) 解析:根據(jù)正視圖與側(cè)視圖的形狀和幾何體的體積是, 知底面積是, 所以底面是一個半徑為1的四分之一圓,故選D. 3.(xx河南六市第二次聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,其中側(cè)視圖是一個邊長為2的正三角形,則這個幾何體的體積是(　B　) (A)2 cm3 (B) cm3 (C)3 cm3 (D)3 cm3 解析:由三視圖可知幾何體如圖所示, 其側(cè)面PCB與底面垂直,且△PCB為邊長為2的正三角形, 底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,

11、所以四棱錐的體積為V=××(1+2)×2××2=. 4.(xx赤峰模擬)已知三棱錐的直觀圖及其俯視圖與側(cè)視圖如圖,俯視圖是邊長為2的正三角形,側(cè)視圖是一直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖面積為(　B　) (A) (B)2 (C)4 (D) 解析:三棱錐的正視圖如圖所示, 所以該三棱錐的正視圖面積=×2×2=2. 故選B. 5.(xx太原市高三模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是扇形,則該幾何體的體積為(　B　) (A)4π (B)2π (C) (D) 解析:由正視圖可知該幾何體的高為H=3,其俯視圖如圖, OA=OB=2,AC=,AC⊥OB

12、, 所以∠AOB=,弧AB的長為, 所以扇形面積為S=×2×=, 所以幾何體的體積為V=3×=2π. 選B. 6.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　B　) (A)6+ (B)7+ (C)8+ (D)7+2 解析:由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形(梯形上底長為1,下底長為2,高為1),高為1的直棱柱,故其表面積為 1×1×2+×(1+2)×1×2+1×2+1×=7+. 故選B. 7.(xx黑龍江高三模擬)一個四面體的頂點都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都如圖所示.圖中圓內(nèi)有一個以圓心為中心邊長為1的正方形.則這個四面體的外接球的表面積是(　B

13、　) (A)π (B)3π (C)4π (D)6π 解析:由三視圖可知,該四面體是正方體的一個內(nèi)接正四面體,且正方體的棱長為1,所以內(nèi)接正方體的對角線長為,即球的直徑為,所以球的表面積為S=4π×()2=3π,故選B. 8.(xx遼寧沈陽高三一模)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱的長都為3,頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　B　) (A)9π (B)21π (C)33π (D)45π 解析:如圖,因為所有棱的長都為3, 所以O(shè)O1=, OA即為其外接球的半徑R, 又AO1=××3=, 所以R2=O+A=()2+()2=, 所以S球=4πR2=21π.

14、 故選B. 9.(xx河南六市聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積是(　D　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由三視圖可知,該幾何體的直觀圖如圖所示, 四邊形ABCD為直角梯形,上底為2,下底為4,高為2, 且OA,AB,AD兩兩垂直,OA=2, 所以該幾何體的體積為 V=××2=4. 選D. 10.(xx鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個三角形均為直角三角形,則xy的最大值為(　C　) (A)32 (B)32 (C)64 (D)64 解析:設(shè)三棱錐的高為h,則根據(jù)三視圖可得 所以x2+y2=128,

15、因為x>0,y>0, 所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=8時取“=”號, 故xy的最大值為64.選C. 11.(xx廣西南寧二模)已知如圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為(　B　) (A)24π (B)6π (C)4π (D)2π 解析:依題意知,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐ABCD, 其中AB⊥平面BCD,AB=, BC=CD=,BD=2, 將該三棱錐補成一個正方體, 則有(2R)2=()2+()2+()2=6, 所以R=, 所以外接球的表面積為S=4πR2=4π×()2=6π. 選B. 12.(xx唐山市一

16、模)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　C　) (A)4 (B)21+ (C)3+12 (D)+12 解析:根據(jù)三視圖可知該幾何體是正六邊形截得的正方體下方的幾何體, 因為正方體的棱長為2, 所以根據(jù)分割的正方體的2個幾何體的對稱性得, S1=×6×22=12, 正六邊形的面積為6××()2=3, 所以該幾何體的表面積為12+3.選C. 二、填空題 13.(xx廣西南寧二模)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等且=,則的值是　　　　.? 解析:設(shè)兩個圓柱的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,

17、則由題意知,==·=,① 又2πr1·h1=2πr2·h2, 所以=,② 把②代入①可得,=, 所以=()2=()2=. 答案: 14.(xx遼寧沈陽高三一模)已知某多面體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,則此多面體最長的一條棱長為　　　　.? 解析:由三視圖知,該幾何體是一個四棱錐, 如圖所示,其底面是直角梯形,AD=4,AB=4,OA=4,BC=1, 則OD==, CD==5, OB==, OC===, 故多面體最長的一條棱長為. 答案: 15.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為　　　　.? 解析:由三視圖知,幾何體由一個四棱錐與四棱柱組成, 則體積V=×2×2×1+1×1×2=. 答案: 16.(xx大連市高三一模)如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為　　　　.? 解析:設(shè)球的半徑為R,則底面ABCD的面積為2R2, 因為半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD, 該四棱錐的體積為, 所以×2R2×R=,所以R3=2, 所以該半球的體積為V=×πR3=π. 答案:π