2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 解三角形 小結(jié)教案

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 解三角形 小結(jié)教案 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯提醒1三角形解的個數(shù)的確定(易錯點)已知兩邊和其中一邊的對角不能唯一確定三角形，解這類三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”，此時一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理討論：若已知a、b、A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，無解；若sin B1，一解；若sin B1，兩解(2)利用余弦定理討論： 已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，這是關(guān)于c的一元二次方程若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正

2、數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解2三角形形狀的判定方法判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷此時注意一些常見的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系如：sin Asin BAB；sin (AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如：sin A(R為ABC外接圓半徑)，cos A等，通過代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷 3.解三角形應(yīng)用題的基本思路解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題

3、來解決其基本解題思路是：首先分析此題屬于哪種類型的問題(如測量距離、高度、角度等)，然后依題意畫出示意圖，把已知量和未知量標在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，哪個定理求解，并進行作答解題時還要注意近似計算的要求(對應(yīng)學(xué)生用書P22)專題一利用正、余弦定理解三角形(自主研析)例1ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面積自主解答(1)由余弦定理得a2b2ab4.又因為ABC的面積等于，所以absin C，得ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由正弦

4、定理已知條件可化為b2a，聯(lián)立方程組解得a，b，所以ABC的面積Sabsin C.歸納升華正、余弦定理應(yīng)用需注意的三個方面(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時要根據(jù)題目條件恰當?shù)貙崿F(xiàn)邊角的統(tǒng)一(2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式進行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等代數(shù)變換方法進行變形(3)求值時注意方程思想的運用變式訓(xùn)練ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大??；(2)若A75，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22

5、accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，C180457560，cb2.專題二判斷三角形的形狀問題例2在ABC中，如果lg alg clg sin Blg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀解：因為lg sin Blg，所以sin B，又因為0B90，所以B45.由lg alg clg，得.由正弦定理得即2sin(135C)sin C，即2(sin 135cos Ccos 135sin C)sin C所以cos C0，得C90，又因為A45，所以B45，從而ABC是等腰直角三角形歸納升華利用正、

6、余弦定理判斷三角形形狀的方法主要有兩種方法：方法一，通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二，通過角之間的關(guān)系判斷形狀利用正、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化，把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系變式訓(xùn)練在ABC中，若B60，2bac，試判斷ABC的形狀解：法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因為B60，所以AC120.所以2sin 60sin(120C)sin C.展開整理得sin Ccos C1.所以sin(C30)1.因為0C120，所以C3090.所以C60.故A60.所以ABC為等邊三角形法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.因為B60，b，所以a2c22a

7、ccos 60，化簡得(ac)20，所以ac.又B60，所以abc.所以ABC為等邊三角形專題三正、余弦定理的實際應(yīng)用例3航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔10 000 m，速度為180 km/h，飛機先看到山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過420 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5，求山頂?shù)暮０胃叨?取1.4，1.7)解：如圖所示，根據(jù)題意可得A15，DBC45，所以ACB30，AB18021(km)21 000(m)所以在ABC中，所以BCsin 1510 500()(m)因為CDAD，所以CDBCsinCBD10 500()10 500(1)10 500(1.71)7 350(

8、m)，所以，山頂?shù)暮０胃叨?0 0007 3502 650(m)歸納升華正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用(1)以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來考查三角形問題是近年高考的一類熱點題型在具體解題時，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件合理選用三角函數(shù)公式，達到化簡問題的目的(2)解三角形問題的實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題在高考中，出題者有時會利用平面向量等知識給出問題的某些條件，這些知識一般只起到“點綴”作用，難度較小變式訓(xùn)練(1)如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120

9、.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(精確到1米)(2)在ACB中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3，求：a和c的值；cos(BC)的值(1)解：法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD500 米，DA300 米，CDO60.在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445 (米)法二：連接AC，作OHAC，交AC于點H，由題意，得CD500米，AD300米，CDA120.在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos 1205002300225003007002，所以AC700(米)cosCAD.在RtHAO中，AH350(米)，cosHAO，所以O(shè)A445(米)(2)解：由2，得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c2322613.解得或因為ac，所以a3，c2.在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C為銳角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.