高中數(shù)學 第一章 不等式的基本性質和證明的基本方法綜合檢測 新人教B版選修4-5一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知>，則下列不等式一定成立的是( )A．a(chǎn)2>b2 B．lg a>lg bC.> D.b>a【解析】 由>，得a>b(c≠0)顯然，當a，b異號或其中一個為0時， A、B、C不正確．【答案】 D2．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的( )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】 |x－1|<2?－11 D．x>2【解析】 由題意，知2x與log2x同號，故只有2x>0且log2x>0.∴x>1.【答案】 C5．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關系是( )A．a(chǎn)n＞an＋1 B．a(chǎn)n＜an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1 D．與n的取值有關【解析】 an＋1－an＝－＝.∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N*.∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.【答案】 B6．(xx·重慶高考)關于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15 ，則a＝ ( )A. B.C. D.【解析】 由x2－2ax－8a2<0(a>0)得(x＋2a)(x－4a)<0(a>0)，即－2a3}B．{x|－10，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是( )A．0 B．1C．2 D．4【解析】 依題意a＋b＝x＋y，xy＝cd，又x>0，y>0，∴＝＝2＋＋≥4，當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立．∴的最小值為4.【答案】 D10．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A．[－5,7]B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)【解析】 法一 當x≤－3時，原不等式可化為5－x－x－3≥10，即2x≤－8，∴x≤－4，此時不等式的解集為{x|x≤－4}．當－3＜x≤5時，原不等式可化為5－x＋x＋3≥10，此時無解．當x＞5時，原不等式可化為x－5＋x＋3≥10，解得x≥6，此時不等式的解集為{x|x≥6}．綜上可知，原不等式的解集為{x|x≤－4或x≥6}，故選D.法二 由絕對值的幾何意義可知，|x－5|＋|x＋3|表示數(shù)軸上的點x到點－3和5兩點的距離之和，又點－4和6到點－3和5的距離之和都為10，如圖，故滿足|x－5|＋|x＋3|≥10的解集為(－∞，－4]和[6，＋∞)．【答案】 D11．設a>0，b>0，a＋b＝1，M＝＋＋，則M與8的大小關系是( )A．M＝8 B．M≥8C．M<8 D．M≤8【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴≤，∴≥4.∴＋＋＝(a＋b)(＋)＋≥2·2＋4＝8.∴＋＋≥8，即M≥8.當且僅當a＝b＝時等號成立．【答案】 B12．關于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，則a的取值范圍是( )A．(0,1) B．(－1,0)C．(1,2) D．(－∞，－1)【解析】 |x－1|＋|x－2|的最小值為1，故只需a2＋a＋1<1，∴－10，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.當且僅當＝時取等號．【答案】 315．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，則S的取值范圍是________．【解析】 用放縮法，<<；<<；<<；<<.以上四個不等式相加，得12，b>3，求a＋b＋的最小值．【解】 ∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，>0，因此a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.當且僅當a－2＝b－3＝時，即a＝3，b＝4時等號成立．故a＋b＋的最小值為8.19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．【證明】 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)的單調性得：f(a)≥f(－b)．又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)命題(1)的逆命題為：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，求證a＋b≥0.逆命題成立．下面用反證法證之．假設a＋b＜0，那么：a＋b＜0?a＜－b?f(a)＜f(－b)a＋b＜0?b＜－a?f(b)＜f(－a)兩式相加得：f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．這與已知矛盾，故只有：a＋b≥0.逆命題得證．20．(本小題滿分12分)(xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)當a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知關于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為，求a的值．【解】(1)當a＝2時，f(x)＋|x－4|＝當x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；當20)．(1)在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少(精確到0.1千輛/小時)?(2)若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？【解】 (1)依題意y＝≤＝，當且僅當v＝，即v＝40時等號成立．∴ymax＝≈11.1(千輛/小時)．當v＝40千米/小時時，車流量最大，約為11.1千輛/小時．(2)由條件得>10，整理得v2－89v＋1 600<0，即(v－25)(v－64)<0.解得25
