◇23講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)√

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date ◇23講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)√ ◇23講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)√ 第二十三講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 一、 圓的定義及性質(zhì)： 1、 圓的定義： ⑴形

2、成性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫 線段OA叫做 ⑵描述性定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于 的點(diǎn)的集合 【名師提醒：1、在一個(gè)圓中，圓←決定圓的 半徑?jīng)Q定圓的 2、直徑是圓中 的弦，弦不一定是錐】 2、弦與?。? 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的 叫做弦 ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的 叫做弧，弧可分為 、 、 三類 3、圓的對(duì)稱性： ⑴軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，有 條對(duì)稱軸 的

3、直線都是它的對(duì)稱軸 ⑵中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對(duì)稱圖形，而且具有旋轉(zhuǎn) 性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都被與原來的圖形重合】 二、 垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對(duì)的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對(duì)的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：⑴過圓心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所對(duì)的優(yōu)?、善椒窒宜鶎?duì)的劣弧五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，注意解題過程中的靈活運(yùn)用 2、圓中常作的輔助線

4、是過圓心作弦的 線 3、垂徑定理常用作計(jì)算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個(gè)可求另外兩個(gè)】 三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 1、圓心角定義：頂點(diǎn)在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】 四、 圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點(diǎn)在 并且兩邊都和圓 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對(duì)的圓周角 都等于這條弧所

5、對(duì)的圓心角的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角 那么它們所對(duì)的弧 推論2、半圓（或直弦）所對(duì)的圓周角是 900的圓周角所對(duì)的弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而 它所對(duì)的圓周角有 個(gè)，它們的關(guān)系是 2、 作直弦所對(duì)的圓周角是圓中常作的輔助線】 五、 圓內(nèi)接四邊形： 定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在圓上，這個(gè)多邊形叫做 這個(gè)圓叫做 性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 【名師提醒：圓內(nèi)接平行四邊形是 圓內(nèi)接梯形是

6、 】 考點(diǎn)一：垂徑定理 例1如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是： 甲：1、作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)， 2、連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形?????? 乙：1、以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)． 2、連接AB，BC，CA．△ABC即為所求的三角形． 對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷（　A?。? A．甲、乙均正確 B．甲、乙均錯(cuò)誤 C．甲正確、乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，OP⊥AC于點(diǎn)P，OP=2，則⊙O的半徑為（　?。? A．4

7、 B．6 C．8 D．12 考點(diǎn)二：圓周角定理 例2如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)N，點(diǎn)M在⊙O上，∠1=∠C （1）求證：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直徑． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 37．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD （1）求證：BD平分∠ABC； （2）當(dāng)∠ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD． 考點(diǎn)三：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 例3 如圖，⊙C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0

8、，3），M是第三象限內(nèi) 上一點(diǎn)，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長(zhǎng)為（　　） A．6 B．5 C．3 D．3 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3、如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠BAD=105°，則∠DCE的大小是（　　） A．115° B．l05° C．100° D．95° 【聚焦中考】 1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（　?。? A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 2．某施工工地安放了一個(gè)圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計(jì)木條的厚

9、度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 cm． 3．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，點(diǎn)C是優(yōu)弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），則cosC的值為 ． 4．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，則∠ABC的度數(shù)是 ． 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1．如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙M上異于A、B的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于E、F，則EF的長(zhǎng)（　　） A．等于4 B．等于4

10、C．等于6 D．隨P點(diǎn)位置的變化而變化 2．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長(zhǎng)為（　?。? 3．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，則⊙O的直徑為（　?。? A．8 B．10 C．16 D．20 4．如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（　　） A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE 5．已知：如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（　?。? A．45° B．

11、35° C．25° D．20° 6．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，連接AD、BC．若∠BAD=60°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。? A．40° B．50° C．60° D．70° 7．△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（　　） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 8．如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B=60°，∠BOD=100°，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．50° B．60° C．70° D．80° 二、填空題 9．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦

12、，CD⊥AB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則⊙0的半徑為 ． 10．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，則半徑OB的長(zhǎng)為 2 ． 11．如圖，在⊙O中，直徑AB丄弦CD于點(diǎn)M，AM=18，BM=8，則CD的長(zhǎng)為 24 ． 12．已知：如圖，在⊙O中，C在圓周上，∠ACB=45°，則∠AOB= ． 13．如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，∠NMB的度數(shù)是 ． 14．如圖，已知點(diǎn)A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過點(diǎn)C向右作平行于x軸的射線，點(diǎn)P是射線上

13、的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊△APQ，連接PB、BA．若四邊形ABPQ為梯形，則： （1）當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 ； （2）當(dāng)AB為梯形的腰時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 ． 15．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、CD為⊙O直徑，DE⊥AB于點(diǎn)E，sinA=，則∠D的度數(shù)是 ． 三、解答題 16如圖所示為圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點(diǎn)A與B相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積．

14、（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)） 17．如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離． 18．在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．求∠D的度數(shù)． 19．如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC=∠APC=60°， （1）求證：△ABC是等邊三角形； （2）求圓心O到BC的距離OD．

15、 20．如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，∠ABC=120°． （1）求∠ACB的大?。? （2）求點(diǎn)A到直線BC的距離． 21．如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、DB． （1）當(dāng)∠ADC=18°時(shí)，求∠DOB的度數(shù)； （2）若AC=2，求證：△ACD∽△OCB． 第二十三講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 三、 圓的定義及性質(zhì)： 3、 圓的定義： ⑴形成性定義：

16、在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫 線段OA叫做 ⑵描述性定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于 的點(diǎn)的集合 【名師提醒：1、在一個(gè)圓中，圓←決定圓的 半徑?jīng)Q定圓的 2、直徑是圓中 的弦，弦不一定是錐】 2、弦與?。? 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的 叫做弦 弧：圓上任意兩點(diǎn)間的 叫做弧，弧可分為 、 、 三類 3、圓的對(duì)稱性： ⑴軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，有 條對(duì)稱軸 的直線都是它

17、的對(duì)稱軸 ⑵中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對(duì)稱圖形，而且具有旋轉(zhuǎn) 性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都被與原來的圖形重合】 四、 垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對(duì)的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對(duì)的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：⑴過圓心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑸平分弦所對(duì)的劣弧五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，注意解題過程中的靈活運(yùn)用 2、圓中常作的輔助線是過圓心作

18、弦的 線 3、垂徑定理常用作計(jì)算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個(gè)可求另外兩個(gè)】 三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 1、圓心角定義：頂點(diǎn)在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】 六、 圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點(diǎn)在 并且兩邊都和圓 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對(duì)的圓周角 都等于這條弧所對(duì)的圓心角

19、的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角 那么它們所對(duì)的弧 推論2、半圓（或直弦）所對(duì)的圓周角是 900的圓周角所對(duì)的弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而 它所對(duì)的圓周角有 個(gè)，它們的關(guān)系是 4、 作直弦所對(duì)的圓周角是圓中常作的輔助線】 七、 圓內(nèi)接四邊形： 定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在圓上，這個(gè)多邊形叫做 這個(gè)圓叫做 性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 【名師提醒：圓內(nèi)接平行四邊形是 圓內(nèi)接梯形是 】

20、 考點(diǎn)一：垂徑定理 例1如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是： 甲：1、作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)， 2、連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形?????? 乙：1、以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)． 2、連接AB，BC，CA．△ABC即為所求的三角形． 對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷（　A?。? A．甲、乙均正確 B．甲、乙均錯(cuò)誤 C．甲正確、乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，OP⊥AC于點(diǎn)P，OP=2，則⊙O的半徑為（　A?。? A．4

21、 B．6 C．8 D．12 考點(diǎn)二：圓周角定理 例2如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)N，點(diǎn)M在⊙O上，∠1=∠C （1）求證：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直徑． 證明：∵∠C與∠M是所對(duì)的圓周角， ∴∠C=∠M，又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M，∴CB∥MD； （2）解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB， ∴= ，∴∠A=∠M，∴sinA=sinM， 在Rt△ACB中，sinA=，∵sinM=，BC=4， ∴AB=6，即⊙O的直徑為6． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 37．如圖，⊙O是△ABC的

22、外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD （1）求證：BD平分∠ABC； （2）當(dāng)∠ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD． 證明：（1）∵OD⊥AC?? OD為半徑，∴， ∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC； （2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°， ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°， ∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°， 又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD． 考

23、點(diǎn)三：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 例3 如圖，⊙C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi) 上一點(diǎn)，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長(zhǎng)為（　?。? A．6 B．5 C．3 D．3 解：∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°， ∴∠BAO=60°，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=3， ∴AB=2OA=6，∴⊙C的半徑長(zhǎng)==3．故選C． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3、如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠BAD=1

24、05°，則∠DCE的大小是（　?。? A．115° B．l05° C．100° D．95° 解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故選B． 【聚焦中考】 1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（　D?。? A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 2．某施工工地安放了一個(gè)圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計(jì)木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分

25、BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 30 cm． 3．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，點(diǎn)C是優(yōu)弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），則cosC的值為 ． 4．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，則∠ABC的度數(shù)是 .150° ． 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1．如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙M上異于A、B的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于E、F，則EF的長(zhǎng)（　C?。? A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．

26、隨P點(diǎn)位置的變化而變化 2．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長(zhǎng)為（　C?。? 3．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，則⊙O的直徑為（　D?。? A．8 B．10 C．16 D．20 4．如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（　D?。? A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE 5．已知：如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（　A?。? A．45° B．35° C．25

27、° D．20° 6．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，連接AD、BC．若∠BAD=60°，則∠BCD的度數(shù)為（　C?。? A．40° B．50° C．60° D．70° 7．△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（　D　） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 8．（2012?瀘州）如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B=60°，∠BOD=100°，則∠C的度數(shù)為（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 二、填空題 9．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的一條

28、弦，CD⊥AB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則⊙0的半徑為 5 5 ． 10．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，則半徑OB的長(zhǎng)為 2 2 ． 11．如圖，在⊙O中，直徑AB丄弦CD于點(diǎn)M，AM=18，BM=8，則CD的長(zhǎng)為 24 24 ． 12．已知：如圖，在⊙O中，C在圓周上，∠ACB=45°，則∠AOB= 90° ． 13．如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，∠NMB的度數(shù)是 30° ． 14．如圖，已知點(diǎn)A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過點(diǎn)C向右作平行于

29、x軸的射線，點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊△APQ，連接PB、BA．若四邊形ABPQ為梯形，則： （1）當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 ； （2）當(dāng)AB為梯形的腰時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 0或 ． 15．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、CD為⊙O直徑，DE⊥AB于點(diǎn)E，sinA=，則∠D的度數(shù)是 30° ． 三、解答題 16如圖所示為圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點(diǎn)A與B相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，

30、求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)） 解：如圖，連接AO、BO．過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N，ON交⊙O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F．則OF⊥AB．∵OA=OB=5m，AB=8m， ∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， 在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°， ∴∠AOF=53°，則∠AOB=106°， ∵OF==3（m），由題意得：MN=1m， ∴FN=OM-OF+MN=3（m）， ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB， ∴AE=FN=

31、3m，DC=AB+2DE．在Rt△ADE中，tan56°=， ∴DE=2m，DC=12m． ∴S陰=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）=（8+12）×3-（π×52-×8×3）=20（m2）． 答：U型槽的橫截面積約為20m2． 17．如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離． 解：過點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，連接OA，OC， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm， ∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm， 在Rt△AOE

32、中， OE==8cm， 在Rt△OCF中， OF==15cm， ∴EF=OF-OE=15-8=7cm．答：AB和CD的距離為7cm． 18．在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．求∠D的度數(shù)． 解：方法一：連接BD．????????∵AB⊙O是直徑， ∴BD⊥AD又∵CF⊥AD，∴BD∥CF， ∴∠BDC=∠C．又∵∠BDC=∠BOC， ∴∠C=∠BOC．∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC=60°． 方法二：設(shè)∠D=x， ∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A， ∴△AFO∽△AED，∴∠D=∠AOF=x， ∴∠ADC=2∠AD

33、C=2x，∴x+2x=180，∴x=60，∴∠ADC=60°． 19．如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC=∠APC=60°， （1）求證：△ABC是等邊三角形； （2）求圓心O到BC的距離OD． 解：（1）在△ABC中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC， ∴∠ABC=60°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°， ∴△ABC是等邊三角形； （2）∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓， ∴O為△ABC的外心，∴BO平分∠ABC， ∴∠OBD=30°，∴OD=8×=4． 20．如圖△ABC

34、中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，∠ABC=120°． （1）求∠ACB的大??； （2）求點(diǎn)A到直線BC的距離． 解：（1）連接BD，∵以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D， ∴∠BDC=90°，∵D是AC中點(diǎn)，∴BD是AC的垂直平分線， ∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=30°，即∠ACB=30°； （2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E， ∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°， ∴cos30°==，∴CD=，∵AD=CD， ∴AC=3，∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴AE==． 21．如圖，已知AB是⊙O

35、的弦，OB=4，∠OBC=30°，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、DB． （1）當(dāng)∠ADC=18°時(shí)，求∠DOB的度數(shù)； （2）若AC=2，求證：△ACD∽△OCB． 1）解：連接OA，∵OA=OB=OD， ∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°， ∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°， 由圓周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°． （2）證明：過O作OE⊥AB于E， 由垂徑定理得：AE=BE，∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°， ∴OE=OB=2，由勾股定理得：BE=2=AE， 即AB=2AE=4，∵AC=2， ∴BC=2， 即C、E兩點(diǎn)重合，∴DC⊥AB，∴∠DCA=∠OCB=90°， ∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2， ∴=， ∴△ACD∽△OCB（兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似）． --------------------------------------------------