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1、2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-2-2 平面與平面平行的判定
項(xiàng)目
內(nèi)容
課題
2.2.2 平面與平面平行的判定
2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì)
（1課時(shí)）
修改與創(chuàng)新
教學(xué)
目標(biāo)
1.通過(guò)圖形探究平面與平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理.
2.熟練掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用.
3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,以及邏輯思維能力.
教學(xué)重、
難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):平面與平面平行的判定與性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn):平面與平面平行的判定.
教學(xué)
準(zhǔn)備
多媒體課件
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
三角板的一條邊所在直線(xiàn)與桌面平行
2、，這個(gè)三角板所在的平面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線(xiàn)分別與桌面平行，情況又如何呢？下面我們討論平面與平面平行的判定問(wèn)題.
提出問(wèn)題
①回憶空間兩平面的位置關(guān)系.
②欲證線(xiàn)面平行可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行，欲判定面面平行可如何轉(zhuǎn)化？
③找出恰當(dāng)空間模型加以說(shuō)明.
④用三種語(yǔ)言描述平面與平面平行的判定定理.
⑤應(yīng)用面面平行的判定定理應(yīng)注意什么？
⑥利用空間模型探究：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)具有什么位置關(guān)系？
⑦回憶線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合模型探究面面平行的性質(zhì)定理.
⑧用三種語(yǔ)言描述平面與平面平行的性質(zhì)定理.
⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)在哪里？
3、
⑩應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理口訣是什么？
活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路.
問(wèn)題①引導(dǎo)學(xué)生回憶兩平面的位置關(guān)系.
問(wèn)題②面面平行可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行.
問(wèn)題③借助模型鍛煉學(xué)生的空間想象能力.
問(wèn)題④引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換.
問(wèn)題⑤引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面平行的判定定理容易忽視哪個(gè)條件.
問(wèn)題⑥引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖探究，注意考慮問(wèn)題的全面性.
問(wèn)題⑦注意平行與異面的區(qū)別.
問(wèn)題⑧引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換.
問(wèn)題⑨作輔助面.
問(wèn)題⑩引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，把握面面平行的性質(zhì).
討論結(jié)果：①如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)
4、，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β.
如果兩個(gè)平面有一條公共直線(xiàn)，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交.
兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.
圖1
②由兩個(gè)平面平行的定義可知：其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)一定都和另一個(gè)平面平行.這是因?yàn)樵谶@些直線(xiàn)中，如果有一條直線(xiàn)和另一平面有公共點(diǎn)，這點(diǎn)也必是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面就不可能平行了.
另一方面，若一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)都和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，否則，這兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，那么在一個(gè)平面內(nèi)通過(guò)這點(diǎn)的直線(xiàn)就不可能平行于另一個(gè)平面.
由此將判定兩個(gè)平面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行的
5、問(wèn)題，但事實(shí)上判定兩個(gè)平面平行的條件不需要一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都平行于另一平面，到底要多少條直線(xiàn)（且直線(xiàn)與直線(xiàn)應(yīng)具備什么位置關(guān)系）與另一面平行，才能判定兩個(gè)平面平行呢？
③如圖2,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面不一定平行.
圖2
例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.
如圖3,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面也不一定平行.
圖3
例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′
6、=DD′.
如圖4,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面一定平行.
圖4
例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直線(xiàn)A′C′與直線(xiàn)B′D′相交.
可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.
④兩個(gè)平面平行的判定定理：
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.
以上是兩個(gè)平面平行的文字語(yǔ)言，另外面面平行的判定定理的符號(hào)語(yǔ)言為：
若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，則α∥β.
圖形語(yǔ)言為：如圖5,
圖5
⑤利用判定定理證明兩個(gè)平面平
7、行，必須具備：
(Ⅰ)有兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面;
(Ⅱ)這兩條直線(xiàn)必須相交.
尤其是第二條學(xué)生容易忽視，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào).
⑥如圖6,借助長(zhǎng)方體模型，我們看到，B′D′所在的平面A′C′與平面AC平行，所以B′D′與平面AC沒(méi)有公共點(diǎn).也就是說(shuō)，B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn).因此，直線(xiàn)B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線(xiàn)要么是異面直線(xiàn)，要么是平行直線(xiàn).
圖6
⑦直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言表示為：
如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行.
因?yàn)?，直線(xiàn)B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線(xiàn)要么是異面直線(xiàn)，要么是平行直線(xiàn)，只要過(guò)B′
8、D′作平面BDD′B′與平面AC相交于直線(xiàn)BD，那么直線(xiàn)B′D′與直線(xiàn)BD平行.
如圖7.
圖7
⑧兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言表示為：
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行.
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用符號(hào)語(yǔ)言表示為：a∥b.
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用圖形語(yǔ)言表示為：如圖8.
圖8
⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)是：過(guò)某些點(diǎn)或直線(xiàn)作一個(gè)平面.
⑩應(yīng)用線(xiàn)面平行性質(zhì)定理的口訣：“見(jiàn)到面面平行，先過(guò)某些直線(xiàn)作兩個(gè)平面的交線(xiàn).”
應(yīng)用示例
例1 已知正方體ABCD—A1B1C1D1，如圖9,求證：平面AB1D1∥平面BDC1.
圖9
9、
活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫(xiě)出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正,并及時(shí)評(píng)價(jià).
證明：∵ABCD—A1B1C1D1為正方體，
∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1.
又∵AB∥A1B1,AB=A1B1,
∴D1C1∥AB,D1C1=AB.
∴四邊形ABC1D1為平行四邊形.
∴AD1∥BC1.
又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
同理，BD∥平面AB1D1.
又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.
變式訓(xùn)練
如圖10,在正方體ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分別是EH、
10、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求證：平面MNA∥平面PQG.
圖10
證明：∵M(jìn)、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,
∴MN∥PQ.
∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四邊形RPGH為平行四邊形，四邊形ARHM為平行四邊形.
∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
∵M(jìn)N∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG.
同理可證，AM∥平面PQG.又直線(xiàn)AM與直線(xiàn)MN相交，
∴平面MNA∥平面PQG.
點(diǎn)評(píng)：證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面平行，而證線(xiàn)面平行又轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)平行，所以關(guān)
11、鍵是證線(xiàn)線(xiàn)平行.
例2 證明兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理.
解：如圖11,已知平面α、β、γ滿(mǎn)足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求證:a∥b.
圖11
證明：∵平面α∥平面β,
∴平面α和平面β沒(méi)有公共點(diǎn).
又aα，bβ,
∴直線(xiàn)a、b沒(méi)有公共點(diǎn).
又∵α∩γ=a，β∩γ=b,
∴aγ，bγ.∴a∥b.
變式訓(xùn)練
如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.
解：已知α∥β，γ∥β，求證：α∥γ.
證明：如圖12，作兩個(gè)相交平面分別與α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,
圖12
.
知能訓(xùn)練
已知：a、b是異面直線(xiàn)，a平面α,b平面
12、β，a∥β，b∥α.
求證：α∥β.
證明：如圖13,在b上任取點(diǎn)P，顯然Pa.于是a和點(diǎn)P確定平面γ，且γ與β有公共點(diǎn)P.
圖13
設(shè)γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.
這樣β內(nèi)相交直線(xiàn)a′和b都平行于α，∴α∥β.
拓展提升
1.如圖14，兩條異面直線(xiàn)AB、CD與三個(gè)平行平面α、β、γ分別相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC與平面的交點(diǎn)為H、G.
圖14
求證：EHFG為平行四邊形.
證明：AC∥EG.同理,AC∥HF.
EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四邊形.
課堂小結(jié)
知識(shí)總結(jié)：利用面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)證明線(xiàn)面平行.
方法總結(jié)：見(jiàn)到面面平行,利用面面平行的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行,本節(jié)是“轉(zhuǎn)化思想”的典型素材.
作業(yè)
課本習(xí)題2.2 A組7、8.
板書(shū)設(shè)計(jì)
教學(xué)反思
2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-2-2 平面與平面平行的判定
