（江蘇專用）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第47講 線面垂直與面面垂直學案

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1、 第47講　線面垂直與面面垂直 考試要求　1.空間中線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理(B級要求)；2.運用線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題(B級要求). 診 斷 自 測 1.(教材改編)下列命題中正確的是________(填序號). ①如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β； ②如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β； ③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β； ④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ. 解析　根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知①不正確，直

2、線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi)，②③④正確. 答案?、冖邰? 2.設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的________條件. 解析　若α⊥β，因為α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β. 答案　充分不必要 3.(2018·宿遷質(zhì)檢)對于四面體ABCD，給出下列四個命題： ①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD； ③若

3、AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD. 其中為真命題的是________(填序號). 解析?、偃鐖D，取BC的中點M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC，且AM∩DM＝M?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④設A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC. 答案?、佗? 4.(必修2P37習題6改編)如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB的中點，則圖中直

4、角三角形的個數(shù)為________. 解析　由題可知△ABC，△ACO，△BCO，△OAD，△OBD，△OCD是直角三角形. 答案　6 5.(必修2P47練習5改編)如圖，已知直線AB⊥α，垂足為B，AC是平面α的斜線，CD?α，CD⊥AC，則圖中互相垂直的平面有________對. 解析　平面ABC⊥α，平面ABD⊥α，平面ABC⊥平面ACD. 答案　3 知 識 梳 理 1.直線與平面垂直 (1)定義 如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一條直線和

5、一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面 ?l⊥α 性質(zhì)定理 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b 2.直線和平面所成的角 (1)定義 平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角. (2)范圍：[0，]. 3.平面與平面垂直 (1)二面角的有關概念 ①二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角； ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直

6、于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定義 如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直. (3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 ?l⊥α 考點一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是

7、PC的中點. (1)求證：CD⊥AE； (2)求證：PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD， CD?平面ABCD，故PA⊥CD. 因為AC⊥CD，PA∩AC＝A， PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC， ∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因為E是PC的中點，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，所以AE⊥PD. 因為PA⊥平面ABCD，A

8、B?平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又因為AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又PD?平面PAD，所以AB⊥PD. 又因為AB∩AE＝A， AB?平面ABE，AE?平面ABE， 所以PD⊥平面ABE. 規(guī)律方法　在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中，平面在其中起著至關重要的作用，應考慮線與線、線與面所在的平面特征，以順利實現(xiàn)證明需要的轉(zhuǎn)化.其中證明線面垂直的方法有： ①利用線面垂直的定義； ②利用線面垂直的判定定理； ③若a⊥α，a∥b，則b⊥α； ④利用面面平行的性質(zhì)定理， 即α∥β，a⊥α?a⊥β； ⑤利用面面垂直的性質(zhì)定

9、理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 【訓練1】 (2017·蘇州期末改編)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面C1BD. 證明　如圖，連接AC， 則AC⊥BD. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD. 又因為AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C， 所以BD⊥平面AA1C. 因為A1C?平面AA1C， 所以A1C⊥BD. 同理可證A1C⊥BC1. 又因為BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面C1BD，所以A1C⊥平面C1BD. 考點二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

10、 【例2－1】 如圖，S為平面ABC外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. (1)求證：AB⊥BC； (2)若AF⊥SC于點F，AE⊥SB于點E，求證：平面AEF⊥平面SAC. 證明　(1)如圖，作AE⊥SB于點E. 因為平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC＝SB， AE?平面SAB， 所以AE⊥平面SBC. 因為BC?平面SBC， 所以AE⊥BC. 因為SA⊥平面ABC， BC?平面ABC，所以SA⊥BC. 又因為AE∩SA＝A， AE?平面SAB，SA?平面SAB， 所以BC⊥平面SAB. 又AB?平面SAB，所以AB⊥BC.

11、 (2)由(1)可知AE⊥平面SBC， 又SC?平面SBC，所以AE⊥SC. 又因為SC⊥AF，AE∩AF＝A， AE?平面AEF，AF?平面AEF， 所以SC⊥平面AEF. 又SC?平面SAC， 所以平面AEF⊥平面SAC. 【例2－2】 如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點. (1)(一題多解)求證：CE∥平面PAD； (2)求證：平面EFG⊥平面EMN. 證明　(1)法一　取PA的中點H，連接EH，DH. 又E為PB的中點， 所以EH綊AB. 又CD

12、綊AB， 所以EH綊CD. 所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH. 又DH?平面PAD，CE?平面PAD. 所以CE∥平面PAD. 法二　連接CF. 因為F為AB的中點， 所以AF＝AB. 又CD＝AB， 所以AF＝CD. 又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形. 因此CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA. 又EF?平面PAD，PA?平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因為CF∩EF＝F，CF，EF?平面CEF，故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面

13、CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因為E、F分別為PB、AB的中點，所以EF∥PA. 又因為AB⊥PA， 所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG. 又因為EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG. 所以AB⊥平面EFG. 又因為M，N分別為PD，PC的中點， 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面EFG. 又因為MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 規(guī)律方法　(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定義； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β). (2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化. 在一個平面內(nèi)作交線

14、的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 【訓練2】 (2016·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)由已知，DE為△ABC的中位線， ∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， 且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， ∴DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1，

15、又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1， A1B1，AA1?平面ABB1A1， ∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1， ∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1， A1F，A1C1?平面A1C1F， ∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F. 考點三　垂直關系中的探索性問題 【例3】 如圖，在三棱臺ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC. (1)設平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a； (2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG⊥

16、平面CDE？若存在，請確定G點的位置；若不存在，請說明理由. (1)證明　在三棱臺ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE. 又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a， ∴DF∥a. (2)解　線段BE上存在點G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE. 證明如下： 取CE的中點O，連接FO并延長交BE于點G，連接GD，GF， ∵CF＝EF，∴GF⊥CE. 在三棱臺ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF?CF⊥DE. 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF. ?GF⊥平面CDE

17、. 又GF?平面DFG， ∴平面DFG⊥平面CDE. 此時，如平面圖所示，延長CB，F(xiàn)G交于點H， ∵O為CE的中點，EF＝CF＝2BC， 由平面幾何知識易證△HOC≌△FOE， ∴HB＝BC＝EF. 由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE. 規(guī)律方法　同“平行關系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明. 【訓練3】 (2018·北京東城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點.AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1)求證：B1C∥平面A1BM； (

18、2)求證：AC1⊥平面A1BM； (3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由. (1)證明　連接AB1與A1B，兩線交于O點，連接OM， 在△B1AC中，∵M，O分別為AC，AB1中點， ∴OM∥B1C， 又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM， ∴B1C∥平面A1BM. (2)證明　∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC， ∴AA1⊥BM， 又∵M為棱AC中點，AB＝BC，∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1， ∴BM⊥AC1. ∵AC＝2，∴AM＝1. 又∵

19、AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中， tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝. ∴∠AC1C＝∠A1MA， 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°， ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M＝M，BM，A1M?平面A1BM， ∴AC1⊥平面A1BM. (3)解　當點N為BB1中點，即＝時， 平面AC1N⊥平面AA1C1C. 證明如下： 設AC1中點為D，連接DM，DN. ∵D，M分別為AC1，AC中點， ∴DM∥CC1，且DM＝CC1. 又∵N為BB1中點，∴DM∥BN，且DM＝BN， ∴MBND為平行四邊形，∴BM∥DN， ∵BM⊥平面

20、ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1. 又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C. 【訓練4】 (2018·蘇州模擬)如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點. (1)求證：PA∥平面MBD. (2)在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由. (1)證明 如圖，連接AC交BD于點O，連接MO. 由四邊形ABCD為正方形，知點O為AC的中點，又因為M為PC的中點， 所以MO∥PA. 因為MO?平面MBD，PA?平面MB

21、D， 所以PA∥平面MBD. (2)解 存在點N，當N為AB的中點時，平面PCN⊥平面PQB.證明如下： 因為四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點， 所以BQ⊥NC. 因為Q為AD的中點，△PAD為正三角形， 所以PQ⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?平面PAD， 所以PQ⊥平面ABCD. 又因為NC?平面ABCD，所以PQ⊥NC. 又因為BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ?平面PQB， 所以NC⊥平面PQB. 因為NC?平面PCN， 所以平面PCN⊥平面PQB. 一、必做題 1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l，

22、則下列命題正確的有________(填序號). ①垂直于平面β的平面一定平行于平面α； ②垂直于直線l的直線一定垂直于平面α； ③垂直于平面β的平面一定平行于直線l； ④垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直. 解析　對于①，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故①錯誤； 對于②，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi)，故②錯誤； 對于③，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故③錯誤；易知④正確. 答案?、? 2.(2018·常州模擬)設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是________(填序號). ①若m⊥n，n∥α，則

23、m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，則m⊥α； ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α； ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α. 解析　①中，由m⊥n, n∥α，可得m?α或m∥α或m與α相交，錯誤；②中，由m∥β，β⊥α，可得m?α或m∥α或m與α相交，錯誤；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，則m⊥α，正確；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m與α相交或m?α或m∥α，錯誤. 答案?、? 3.(2018·無錫模擬)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線______上. 解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1

24、， ∴AC⊥平面ABC1. 又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上. 答案　AB 4.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是________(填序號). ①CC1與B1E是異面直線； ②AC⊥平面ABB1A1； ③AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1； ④A1C1∥平面AB1E. 解析?、俨徽_，因為CC1與B1E在同一個側(cè)面中，故不是異面直線；②不正確，由題意知，上底面ABC是一個正三角形，故不可能存在AC

25、⊥平面ABB1A1；③正確，因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；④不正確，因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A1C1∥平面AB1E不正確. 答案?、? 5.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論： ①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形； ③三棱錐D－ABC是正三棱錐； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的是________(填序號). 解析　由題意知BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊B

26、C上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯. 答案　①②③ 6.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點.現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長.其中正確的是________(填序號). 解析　對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， ∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC， 又PC?平面PAC，∴BC⊥PC； 對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA， ∵PA

27、?平面PAC，OM?平面PAC， ∴OM∥平面PAC； 對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確. 答案?、佗冖? 7.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________. 解析　設B1F＝x， 因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF， 所以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1＝， 設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h， 則DE＝h. 又2×＝h， 所以h＝，D

28、E＝. 在Rt△DB1E中， B1E＝ ＝. 由面積相等得×＝x， 得x＝. 答案　 8.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________. 解析　由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC， ∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.

29、 故①②③正確. 答案?、佗冖? 9.(2018·無錫一模)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，AP⊥平面PCD，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點.求證： (1)平面PAD⊥平面ABCD； (2)EF∥平面PAD. 證明　(1)∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD， ∴AP⊥CD. ∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD， 又∵AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD， ∴CD⊥平面PAD， ∵CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD. (2)連接AC、BD交于O，連接OE，OF. ∵ABCD為矩形，∴O為AC中點， ∵E為PC中點，∴OE∥PA.

30、 ∵OE?平面PAD，PA?平面PAD，∴OE∥平面PAD， 同理，OF∥平面PAD， ∵OE∩OF＝O，OE，OF?平面OEF， ∴平面OEF∥平面PAD， ∵EF?平面OEF，∴EF∥平面PAD. 10.在直角梯形SBCD中，∠D＝∠C＝，BC＝CD＝2，SD＝4，A為SD的中點，如圖(1)所示，將△SAB沿AB折起，使SA⊥AD，點E在SD上，且SE＝SD，如圖(2)所示. (1)求證：SA⊥平面ABCD； (2)求二面角E－AC－D的正切值. (1)證明　由題意知SA⊥AB， 又SA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD， 所以SA⊥平面ABCD.

31、(2)解　在AD上取一點O，使AO＝AD， 連接EO，如圖所示. 又SE＝SD，所以EO∥SA. 所以EO⊥平面ABCD. 過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，EH?平面EOH， 所以AC⊥EH， 所以∠EHO為二面角E－AC－D的平面角. 已知EO＝SA＝. 在Rt△AHO中，∠HAO＝45°，OH＝AO·sin 45° ＝×＝. tan∠EHO＝＝2，即二面角E－AC－D的正切值為2. 二、選做題 11.如圖，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC?α，一直角邊AC?β，BC與β所成角的正弦值為，則AB與β所成的角是___

32、_____. 解析　如圖所示，作BH⊥MN于點H，連接AH， 則BH⊥β，∠BCH為BC與β所成的角. ∵sin∠BCH＝＝， 設BC＝1，則BH＝. ∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB＝， ∴AB與β所成的角為∠BAH. ∴sin∠BAH＝＝＝， ∴∠BAH＝. 答案　 12.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G為BC的中點. (1)求證：FG∥平面BED； (2)求證：平面BED⊥平面AED； (3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值. (

33、1)證明　如圖，取BD的中點O，連接OE，OG. 在△BCD中，因為G是BC的中點， 所以OG∥DC且OG＝DC＝1. 又因為EF∥AB，AB∥DC， 所以EF∥OG且EF＝OG， 所以四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG∥OE. 又FG?平面BED，OE?平面BED， 所以FG∥平面BED. (2)證明　在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°， 由余弦定理可得BD＝，進而∠ADB＝90°， 即BD⊥AD. 又因為平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 平面AED∩平面ABCD＝AD， 所以BD⊥平面AED. 又因為BD?平面BED， 所以平面BED⊥平面AED. (3)解　因為EF∥AB，所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角. 過點A作AH⊥DE于點H，連接BH. 又平面BED∩平面AED＝ED， 由(2)知AH⊥平面BED， 所以直線AB與平面BED所成的角即為∠ABH. 在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝， 由余弦定理得cos∠ADE＝，所以sin∠ADE＝， 因此AH＝AD·sin∠ADE＝. 在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝. 所以直線EF與平面BED所成角的正弦值為. 20