（浙江專用）2018版高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 兩條平行直線間的距離學案 新人教A版必修2

《（浙江專用）2018版高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 兩條平行直線間的距離學案 新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2018版高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 兩條平行直線間的距離學案 新人教A版必修2（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3.3　直線與平面垂直的性質 2.3.4　平面與平面垂直的性質 目標定位　1.證明并掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理.2.能運用性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉化. 自 主 預 習 1.直線與平面垂直的性質定理 文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行 符號語言 ?a∥b 圖形語言 作用 ①線面垂直?線線平行 ②作平行線 2.平面與平面垂直的性質定理 文字語言 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直 符號語言 ?a⊥β 圖形語言

2、 作用 ①面面垂直?線面垂直 ②作面的垂線 即 時 自 測 1.判斷題 (1)兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面.(√) (2)垂直于同一平面的兩個平面平行.(×) (3)如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內一點且垂直于第二個平面的直 線在第一個平面內.即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(√) (4)如果平面α⊥平面β，那么平面α內的所有直線都垂直于平面β.(×) 提示　(2)垂直于同一平面的兩個平面可以相交也可以平行. (4)直線與平面β位置關系不確定. 2.△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線

3、l，m的位置關系是(　　) A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定 解析　因為l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m. 答案　C 3.在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一點E，作EF⊥A1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關系是(　　) A.平行 B.EF?平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 解析　在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF?面A1ABB1，EF⊥A1B

4、1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正確. 答案　D 4.已知a、b為直線，α、β為平面.在下列四個命題中，正確的命題是________(填序號). ①若a⊥α，b⊥α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若α∥b，β∥b，則α∥β. 解析　由“垂直于同一平面的兩直線平行”知①真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知②假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知③真；易知④假. 答案?、佗? 類型一　直線與平面垂直的性質及應用 【例1】 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交. 求

5、證：EF∥BD1. 證明　如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 規(guī)律方法　證明線線平行常有如下方法： (1)利用線線平行定義：證共面且無公共點； (2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線；

6、 (3)利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行； (4)利用線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直； (5)利用面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行. 【訓練1】 如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l. 證明　因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l. 類型二　平面與平面垂直的性質及應用 【例2】 已知：α、

7、β、γ是三個不同平面，l為直線，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求證：l⊥γ. 證明　法一　設α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ內任取一點P，過P在γ內作直線m⊥a，n⊥b，如圖. ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β， 又∵α∩β＝l， ∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l(xiāng)⊥γ. 法二　如圖，α∩γ＝a， β∩γ＝b，在α內作m⊥a， 在β內作n⊥b. ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n. 又∵n?β，m?β，∴m∥β， 又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ. 規(guī)律方法　1.證明或判定線面垂直的常用方法有： (1)線面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性質

8、定理； (3)若a∥b，a⊥α則b⊥α；(a，b為直線，α為平面). (4)若a⊥α，α∥β則a⊥β；(a為直線，α，β為平面). 2.兩平面垂直的性質定理告訴我們要將面面垂直轉化為線面垂直，方法是在其中一個面內作(找)與交線垂直的直線. 【訓練2】 設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，試判斷直線a與平面α的位置關系. 解　如圖，設α∩β＝c，過點P在平面α內作直線b⊥c. 根據(jù)平面與平面垂直的性質定理有b⊥β. 因為過一點有且只有一條直線與平面β垂直， 所以直線a與直線b重合，因此a?α. 類型三　線線、線面、面面垂直的綜合應用(互動探究)

9、 【例3】 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD； (2)求證：AD⊥PB. [思路探究] 探究點一　運用面面垂直的性質定理的一般策略是什么？ 提示　運用面面垂直的性質定理時，一般要作輔助線：過其中一個平面內一點作交線的垂線.這樣就把面面垂直轉化成線面垂直或線線垂直了. 探究點二　線線、線面、面面垂直關系之間有怎樣的轉化關系？ 提示　 證明　(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， ∴△ABD為正三角形，又G

10、為AD的中點，∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD. (2)連接PG，如圖， ∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB， ∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB. 規(guī)律方法　證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利用面面垂直的性質定理.證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內；(3)直線必須垂直于

11、它們的交線. 【訓練3】 如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側面PBC⊥底面ABCD.PA與BD是否相互垂直？請證明你的結論. 解　PA與BD相互垂直.證明如下： 如圖，取BC的中點O，連接PO、AO. ∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又側面PBC⊥底面ABCD， 平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD， 又BD?平面ABCD.∴PO⊥BD， 在直角梯形ABCD中，易證△ABO ≌△BCD， ∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，

12、 又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA與BD相互垂直. [課堂小結] 1.線面垂直的性質定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關系相互轉化的依據(jù). 2.面面垂直的性質定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉化與化歸思想，其轉化關系如下： 1.下列說法正確的是(　　) A.垂直于同一條直線的兩直線平行 B.垂直于同一條直線的兩直線垂直 C.垂直于同一個平面的兩直線平行 D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行 解析　由線面垂直的性質定理知C正確. 答案　C 2.設α－l－β是直

13、二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么(　　) A.a與b可能垂直，但不可能平行 B.a與b可能垂直，也可能平行 C.a與b不可能垂直，但可能平行 D.a與b不可能垂直，也不可能平行 解析　當a，b都與l平行時，則a∥b，所以A、D錯， 如圖，若a⊥b過a上一點P在α內作a′⊥l， 因為α⊥β，所以a′⊥β， 又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α， 而l?α，∴b⊥l，與b和l不垂直矛盾，所以B錯. 答案　C 3.如圖，在三棱錐P－ABC內，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________. 解析　∵側面PAC

14、⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC， ∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝. 答案　 4.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是矩形，側面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SCD⊥平面SBC. 證明　∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD， 平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面SCD.又∵BC?平面SBC， ∴平面SCD⊥平面SBC 基 礎 過 關 1.下列命題中錯誤的是(　　) A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行

15、于平面β B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β 解析　由平面與平面垂直的有關性質可以判斷出D項錯誤. 答案　D 2.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC

16、⊥平面ABC 解析　如圖，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍然滿足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC. 答案　D 3.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B.若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C.若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 解析　如圖，在長方體

17、ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A錯誤.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B錯誤.AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C錯誤.故選D. 答案　D 4.a，b是兩條不同直線，α為平面，以下命題中正確的是________(填序號). ①?a∥α；②?b⊥α；③?a∥b； ④?b⊥α. 解析　①中a可能在α內；②中b也可能與α平行，③④正

18、確 . 答案?、邰? 5.若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則a與β的關系為________. 解析　如圖，過a作平面γ，設γ∩α＝b， ∵a∥α，∴a∥b.又∵a⊥AB，∴b⊥AB. 又∵α⊥β，α∩β＝AB，b?α，∴b⊥β，∴a⊥β. 答案　a⊥β 6.如圖三棱錐P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC. 證明　∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC.

19、又BC?平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. 又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC. 7.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點.求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)因為平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA?平面PAD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點， 所以AB∥DE，且AB＝

20、DE. 所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 所以PA⊥CD. 又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD. 又PD?平面PAD，所以CD⊥PD. 因為E和F分別是CD和PC的中點， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又因為CD⊥BE，EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 能 力 提 升 8.如圖所示，

21、在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內部 解析　連接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線，因此，點C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A. 答案　A 9.如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G.給

22、出下列關系： ①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE； ④EF⊥平面SEG.其中成立的有(　　) A.①與② B.①與③ C.②與③ D.③與④ 解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，排除A，故選B. 答案　B 10.如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________. 解析　取CD的中點G，連接MG，NG. 因為ABCD，DCEF為正方

23、形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝. 因為平面ABCD⊥平面DCEF， 平面ABCD∩平面DCEF＝CD， 所以MG⊥平面DCEF，由于GN?平面CDEF，可得MG⊥NG， 所以MN＝＝. 答案　 11.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角. 求證：(1)AB⊥平面BCD； (2)平面ACD⊥平面ABD. 證明　(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a， ∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝

24、BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面BCD. (2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形， 且AB⊥BD，∴CD⊥BD. ∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD.∴AB⊥CD. ∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD. 又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD. 探 究 創(chuàng) 新 12.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形. (1)若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1； (2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論. (1)證明　因為四邊形ABB1A1和ACC1A1

25、都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因為AB，AC為平面ABC內兩條相交的直線， 所以AA1⊥平面ABC. 因為直線BC?平面ABC，所以AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC為平面ACC1A1內兩條的相交直線，所以BC⊥平面ACC1A1. (2)解　取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設O為A1C，AC1的交點. 由已知，O為AC1的中點. 連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MD綉AC，OE綉AC， 因此MD綉OE. 連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形， 則DE∥MO. 因為直線DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)， 使直線DE∥平面A1MC. 13