（渝皖瓊）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關系的性質學案 北師大版必修2

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1、5.2平行關系的性質學習目標1.能應用文字語言、符號語言、圖形語言準確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質定理.2.能用兩個性質定理，證明一些空間線面平行關系的簡單問題知識點一直線與平面平行的性質思考1如圖，直線l平面，直線a平面，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？答案不一定，因為還可能是異面直線思考2如圖，直線a平面，直線a平面，平面平面直線b，滿足以上條件的平面有多少個？直線a，b有什么位置關系？答案無數(shù)個，ab.梳理性質定理文字語言如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行符號語言a，a，bab圖形語言知識點二平面與平面平行的性質觀察長方體ABCD

2、A1B1C1D1的兩個面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？答案是的思考2若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，則mn嗎？答案不一定，也可能異面思考3過BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關系？答案平行梳理性質定理文字語言如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言，a，bab圖形語言知識點三平行關系的相互轉化1若直線l不平行于平面，則直線l就不平行于平面內(nèi)的任意一條直線()2若平面平面，l平面，m平面，則lm.()3夾在兩平行平面的平行線段相等()類型一線面平行的性質定理的應用

3、例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：APGH.考點直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題證明連接MO.四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點又M是PC的中點，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.引申探究如圖，在三棱錐PABQ中，E，F(xiàn)，C，D分別是PA，PB，QB，QA的中點，平面PCD平面QEFGH.求證：ABGH.證明因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EF

4、AB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.反思與感悟線面線線在空間平行關系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質定理是解決此類問題的關鍵跟蹤訓練1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF平面AB1C，則線段FE的長度為_考點直線與平面平行的性質題點利用性質求線段長度答案解析EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC，EFAC，E是AD的中點，EFAC2.類型二面面平行的性質定理的應用例2如圖，平

5、面，A，C，B，D，直線AB與CD交于點S，且AS8，BS9，CD34，求CS的長考點平面與平面平行的性質題點利用性質求線段長解設AB，CD都在平面上，因為AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若將本例改為：點S在平面，之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長解設AB，CD共面，AC，BD.因為，所以AC與BD無公共點，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.設CSx，則，所以x16，即CS16.反思與感悟應用平面與平面平行性質定理的基本步驟跟蹤訓練2已知：平面平面平面，兩條直線l，m分別與平面，相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，如圖所示，求證：.考點平

6、面與平面平行的性質題點與面面平行性質有關的計算證明如圖，連接DC，設DC與平面相交于點G，則平面ACD與平面，分別相交于直線AD，BG，平面DCF與平面，分別相交于直線GE，CF.因為，所以BGAD，GECF.于是，得，所以.類型三平行關系的綜合應用命題角度1由面面平行證明線面平行例3設AB，CD為夾在兩個平行平面，之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點求證：MP平面.考點平行問題的綜合應用題點線線、線面、面面平行的相互轉化證明如圖，過點A作AECD交平面于點E，連接DE，BE.AECD，AE，CD確定一個平面，設為，則AC，DE.又，ACDE，取AE的中點N，連

7、接NP，MN，M，P分別為AB，CD的中點，NPDE，MNBE.又NP，DE，MN，BE，NP，MN，NPMNN，平面MNP.MP平面MNP，MP，MP.反思與感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓練3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CMDN. 求證：MN平面AA1B1B.考點平行問題的綜合應用題點線線、線面、面面平行的相互轉化證明如圖，作MPBB1交BC于點P，連接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB

8、平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B，又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.命題角度2探索性問題例4在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積考點題點解能，如圖，取AB，C1D1的中點M，N，連接A1M，MC，CN，NA1.平面A1C1平面AC，平面A1C平面A1C1A1N，平面AC平面A1CMC，A1NMC.同理，A1MNC.四邊形A1M

9、CN是平行四邊形C1NC1D1A1B1A1P，C1NA1P，四邊形A1PC1N是平行四邊形，A1NPC1且A1NPC1.同理，A1MBP且A1MBP.又A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.故過點A1與截面PBC1平行的截面是A1MCN.連接MN，作A1HMN于點H.由題意，易得A1MA1N，MN2.MHNH，A1H.故222.反思與感悟在將線面平行轉化為線線平行時，注意觀察圖形中是不是性質定理中符合條件的平面跟蹤訓練4如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PBC平面PADl.(1)求證：lBC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明

10、你的結論考點直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題(1)證明因為BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因為平面PBC平面PADl，所以BCl.(2)解平行證明如下：如圖，取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NEAM且NEAM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.1如圖所示，在三棱錐SABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點，且EF平面ABC，則()AEF與BC相交 BEFBCCEF與BC異面 D以上均有可能考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案B解析EF平面ABC，而平面SBC平面A

11、BCBC，EF平面SBC，EFBC.2直線a平面，內(nèi)有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有()A0條 B1條C0條或1條 D無數(shù)條考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案C解析過直線a與交點作平面，設平面與交于直線b，則ab，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條3給出四種說法：若平面平面，平面平面，則平面平面；若平面平面，直線a與相交，則a與相交；若平面平面，P，PQ，則PQ；若直線a平面，直線b平面，且，則ab.其中正確說法的序號是_考點平行問題的綜合應用題點線線、線面、面面平行的相互轉化答案解析正

12、確，因為平面與沒有公共點；正確，若直線a與平面平行或直線a，則由平面平面，知a或a與無公共點，這與直線a與相交矛盾，所以a與相交正確，如圖所示，過直線PQ作平面，a，b，由得ab，因為PQ，PQ.所以PQb，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以直線a與直線PQ重合，因為a，所以PQ；錯誤，若直線a平面，直線b平面，且，則a與b平行、相交和異面都有可能4.如圖所示，直線a平面，A，并且a和A位于平面兩側，點B，Ca，AB，AC分別交平面于點E，F(xiàn)，若BC4，CF5，AF3，則EF_.考點直線與平面平行的性質題點利用性質求線段長度答案解析由于點A不在直線a上，則直線a和點A確定一個

13、平面，所以EF.因為a平面，a平面，所以EFa.所以.所以EF.5.如圖，AB是圓O的直徑 ，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明考點直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題 解直線l平面PAC.證明如下：因為E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因為l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC.1空間中各種平行關系相互轉化關系的示意圖2證明線與線、

14、線與面的平行關系的一般規(guī)律是：“由已知想性質，由求證想判定”，是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段.一、選擇題1.如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是()A異面B平行C相交D以上均有可能考點平面與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題答案B解析由面面平行的性質定理，可得DEA1B1，又A1B1AB，所以DEAB.2如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于點A，B，C.若PAAA23，則SABCSABC等于()A225 B425C25 D4

15、5考點平面與平面平行的性質題點與面面平行性質有關的計算答案B解析平面平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為AB，AB，ABAB.同理BCBC，ACAC，從而易得ABCABC，且，SABCSABC2.3如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列說法中，錯誤的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD異面直線PM與BD所成的角為45考點題點答案C解析截面PQMN為正方形，PQMN，從而易得PQ平面DAC.又平面ABC平面ADCAC，PQ平面ABC，PQAC.從而易得AC平面PNMQ.同理可得QMBD.又PQQM，PMQ45，ACBD，且異面直線PM與BD所成的角為45.故選項

16、A，B，D正確4a，b，c為三條不重合的直線，為三個不重合的平面，給出的下列說法中，正確的個數(shù)為()ab；ab；.A1 B2 C3 D4考點平行的綜合應用題點線線、線面、面面平行的相互轉化答案B解析只有正確5設，A，B，C是AB的中點，當A，B分別在平面，內(nèi)運動時，得到無數(shù)個AB的中點C，那么所有的動點C()A不共面B當且僅當A，B分別在兩條直線上移動時才共面C當且僅當A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面D不論A，B如何移動，都共面考點平面與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案D解析如圖所示，A，B分別是A，B兩點在，上運動后的兩點，此時AB中點C變成AB的中點C，連接AB，取A

17、B的中點E.連接CE，CE，AA，BB，CC，則CEAA，又CE平面，AA平面，CE平面.又CEBB，CE平面，BB平面，CE平面.又平面平面，CE平面，CE平面.CECEE，CE，CE平面CCE，平面CCE平面，CC平面.不論A，B如何移動，所有的動點C都在過C點且與平面，平行的平面上6設m，n表示不同的直線，表示不同的平面，則下列結論中正確的是()A若m，mn，則nB若m，n，m，n，則C若，m，mn，則nD若，m，nm，n，則n考點平行的綜合應用題點線線、線面、面面平行的相互轉化答案D解析A選項不正確，n可能在平面內(nèi)，B選項不正確，平面可能與平面相交；C選項不正確，n可能在平面內(nèi)；選項D

18、正確7如圖，四棱錐SABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為()A2 B3C32 D22考點直線與平面平行的性質題點利用性質求線段長度答案C解析CDAB，CD平面SAB，AB平面SAB，CD平面SAB.又平面CDEF平面SABEF，CDEF，又CDAB，ABEF.SEEA，EF為ABS的中位線，EFAB1，又DECF，四邊形DEFC的周長為32.8過平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線為a，b，c，則這些交線的位置關系為()A都平行B都相交且一定交于同一點C都相交但不一定交于同一點D都平行或交于同一點考點題點答案D

19、解析l，l或l與相交若l，則由線面平行的性質定理可知la，lb，lc，a，b，c，這些交線都平行若l與相交，不妨設lA，則Al，又由題意可知Aa，Ab，Ac，這些交線交于同一點A.綜上可知D正確二、填空題9，是三個兩兩平行的平面，且與之間的距離是3，與之間的距離是4，則與之間的距離是_考點平面與平面平行的性質題點與面面平行性質有關的計算答案1或7解析與位于的兩側時，與間的距離是7；當與位于同側時，與間的距離是1.10如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上

20、，則PQ_.考點直線與平面平行的性質題點利用性質求線段長度答案a解析MN平面AC，平面PMN平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.11.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點，它們共面，并且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，當四邊形EFGH是菱形時，AEEB_.考點直線與平面平行的性質題點與性質有關的其他問題答案mn解析AC平面EFGH，EFAC，GHAC，EFHGm ，同理EHFGn .四邊形EFGH是菱形，m n ，AEEBmn.12已知平面，P且P，過點P的直線m與，分別交于點A，C，過點P的直線n與，分別交于點B，D，且PA6，A

21、C9，PD8，則BD的長為_考點平面與平面平行的性質題點利用性質求線段長答案或24解析如圖所示，ACBDP，經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD.，平面PCDAB，平面PCDCD，ABCD.，即，BD.如圖所示，同理可證ABCD，即，BD24.綜上所述，BD的長為或24.三、解答題13如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，P平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F.求證：四邊形BCFE是梯形考點平行公理題點判斷、證明線線平行證明因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以BCAD，因為AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.因為平面BCFE平面PADEF，BC平面BCFE

22、，所以BCEF.因為ADBC，ADEF，所以BCEF，所以四邊形BCFE是梯形四、探究與拓展14在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當BD平面EFGH時，下面結論正確的是()AE，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點BG，H一定是CD，DA的中點CBEEABFFC，且DHHADGGCDAEEBAHHD，且BFFCDGGC考點直線與平面平行的性質題點與性質有關的其他問題答案D解析由于BD平面EFGH，所以有BDEH，BDFG，則AEEBAHHD，且BFFCDGGC.15如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形(1)求證：AB平面EFGH；(2)若ABCD，求證：四邊形EFGH為矩形考點直線與平面平行的性質題點與性質有關的其他問題證明(1)EFGH為平行四邊形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.(2)由(1)同理可證CDEH，F(xiàn)EH即是AB與CD所成的角ABCD，F(xiàn)EH90，平行四邊形EFGH為矩形20