（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2

《（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、41空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識42空間圖形的公理(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會用符號表達(dá)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個公理及其推論知識點(diǎn)一空間圖形的基本位置關(guān)系對于長方體有12條棱和6個面思考112條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？答案相交，平行，既不平行也不相交思考2棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？答案棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交思考3六個面之間有哪幾種位置關(guān)系答案平行和相交梳理位置關(guān)系圖形表示符號表示空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)A在直線a外Aa點(diǎn)B在直線a上Ba空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面內(nèi)A點(diǎn)B在

2、平面外B空間兩條直線的位置關(guān)系平行ab相交abO異面a與b異面空間直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)a線面相交aA線面平行a空間平面與平面的位置關(guān)系面面平行面面相交a異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫作異面直線知識點(diǎn)二空間圖形的公理思考1照相機(jī)支架只有三個腳支撐說明什么？答案不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面思考2一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？答案直尺在桌面上思考3教室的墻面與地面有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)有什么規(guī)律？答案這些公共點(diǎn)在同一直線上梳理(1)空間圖形的公理公理內(nèi)容圖形符號作用公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))Al，Bl

3、，且A，Bl用來證明直線在平面內(nèi)公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的使A，B，C用來確定一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線P，Pl，且Pl用來證明空間的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)(2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面(圖)推論2：兩條相交直線確定一個平面(圖)推論3：兩條平行直線確定一個平面(圖)18個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚()2空間不同三點(diǎn)確定一個平面()3一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面()類型一文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號表示下列

4、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號語言與圖形語言的互化解(1)點(diǎn)P直線AB.(2)點(diǎn)C直線AB.(3)點(diǎn)M平面AC.(4)點(diǎn)A1平面AC.(5)直線AB直線BC點(diǎn)B.(6)直線AB平面AC.(7)平面A1B平面AC直線AB.反思與感悟(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示(2)根據(jù)符號語言或文

5、字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1用符號語言表示下列語句，并畫成圖形(1)直線l經(jīng)過平面內(nèi)兩點(diǎn)A，B；(2)直線l在平面外，且過平面內(nèi)一點(diǎn)P；(3)直線l既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)；(4)直線l是平面與的交線，平面內(nèi)有一條直線m與l平行考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號語言與圖形語言的互化解(1)A，B，Al，Bl，如圖(2)l，Pl，P.如圖(3)l，l.如圖(4)l，m，ml.如圖類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1點(diǎn)線共面問題例2如圖，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求證：PQ.考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題證明因?yàn)镻Qa，所以PQ與a確定一個平面，所以直

6、線a，點(diǎn)P.因?yàn)镻b，b，所以P.又因?yàn)閍，P，所以與重合，所以PQ.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)解已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：a，b，c和l共面證明：如圖，ab，a與b確定一個平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b與c確定一個平面，同理l.平面與都包含l和b，且blB，由公理2的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，平面與平面重合，a，b，c和l共面反思與感悟在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)(2)重合法：先說明一些

7、直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題證明方法一(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.Bl3，Cl3，l3.直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)方法二(重合法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，l2，l3確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C，C.不共線的三個點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)命題角度2點(diǎn)

8、共線、線共點(diǎn)問題例3如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)求證：FE，HG，DC三線共點(diǎn)考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題證明如圖所示，連接C1B，GF，HE，由題意知HC1EB，且HC1EB，四邊形HC1BE是平行四邊形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，GFC1B，且GFC1B.GFHE，且GFHE，HG與EF相交設(shè)交點(diǎn)為K，KHG，HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD，K(平面D1C1CD平面ABCD)DC，EF，HG，DC三線共點(diǎn)反思與感悟(1)點(diǎn)共線：證明多

9、點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足ABP，BCQ，ACR，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題證明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面AB

10、C.由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面的交線上P，Q，R三點(diǎn)共線方法二APARA，直線AP與直線AR確定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三點(diǎn)共線.1用符號表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面外”，正確的是()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案B解析點(diǎn)A在直線l上，Al.l在平面外，l.故選B.2滿足下列條件，平面平面AB，直線a，直線b且aAB，bAB的圖形是()考點(diǎn)平面

11、的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案D3下列推理錯誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線與重合考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案C解析當(dāng)l，Al時，也有可能A，如lA，故C錯4如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過()A點(diǎn)A B點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D點(diǎn)C和點(diǎn)M考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案D解析因?yàn)槠矫孢^A，B，C三點(diǎn)，M在直線AB上，所以與的交線必通過點(diǎn)C和點(diǎn)M.5.如圖，已知D，E是ABC的邊AC，BC

12、上的點(diǎn)，平面經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是_考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案P直線DE解析因?yàn)镻AB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直線DE.1解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實(shí)虛2在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的

13、思想.一、選擇題1下列有關(guān)平面的說法正確的是()A平行四邊形是一個平面B任何一個平面圖形都是一個平面C平靜的太平洋面就是一個平面D圓和平行四邊形都可以表示平面考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)平面概念的應(yīng)用答案D解析我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，故A項(xiàng)不正確；平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的，而平面無法度量，故B項(xiàng)不正確；太平洋面是有邊界的，不是無限延展的，故C項(xiàng)不正確；在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D項(xiàng)正確2.如圖所示，用符號語言可表示為()Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An

14、考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案A解析與交于m，n在內(nèi)，m與n交于點(diǎn)A，注意符號語言的正確運(yùn)用，故選A.3如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是()AA，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線BA，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C直線AB與CD相交D直線AB與CD平行考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案B解析兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個平面4空間中四點(diǎn)可確定的平面有()A1個 B3個C4個 D1個或4個或無數(shù)個考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案D解析當(dāng)這四點(diǎn)共線時，可確定無數(shù)個平面；當(dāng)這四點(diǎn)不共線且

15、共面時，可確定一個平面；當(dāng)這四點(diǎn)不共面時，其中任意三點(diǎn)可確定一個平面，此時可確定4個平面5已知平面與平面，都相交，則這三個平面可能的交線有()A1條或2條 B2條或3條C1條或3條 D1條或2條或3條考點(diǎn)平面的基本性質(zhì) 題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案D解析當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當(dāng)平面和平行時，它們的交線有2條；當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線6空間四點(diǎn)A，B，C，D共面而不共線，那么這四點(diǎn)中()A必有三點(diǎn)共線 B可能有三點(diǎn)共線C至少有三點(diǎn)共線 D不可能有三點(diǎn)共線考點(diǎn)平面的基本性質(zhì) 題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案B解析如圖(1)(2)

16、所示，A，C，D均不正確，只有B正確7在空間四邊形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果GH，EF交于一點(diǎn)P，則()AP一定在直線BD上BP一定在直線AC上CP在直線AC或BD上DP既不在直線BD上，也不在AC上考點(diǎn)平面的基本性質(zhì) 題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案B解析由題意知GH平面ADC.因?yàn)镚H，EF交于一點(diǎn)P，所以P平面ADC.同理，P平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC平面ADCAC，由公理3可知點(diǎn)P一定在直線AC上8如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯誤的是()AC1，M，O三點(diǎn)共線 BC

17、1，M，O，C四點(diǎn)共面CC1，O，A，M四點(diǎn)共面 DD1，D，O，M四點(diǎn)共面考點(diǎn)平面的基本性質(zhì) 題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案D解析如圖所示，連接A1C1，AC，則ACBDO，A1C平面C1BDM，三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點(diǎn)共線，選項(xiàng)A，B，C均正確，D不正確二、填空題9已知點(diǎn)A，直線a，平面.Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.其中說法正確的個數(shù)是_考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案0解析中“a”符號不對；中A可以在內(nèi)，也可在外，故不正確；中“A”符號錯10若直線l上有兩個點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列說法中正確的

18、序號為_直線l上至少有一個點(diǎn)在平面外；直線l上有無窮多個點(diǎn)在平面外；直線l上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)；直線l上至多有兩個點(diǎn)在平面內(nèi)考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題答案11空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是_考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案1或3解析若三條直線兩兩相交共有三個交點(diǎn)，則確定1個平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)時，可以確定3個平面或1個平面12若直線l與平面相交于點(diǎn)O，A，Bl，C，D，且ACBD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是_考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案三點(diǎn)共線解析ACBD，AC與BD確定一個平面，記作平面，則CD.lO，O，又OAB，AB，O，

19、O直線CD，O，C，D三點(diǎn)共線三、解答題13已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線，求證：直線a，b，c，d共面考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題證明(1)無三線共點(diǎn)情況，如圖所示，設(shè)adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS，adM，a，d可以確定一個平面，Nd，Qa，N，Q，NQ，即b，同理c，a，b，c，d共面(2)有三線共點(diǎn)的情況，如圖所示，設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K，與直線a分別相交于點(diǎn)N，P，M且Ka，Ka，K和a確定一個平面，設(shè)為.Na，a，N，NK，即b，同理c，d，a，b，c，d共面，由(1)(2)可知a，b，c，d共面四、探究與拓展14如果一條直線與一個平面垂直，

20、那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是_考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)平面基本性質(zhì)的其他簡單應(yīng)用答案36解析正方體的一條棱長對應(yīng)著2個“正交線面對”，12條棱長共對應(yīng)著24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應(yīng)著1個“正交線面對”，12條面對角線對應(yīng)著12個“正交線面對”，共有36個15已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題證明如圖(1)因?yàn)镋F是D1B1C1的中位線，所以EFB1D1，在正方體AC1中，B1D1BD，所以EFBD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面(2)在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為，平面BDEF為.因?yàn)镼A1C1，所以Q，又QEF，所以Q，則Q是與的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是與的公共點(diǎn)，所以PQ.又A1CR，所以RA1C，所以R，且R，故RPQ.所以P，Q，R三點(diǎn)共線14