（魯京遼）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.2.2 第3課時 平面與平面平行學案 新人教B版必修2

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1、 第3課時　平面與平面平行 學習目標　1.掌握平面與平面的位置關系，會判斷平面與平面的位置關系.2.學會用圖形語言、符號語言表示平面間的位置關系.3.掌握空間中面面平行的判定定理及性質定理，并能應用這兩個定理解決問題． 知識點一　平面與平面平行的判定 思考　三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？ 答案　平行． 梳理　平面平行的判定定理及推論 判定定理 推論 文字 語言 如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，則這兩個平面平行 符號 語言

2、 l?α，m?α，l∥β，m∥β，l∩m＝A?α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a?α，b?α，c?β，d?β?α∥β 圖形 語言 知識點二　平面與平面平行的性質 觀察長方體ABCD－A1B1C1D1的兩個面：平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1　平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？ 答案　是的． 思考2　過BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關系？ 答案　平行． 梳理　平面平行的性質定理及推論 性質定理 推論 文字 語言 如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行 兩

3、條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例 符號 語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G?＝ 圖形 語言 1．若一個平面內的兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(　×　) 2．若一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，則這兩個平面平行． (　√　) 3．如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(　√　) 類型一　平面與平面平行的判定 例1　如圖所示，在正方體AC1中，M，N，P分別是棱C1C，B1C1，C1D

4、1的中點，求證：平面MNP∥平面A1BD. 證明　如圖，連接B1C. 由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D. 又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 連接B1D1，同理可證PN∥平面A1BD. 又∵MN?平面MNP，PN?平面MNP，且MN∩PN＝N， ∴平面MNP∥平面A1BD. 引申探究 若本例條件不變，求證：平面CB1D1∥平面A1BD. 證明　因為ABCD－A1B1C1D1為正方體， 所以DD1綊BB1， 所以BDD1B1為平行四邊形， 所以BD∥B1D1. 又BD?平面CB1D1，B1D1?平面

5、CB1D1， 所以BD∥平面CB1D1， 同理A1D∥平面CB1D1. 又BD∩A1D＝D， 所以平面CB1D1∥平面A1BD. 反思與感悟　判定平面與平面平行的四種常用方法 (1)定義法：證明兩個平面沒有公共點，通常采用反證法． (2)利用判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面．證明時應遵循先找后作的原則，即先在一個平面內找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線． (3)轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條直線分別平行，則α∥β. (4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 跟蹤訓練1　如圖所示，在三棱柱ABC

6、－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明　(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點， 所以GH是△A1B1C1的中位線， 所以GH∥B1C1. 又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC， 所以B，C，H，G四點共面． (2)因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點， 所以EF∥BC. 因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 因為A1G∥EB，A1G＝EB， 所以四邊形A1EBG是平行四邊形， 所以A1E∥GB. 因為A1

7、E?平面BCHG，GB?平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因為A1E∩EF＝E， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 類型二　面面平行性質的應用 命題角度1　與面面平行性質有關的計算 例2　如圖，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的長． 證明　設AB，CD共面γ，因為γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以＝， 即＝，所以SC＝272. 引申探究 若將本例改為：點S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長． 解　設AB，CD共面γ

8、，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD. 因為α∥β，所以AC與BD無公共點，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS，所以＝. 設CS＝x，則＝，所以x＝16， 即CS＝16. 反思與感悟　應用平面與平面平行性質定理的基本步驟 跟蹤訓練2　如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內，線段AA′，BB′，CC′共點于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為________． 答案　 解析　AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′確定的平面與平面α，平面β的交線分別為AB，A′B′，有

9、AB∥A′B′，且＝＝，同理可得＝＝，＝＝，所以△ABC，△A′B′C′面積的比為9∶4，又△ABC的面積為， 所以△A′B′C′的面積為. 命題角度2　利用面面平行證明線線平行 例3　如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 證明　∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形， ∴A′D′∥B′C′. ∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C， ∴A′D′∥平面BB′C′C. 同理AA′∥平面BB′C′C. ∵A′D′?平面AA′D′D，AA

10、′?平面AA′D′D， 且A′D′∩AA′＝A′， ∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C. 又∵AD，BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D，平面BB′C′C的交線，∴AD∥BC. 同理可證AB∥CD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 反思與感悟　本例充分利用了?A′B′C′D′的平行關系及AA′，BB′，CC′，DD′間的平行關系，先得出線面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性質定理得線線平行． 跟蹤訓練3　如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，求證：四邊形BED1F是平行四邊形． 證明　如圖，連接AC，BD，交點為O，連接A

11、1C1，B1D1，交點為O1，連接BD1，EF，OO1， 設OO1的中點為M， 由正方體的性質可得四邊形ACC1A1為矩形． 又因為E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點， 所以EF過OO1的中點M，同理四邊形BDD1B1為矩形， BD1過OO1的中點M， 所以EF與BD1相交于點M， 所以E，B，F(xiàn)，D1四點共面． 又因為平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1， 平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF， 所以ED1∥BF. 同理，EB∥D1F. 所以四邊形BED1F是平行四邊形． 類型三　平行關系的綜合應用 例4　設AB，C

12、D為夾在兩個平行平面α，β之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點．求證：MP∥平面β. 證明　如圖，過點A作AE∥CD交平面β于點E， 連接DE，BE. ∵AE∥CD，∴AE，CD確定一個平面，設為γ， 則α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. 又α∥β，∴AC∥DE(平面平行的性質定理)， 取AE的中點N，連接NP，MN， ∵M，P分別為AB，CD的中點， ∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP?β，DE?β，MN?β，BE?β，∴NP∥β，MN∥β， ∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP?平面MNP，MP?β，∴MP∥β. 反思與感悟　線

13、線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵，其內在聯(lián)系如圖所示： 跟蹤訓練4　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，使得平面D1BQ∥平面PAO? 解　當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q為CC1的中點，P為DD1的中點，連接PQ，如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形， ∴QB∥PA. 又∵AP?平面APO，QB?平面APO， ∴QB∥平面APO. ∵P，O分別為DD1，DB的中點，∴D1B∥PO.

14、同理可得D1B∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 1．下列命題中正確的是(　　) A．一個平面內兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行 B．如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行 D．如果一個平面內的無數(shù)多條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行 答案　B 解析　如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點，則兩平面平行，所以B正確． 2．在正方體EFGH－E1F1G1H1中，下列四對平面彼此平行的一對是(　　) A．平面E1FG1與平

15、面EGH1 B．平面FHG1與平面F1H1G C．平面F1H1H與平面FHE1 D．平面E1HG1與平面EH1G 答案　A 解析　如圖，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1， E1G1?平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E， 同理可證H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1. 3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，則交線a，b，c，d的位置關系是(　　) A．互相平行 B．交于一點 C．相互異面 D．不能確定 答案　A 解析　由平面與平面平行的性質

16、定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故選A. 4．若平面α∥平面β，a?α，下列說法正確的是________． ①a與β內任一直線平行；②a與β內無數(shù)條直線平行； ③a與β內任一直線不垂直；④a與β無公共點． 答案　②④ 解析　∵a?α，α∥β，∴a∥β，∴a與β無公共點，④正確；如圖，在正方體中，令線段B1C1所在的直線為a，顯然a與β內無數(shù)條直線平行，故②正確；又AB⊥B1C1，故在β內存在直線與a垂直，故①③錯誤． 5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B. 證明

17、　如圖，作MP∥BB1交BC于點P，連接NP， ∵MP∥BB1，∴＝. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN，∴＝， ∴＝， ∴NP∥CD∥AB. ∵NP?平面AA1B1B， AB?平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B， BB1?平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B. 又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN?平面MNP， ∴MN∥平面AA1B1B. 1．常用的平面與平面平行的其他幾個性質 (1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意

18、一條直線平行于另一個平面． (2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等． (3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． (4)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行． 2．空間中各種平行關系相互轉化關系的示意圖 一、選擇題 1．已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　) A．平面α內有一條直線與平面β平行 B．平面α內有兩條直線與平面β平行 C．平面α內有一條直線與平面β內的一條直線平行 D．平面α與平面β不相交 答案　D 解析　選項A、C不正確，因為兩個平面可能相交；選項B不正確，因為平面α內的這

19、兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行；選項D正確，因為兩個平面的位置關系只有相交與平行兩種．故選D. 2.如圖，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E，F(xiàn)，則四邊形D1EBF的形狀是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形 答案　C 解析　因為平面和左右兩個側面分別交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形． 3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 答案　D 解析　由圖知平面ABB1A1∥

20、平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1， ∴此六棱柱的面中互相平行的有4對． 4.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 答案　B 解析　∵平面α∥平面ABC， 平面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB， ∴AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′

21、， S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝. 5．已知a，b表示直線，α，β表示平面，下列選項正確的是(　　) A．α∩β＝a，b?α?a∥b B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β C．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 答案　D 解析　A中α∩β＝a，b?α，a，b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α，也可能b在平面α或β內；C中a∥β，b∥β，a?α，b?α，根據(jù)平面平行的性質定理，若加上條件a∩b＝A，則α∥β.故選D. 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱A1D1的動點，O為底面ABCD

22、的中心，E，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點，則下列平面中與OM掃過的平面平行的是(　　) A．面ABB1A1 B．面BCC1B1 C．面BCFE D．面DCC1D1 答案　C 解析　取AB、DC的中點分別為E1和F1，OM掃過的平面即為面A1E1F1D1(如圖)， 故面A1E1F1D1∥面BCFE. 7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷： ①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推斷正確的是(　　) A．①③

23、B．①④ C．②③ D．②④ 答案　A 解析　∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D， AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤； ∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1， FG∥平面BC1D1，故③正確； ∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A. 二、填空題 8．如圖所示，平面四

24、邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是________形． 答案　平行四邊 解析　由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得． 9.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB與M，交BC與N，則＝________. 答案　 解析　∵平面MNE∥平面ACB1， 由平面平行的性質定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E為BB1的中點， ∴M，N分別為BA，BC的中點， ∴MN＝AC.即＝. 10．已知三棱柱ABC－A1B1C

25、1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關系是________． 答案　平行 解析　∵D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點， ∴在平行四邊形AA1B1B與平行四邊形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC， 又DE?平面ABC，EF?平面ABC， ∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC. 11．如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________． 答案　4＋6 解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC

26、1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6. 三、解答題 12.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求證：N為AC的中點． 證明　∵平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， ∴C1N∥AM，又AC∥A1C1， ∴四邊形ANC1M為平行四邊形， ∴AN＝C1M＝A1C1＝AC， ∴N為AC的中點． 13．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一

27、點，M，N分別是AE，CD1的中點，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求證：MN∥平面ADD1A1. 證明　如圖，取CD的中點K，連接MK，NK. 因為M，N，K分別是AE，CD1，CD的中點， 所以MK∥AD，NK∥DD1. 又MK?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1， 所以MK∥平面ADD1A1. 同理NK∥平面ADD1A1. 又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1， 又MN?平面MNK， 所以MN∥平面ADD1A1. 四、探究與拓展 14．如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在

28、此幾何體中，給出下面四個結論： ①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB. 其中正確的有(　　) A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③ 答案　C 解析　把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側面，則它們兩兩相交． ∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB. 同理平面PAD∥BC. 15.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由． 解　存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1. 證明如下： 如圖，取BB1的中點F，連接DF，則DF∥B1C1，因為AB的中點為E，連接EF，則EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F， 所以平面DEF∥平面AB1C1. 又DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1. 17