（魯京遼）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論學案 新人教B版必修2

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1、 1.2.1　平面的基本性質(zhì)與推論 學習目標　1.理解平面的基本性質(zhì)與推論，能運用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問題.2.會用集合語言來描述點、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì).3.理解異面直線的概念． 知識點一　平面的基本性質(zhì)與推論 思考1　直線l與平面α有且僅有一個公共點P.直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個公共點呢？ 答案　前者不在，后者在． 思考2　觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？ 答案　不共線的三點可以確定一個平面． 思考3　觀察正方體ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個公共點B，C嗎？ 答案　不是，平面AB

2、CD與平面BCC1B1相交于直線BC. 梳理　(1)平面的基本性質(zhì) 平面 內(nèi)容 作用 圖形 基本性質(zhì)1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線) 判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù) 基本性質(zhì)2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即不共線的三點確定一個平面) 確定平面及兩個平面重合的依據(jù) 基本性質(zhì)3 如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線 判斷兩平面相交，線共點，點共線的依據(jù) (2)平面基本性質(zhì)的推論 推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個

3、平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． 知識點二　點、直線、平面之間的關(guān)系及表示 思考　直線和平面都是由點組成的，聯(lián)系集合的觀點，點和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號來表示？直線和平面呢？ 答案　點和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號“∈”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學符號 “?”或“?”表示． 梳理　點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示 文字語言 符號語言 圖形語言 A在l上 A∈l A在l外 A?l A在α內(nèi) A∈α A在α外 A?α l在α內(nèi) l?α l在

4、α外 l?α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 知識點三　共面與異面直線 思考　如圖，直線AB與平面α相交于點B，點A在α外，那么直線l與直線AB能不能在同一個平面內(nèi)？為什么？直線l與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的？ 答案　不可能在同一個平面內(nèi)，因為如果在同一個平面內(nèi)，點A就在α內(nèi)，這與點A在α外矛盾．由圖知，直線l與直線AB沒有公共點，所以它們不相交，直線l與直線AB不可能平行，否則它們就會同在平面α內(nèi)，所以直線l與直線AB既不相交也不平行． 梳理　共面與異面直線 (1)共面 ①概念：空間中的幾個

5、點或幾條直線，都在同一平面內(nèi)． ②特征：共面的直線相交或者平行． (2)異面直線 ①概念：既不平行又不相交的直線． ②判斷方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線． 1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線．(　×　) 2．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．(　√　) 類型一　點、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示 例1　如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系． 解　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P. 反思與感悟　(1)用文字語言

6、、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示． (2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別． 跟蹤訓練1　根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC. 解　(1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)，如圖①. (2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，如圖②. (3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC

7、與平面ADC相交于AC，如圖③. 類型二　平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度1　點、線共面問題 例2　如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α. 解　因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β.所以直線a?β，點P∈β.因為P∈b，b?α，所以P∈α.又因為a?α，所以α與β重合，所以PQ?α. 引申探究 將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)． 解　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：a，b，c和l共面． 證明：如圖，∵a∥b， ∴a與b確定一個平面α. ∵l∩

8、a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α. ∵b∥c，∴b與c確定一個平面β， 同理l?β. ∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B， 由推論2知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面， ∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面． 反思與感悟　證明多線共面的兩種方法 (1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)． (2)重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合． 跟蹤訓練2　已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．

9、 證明　方法一　(納入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α. ∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 方法二　(輔助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β. ∵A∈l2，l2?α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2?β，∴A∈β. 同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)． ∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．

10、命題角度2　點共線與線共點問題 例3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點． 證明　如圖，連接EF，D1C，A1B. ∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點， ∴EF綊A1B. 又∵A1B綊D1C， ∴EF綊D1C， ∴E，F(xiàn)，D1，C四點共面， ∴D1F與CE相交，設(shè)交點為P. 又D1F?平面A1D1DA， CE?平面ABCD， ∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點． 又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 根據(jù)基本性質(zhì)3，可得P∈DA， 即CE，D1F，DA相交于一點

11、． 反思與感悟　(1)點共線：證明多點共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上． (2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點． 跟蹤訓練3　已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點共線． 證明　方法一　∵AB∩α

12、＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本性質(zhì)3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上， 同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上． ∴P，Q，R三點共線． 方法二　∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC?平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三點共線． 類型三　異面直線的判定 例4　如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么NC，DE，AF，BM這

13、四條線段所在的直線是異面直線的有多少對？試以其中一對為例進行證明． 解　將展開圖還原為正方體(如圖)． NC與DE，NC與AF，NC與BM，DE與AF，DE與BM，AF與BM，都是異面直線，共有6對． 以NC與AF是異面直線為例證明如下： 方法一　連接BE，若NC∥AF， 則由NC∥BE，可知AF∥BE， 這與AF與BE相交矛盾． 故NC與AF不平行． 若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點，這與正方體的性質(zhì)矛盾．故NC與AF不相交． 所以NC與AF異面． 方法二　連接BE，如圖，因為直線NC?平面BCNE， 直線AF∩平面BCNE＝O. O

14、?直線NC，所以NC與AF異面． 反思與感悟　判定兩條直線是異面直線的方法 (1)證明兩條直線既不平行又不相交． (2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)． 跟蹤訓練4　分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 答案　D 解析　如圖(1)所示，直線a與b互相平行；如圖(2)所示，直線a與b相交；如圖(3)所示，直線a與b異面． 1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直線A

15、B，則(　　) A．C∈α B．C?α C．AB?α D．AB∩α＝C 答案　A 解析　因為A∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.又因為C∈直線AB，所以C∈α. 2．平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　如圖，用列舉法知符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故選C. 3.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，與AA1異面的是(　　) A．AB B．BB1 C．DD1 D．B1C1 答案　D 解析　由異面直線的定義知

16、，與AA1異面的直線應(yīng)為B1C1. 4．線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是________． 答案　直線AB?α 解析　由基本性質(zhì)1知直線AB在平面α內(nèi)． 5.如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是________． 答案　P∈直線DE 解析　因為P∈AB，AB?平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直線DE. 1．解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的

17、實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛． 2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想． 3．異面直線是既不平行也不相交的直線． 一、選擇題 1．下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是(　　) 答案　D 解析　畫兩個相交平面時，被遮住的部分用虛線表示，并畫出兩平面的交線． 2．空間中，可以確定一個平面的條件是(　　) A．三個點 B．四個點 C．三角形 D．四邊形

18、 答案　C 解析　由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A中，不共線的三個點能確定一個平面，共線的三個點不能確定一個平面，故A錯誤；在B中，不共線的四個點最多能確定四個平面，故B錯誤；在C中，由于三角形的三個頂點不共線，因此三角形能確定一個平面，故C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個平面，故D錯誤．故選C. 3．如果A點在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在α內(nèi)，可以表示為(　　) A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈α C．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α 答案　B 解析　A點在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在

19、α內(nèi)，表示為：A∈a，a?α，B∈α，故選B. 4．空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中(　　) A．必有三點共線 B．必有三點不共線 C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線 答案　B 解析　A，B，C，D共面而不共線，這四點可能有三點共線，也可能任意三點不共線，A錯誤；如果四點中沒有三點不共線，則四點共線，矛盾，故B正確；當任意三點不共線時，也滿足條件，故C錯誤；當其中三點共線，第四個點不共線時，也滿足條件，故D錯誤，故選B. 5．有下列說法： ①梯形的四個頂點在同一個平面內(nèi)； ②三條平行直線必共面； ③有三個公共點的兩個平面必重合． 其中正確的個數(shù)

20、是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因為梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面圖形，故①正確；三條平行直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故②錯誤；若兩個平面的三個公共點不共線，則兩平面重合，若三個公共點共線，兩平面有可能相交，故③錯誤，故選B. 6．三條兩兩相交的直線最多可確定的平面的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù) 答案　C 解析　在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個平面，如圖所示． PA，PB，PC相交于一點P，則PA，PB，PC不共面，則PA、PB確定一個平面PAB，PB，PC確定一個平面PBC，PA，PC確定一

21、個平面PAC.故選C. 7.如圖所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 答案　D 解析　∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根據(jù)基本性質(zhì)3可知，M在γ與β的交線上． 同理可知，點C也在γ與β的交線上． 8．長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有(　　) A．2對 B．3對 C．6對 D．12對 答案　C 解析　如圖所示，在長方體AC1中，與對角線AC1成異面直線

22、位置關(guān)系的棱是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以組成6對異面直線． 二、填空題 9．如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是________．(填序號) 答案　③ 解析　根據(jù)異面直線的定義可得． 10．三條平行直線最多能確定的平面的個數(shù)為________． 答案　3 解析　當三條平行直線在一個平面內(nèi)時，可以確定1個平面；當三條平行直線不在同一平面上時，可以確定3個平面．綜上，最多可確定3個平面． 11．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.

23、 答案　∈ 解析　因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l. 12．已知A∈α，B?α，若A∈l，B∈l，那么直線l與平面α有________個公共點． 答案　1 解析　若直線l與平面α有兩個公共點，則l?α，那么B∈α，這與B?α矛盾，∴l(xiāng)∩α＝A. 三、解答題 13.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖所示．求證：直線AD，BD，CD共面． 證明　因為D?l，所以l與D可以確定平面α，因為A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD?α.同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面． 四、探究與拓展

24、 14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體過點M，N，C1的截面圖形是(　　) A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 答案　C 解析　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1. 如圖，延長C1M交CD于點P，延長C1N交CB于點Q，連接PQ交AD于點E，AB于點F，連接NF，ME，則正方體過點M，N，C1的截面圖形是五邊形．故選C. 15．在棱長是a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AA1、D1C1的中點，過

25、D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l. (1)畫出交線l； (2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長； (3)求點D1到l的距離． 解　(1)如圖，延長DM交D1A1的延長線于點Q，則點Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個公共點．連接QN，則直線QN就是兩平面的交線l. (2)∵M是AA1的中點， MA1∥DD1， ∴A1是QD1的中點． 又∵A1P∥D1N， ∴A1P＝D1N. ∵N是D1C1的中點， ∴A1P＝D1C1＝， ∴PB1＝A1B1－A1P＝a. (3)過點D1作D1H⊥PN于點H， 則D1H的長就是點D1到l的距離． ∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝， ∴D1H＝＝ ＝a. 即點D1到l的距離是a. 14