（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案

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1、 第1講　平面向量的概念及其線性運(yùn)算 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量． 規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 考點(diǎn)2　向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律： a＋b＝b＋a

2、； 結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b) 續(xù)表 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λa|＝|λ||a|， 當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝ λa＋λb 考點(diǎn)3　共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. [必會(huì)結(jié)論] 1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從

3、第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． [考點(diǎn)自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小．(　　) (2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (3)＝－.(　　) (4)向量a－b與b－a是相反向量．(　　) (5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(　　) (6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．

4、(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ 2．[課本改編]如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0 答案　C 解析　由－＝＝－，故C錯(cuò)誤． 3．[課本改編]設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 答案　B 解析　∵＋＝2，∴P為AC的中點(diǎn)，∴＋＝0.選B. 4．[2018·溫州模擬]已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 答案?。? 解析　設(shè)a＋

5、λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb，∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－. 5．[2015·北京高考]在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 答案　?。? 解析　由題中條件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　平面向量的概念 例　1　給出下列命題： ①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線； ③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ

6、為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中真命題的序號(hào)是________． 答案?、? 解析?、馘e(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． ②錯(cuò)誤，若b＝0，則a與c不一定共線． ③正確，因?yàn)椋?，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． 故填③. 觸類旁通 對(duì)于

7、向量的概念應(yīng)注意的問題 (1)向量的兩個(gè)特征：有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，字母表示，也可以用坐標(biāo)表示． (2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量． (3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大?。? (4)向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的． 【變式訓(xùn)練1】　設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1

8、 C．2 D．3 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. 考向　平面向量的線性運(yùn)算 命題角度1　向量加減法的幾何意義 例　2　[2017·全國卷Ⅱ]設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|＞|b| 答案　A 解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a

9、·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故選A. 解法二：利用向量加法的平行四邊形法則． 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝b， 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||， 從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故選A. 命題角度2　向量的線性運(yùn)算 例　3　[2015·全國卷Ⅰ]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析?。剑剑剑?－ )＝－＝－＋.故選A. 命題角度3　利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù) 例　4　[2018·唐山模擬]在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝3

10、0°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________． 答案　0≤μ≤ 解析　由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2. ∵點(diǎn)E在線段CD上， ∴＝λ(0≤λ≤1)． ∵＝＋， 又＝＋μ＝＋2μ＝＋， ∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤. 觸類旁通 平面向量線性運(yùn)算的一般規(guī)律 (1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理． (2)在求向量時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面

11、幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解． 考向　共線向量定理的應(yīng)用 例　5　設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． 解　(1)證明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2. 又∵與有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2， ∵＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴＝λ(λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4

12、λe2，得解得k＝12. 觸類旁通 怎樣用向量證明三點(diǎn)共線問題 兩向量共線且有公共點(diǎn)(起點(diǎn)相同或終點(diǎn)相同，或一個(gè)向量的起點(diǎn)是另一個(gè)向量的終點(diǎn))，則可以得到三點(diǎn)共線；反之由三點(diǎn)共線也可得到向量共線． 【變式訓(xùn)練2】　已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線； (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1. 證明　(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，P，B三點(diǎn)共線． (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ， ∴

13、－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共線，∴，不共線， ∴∴m＋n＝1. 核心規(guī)律 1.向量的加、減法運(yùn)算，要在所表達(dá)的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論． 2.對(duì)于向量共線定理及其等價(jià)定理，關(guān)鍵要理解向量a與b共線是指a與b所在的直線平行或重合． 3.要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b＝λa，再結(jié)合條件或圖形有無公共點(diǎn)證明幾何位置． 滿分策略 1.兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相

14、同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． 2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定． 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系．向量與是共線向量，但A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上． 4.向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè). 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯(cuò)警示系列6——向量線性運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn) [2018·鐵嶺模擬]已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 錯(cuò)因分析　本題主要考查向量的有關(guān)運(yùn)算以及向量運(yùn)算的幾何意義．求解該題時(shí)容易出現(xiàn)兩個(gè)問題：一是不能根據(jù)

15、＋＋＝0分析出點(diǎn)M與△ABC之間的關(guān)系；二是不能靈活利用三角形的性質(zhì)和向量運(yùn)算的幾何意義找出，與之間的關(guān)系． 解析　解法一：由＋＋＝0，知點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，則由向量加法，可知＋＝2. 由重心的性質(zhì)，可知||＝||， 而且與同向，故＝， 所以＝×(＋)＝(＋)， 所以＋＝3，m＝3.故選B. 解法二：由已知得＋＋＋＝m， 又∵＋＝－＝，∴3＝m， ∴m＝3.故選B. 答案　B 答題啟示　進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基底或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.充分利用相等向量、相反向量和線段的

16、比例關(guān)系，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解. 跟蹤訓(xùn)練 在△ABC中，點(diǎn)D在邊CB的延長線上，且＝4＝r－s，則s＋r等于(　　) A．0 B. C. D．3 答案　C 解析　因?yàn)椋?，所以＝.又因?yàn)椋剑裕?－)＝－，所以r＝s＝，s＋r＝. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2018·南京模擬]對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b；若a∥b，則a＝λb，

17、a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．故選A. 2．已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2＋＝0，則向量等于(　　) A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 答案　C 解析　因?yàn)椋剑?，＝－，所?＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.故選C. 3．[2018·嘉興模擬]已知向量a與b不共線，且＝λa＋b，＝a＋μb，則點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線應(yīng)滿足 (　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 答案　D 解析　若A，B，C三點(diǎn)共線，則＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μ

18、k，故λμ＝1.故選D. 4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析?。?＋)＋(＋)＝(＋)＝.故選A. 5．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對(duì) 答案　C 解析　由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形．故選C. 6.[2018·北京海淀期末]如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中

19、點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　A 解析　因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.故選A. 7．[2018·綿陽模擬]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點(diǎn)，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　因?yàn)椋剑?，所以＝2.又M是BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故選B. 8．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 答案　直角三角形 解析　因?yàn)椋?＝－＋－＝＋，－＝＝－，

20、所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC為直角三角形． 9．[2018·江蘇模擬]設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 答案　 解析?。剑剑剑?－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. 10．△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足＋＋＝，則△PBC與△ABC的面積之比是________． 答案　 解析　因?yàn)椋剑裕剑?，所以＝?＝2，即P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，且PC＝AC，由三角形的面積公式可知，＝＝. [B級(jí)　知能提升] 1．

21、[2018·福建模擬]設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析?。?＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故選D. 2．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若＝m＋n(m，n∈R)，則的值為(　　) A．－2 B．－ C．2 D. 答案　A 解析　設(shè)＝a，＝b，則＝ma＋nb，＝－＝b－a，由向量與共線可知存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，即ma＋nb＝λb－λa，又a與b不共線，則所以＝－2.故選A. 3．[2018·泉州四校聯(lián)考]設(shè)e1，e2是不共

22、線的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則λ的值為________． 答案　2 解析　∵＝2e1＋e2，＝3e1－e2， ∴＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則與共線，存在μ∈R使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共線的向量，得解得λ＝2. 4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°.設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，求的值． 解　如圖所示，因?yàn)镺B⊥OA，設(shè)||＝2，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，所以四邊形ODCE是矩形， ＝＋＝＋. 因?yàn)閨|＝2，∠COD＝30°，所以||＝1，||＝. 又因?yàn)閨|＝，||＝1，所以＝，＝， ＝＋，此時(shí)m＝，n＝，所以＝＝3. 5．[2018·大同模擬]若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5＝＋3，求△ABM與△ABC的面積之比． 解　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖，連接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3　①， 即＝＋， 即＋＝1， 故C，M，D三點(diǎn)共線，又＝＋?、冢? ①②聯(lián)立，得5＝3，即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為，所以△ABM與△ABC的面積的比值為. 13